陕西省西安市长安区2022-2022学年高二数学上学期第一次月考试题（实验班）总分：150分时间：120分钟一.选择题（每小题5分,共60分）1.k(k≥3，k∈N*)棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为( )A．f(k)＋k－1B．f(k)＋k＋1C．f(k)＋kD．f(k)＋k－22.直线与双曲线的交点个数是()（ ）A．0B．1C．2D．视m的值而定3.等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点.若，则的实轴长为( )A.B.C.D.4.命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤55.在三棱柱ABCA1B1C1中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD＝1，若AD与平面AA1C1C所成的角为，则的值是( )A.B．C.D．高二理科实验班数学试题（第1页共6页）6.已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝17.正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为( )A.B.C.D.8．直线：与曲线相交于A、B两点，则直线-11-\n倾斜角的取值范围是（）A.B.C.D.9．观察下列各式:则的末四位数字为()A.3125B.5625C.0625D.812510．如图，正方体中，为底面上的动点，于，且，则点的轨迹是( )A.线段B.圆弧C.椭圆的一部分D.抛物线的一部分11.已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是( )高二理科实验班数学试题（第2页共6页）A．B．C．D．12．已知F1，F2分别为双曲线C：﹣=1的左、右焦点，若存在过F1的直线分别交双曲线C的左、右支于A，B两点，使得∠BAF2=∠BF2F1，则双曲线C的离心率e的取值范围是（ ）-11-\nA．（3，+∞）B．（1，2+）C．（3，2+）D．（1，3）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）13.设满足约束条件，若目标函数的最大值为8，则的最小值为__________．14．在直三棱柱ABCA′B′C′中，底面ABC是等腰直角三角形，且AB＝AC＝1，AA′＝2，则A′到直线BC′的距离为________．15.抛物线上的斜率为2的弦的中点的轨迹方程是_________.16.椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B.当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．17.若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是____________________．高二理科实验班数学试题（第3页共6页）18.已知抛物线C：的准线为，过M(1,0)且斜率为的直线与相交于点A，与C的一个交点为B，若＝，则＝________.三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为.（1）求sinBsinC;（2）若6cosBcosC=1，a=3，求的周长.20.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.（1）求证：AA1⊥平面ABC；（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；（3）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值.-11-\n21.如图，曲线C由上半椭圆C1：＋＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线的方程．高二理科实验班数学试题（第4页共6页）22．如图，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，点P在圆柱OQ的底面圆周上，G是DP的中点，圆柱OQ的底面圆的半径OA=2，侧面积为，∠AOP=120°．（1）求证：AG⊥BD；（2）求二面角P﹣AG﹣B的平面角的余弦值．-11-\n23．如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．高二理科实验班数学试题（第5页共6页）-11-\n第一次月考理科实验答案一﹑选择题1-5ADCCD6-10DABDA11-12BC二﹑填空题13．414．15．16．317．18．2三﹑解答题19.解 (1)由题设得acsinB＝，即csinB＝.由正弦定理，得sinCsinB＝，故sinBsinC＝.(2)由题设及(1)，得cosBcosC－sinBsinC＝－，即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.由题意得bcsinA＝，a＝3，所以bc＝8.由余弦定理，得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝.故△ABC的周长为3＋.20.解：（1）因为为正方形，所以。 因为平面平面，且垂直于这两个平面的交线，所以平面。（2）由（1）知，。由题知，，，所以。-11-\n如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，。设平面的法向量为，则，即。令，则，。同理可得，平面的法向量为，则。（3）设是直线上一点，且，所以。解得，，。所以。由，即，解得。因为，所以在线段上存在点，使得。此时，。21.解：(1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－1，0)，B(1，0)是上半椭圆C1的左右顶点．设C1的半焦距为c，由＝及a2－c2＝b2＝1得a＝2.∴b＝1.(2)由(1)知，上半椭圆C1的方程为＋x2＝1(y≥0)．易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，代入C1的方程，整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*)设点P的坐标为(xP，yP)，∵直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根．由求根公式，得xP＝，从而yP＝，∴点P的坐标为.-11-\n同理，由得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)．∴＝(k，－4)，＝－k(1，k＋2)．∵AP⊥AQ，∴·＝0，即[k－4(k＋2)]＝0.∵k≠0，∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－.经检验，k＝－符合题意．故直线l的方程为y＝－(x－1)．22.解：（1）（解法一）：由题意可知8=2×2π×AD，解得AD=2，在△AOP中，AP=，∴AD=AP，又∵G是DP的中点，∴AG⊥DP．①∵AB为圆O的直径，∴AP⊥BP．由已知知DA⊥面ABP，∴DA⊥BP，∴BP⊥面DAP．分∴BP⊥AG．②∴由①②可知：AG⊥面DBP，∴AG⊥BD．（2）由（1）知：AG⊥面DBP，∴AG⊥BG，AG⊥PG，∴∠PGB是二面角P﹣AG﹣B的平面角．PG=PD=×AP=，BP=OP=2，∠BPG=90°，．-11-\n∴BG==．cos∠PGB===．（解法二）：建立如图所示的直角坐标系，由题意可知8=2×2π×AD，解得AD=2，则A（0，0，0），B（0，4，0），D（0，0，2），P（，3，0），∵G是DP的中点，∴可求得G（，，）．（1）=（，﹣1，0），=（0，﹣4，2），∴=（，，）．∵=（，，）•（0，﹣4，2）=0，∴AG⊥BD（2）由（1）知，）=（，﹣1，0），=（，，）.=（﹣，﹣，）=（，﹣，）∵，．∴是平面APG的法向量．设=（x，y，1）是平面ABG的法向量，由，解得=（﹣2，0，1）分cosθ==．所以二面角二面角P﹣AG﹣B的平面角的余弦值23.解：（1）椭圆C：经过点P（1，），可得-11-\n①由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，④在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），从而，，=k﹣注意到A，F，B共线，则有k=kAF=kBF，即有==k所以k1+k2=+=+﹣（+）=2k﹣×⑤④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1又k3=k﹣，所以k1+k2=2k3故存在常数λ=2符合题意方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为令x=4，求得M（4，）-11-\n从而直线PM的斜率为k3=，联立，得A（，），则直线PA的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=所以k1+k2=+=2×=2k3，故存在常数λ=2符合题意-11-
