陕西省西安市长安区2022-2022学年高二数学上学期第一次月考试题（重点、平行班）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.“若，则”的逆否命题是( )A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则2.设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3.已知，命题，则（ ）A．是假命题，B．是假命题，C．是真命题，D．是真命题，4.若一条直线与一个平面成72°角，则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大角等于（ ）A．72°B．90°C．108°D．180°5.已知向量，，且∥，则实数的值等于（ ）A．B．-2C．0D.或-26.已知非零向量，不共线，如果，，，则四点（ ）A．一定共圆B．恰是空间四边形的四个顶点C．一定共面D．肯定不共面-10-\n7.已知，则最大值为（ ）A．B．C．D．8.如图，60°的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为（ ）A．B．7C．D．99.如图，将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成直二面角，若之间的空间距离为，则=（ ）A．﹣1B．1C．D．10.若顶点的坐标分别为(－4,0),(4,0)，边上的中线长之和为30，则的重心的轨迹方程为()A．B．C．D．11.设是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）A．B．-10-\nC．D．12.已知椭圆的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（ ）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。请把答案填在答题纸的相应空格中）13.已知实数4，，9构成一个等比数列，则椭圆的焦距为 14.设有两个命题，：关于的不等式的解集是；函数的定义域为．如果为真命题，为假命题，则实数的取值范围是 ．15.如图，空间四边形中，分别是对边的中点，点在线段上，分所成的定比为2，，则的值分别为 ．16.如图，在平面直角坐标系中，已知分别为椭圆的右、下、上顶点，是椭圆的右焦点．若，则椭圆的离心率是 ．17.是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：-10-\n(1)如果，那么.(2)如果，那么.(3)如果，那么.(4)如果，那么与所成的角和与所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)三、解答题：（本大题共5小题，共65分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请在答题纸的相应位置作答）18.（12分）已知，命题对任意，不等式恒成立；命题存在，使得成立。（1）若为真命题，求的取值范围；（2）当时，若为假，为真，求的取值范围．19.（12分）如图，三棱锥中，平面，，。分别为线段上的点，且。.(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值。20.（12分）已知椭圆的两个焦点是，，且椭圆经过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过椭圆的左焦点且斜率为1的直线与椭圆交于两点，求线段的长。21.（14分）如图：等边三角形所在的平面与所在的平面互相垂直，分别为边中点．已知，，-10-\n。（1）证明：平面；（2）证明：；（3）求点到平面的距离．22.（14分）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线，交椭圆于两点，点在椭圆上，坐标原点恰为的重心，求直线的方程．-10-\n数学试题答案（理科重点平行）一、选择题：CACBBCDCDBAA二、填空题13.14.15.16.17.（2）、（4）三、解答题：18.（12分）已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣3m恒成立；命题q：存在x∈[﹣1，1]，使得m≤ax成立．（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）当a=1时，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．解：（1）对任意x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣3m恒成立，∴﹣2≥m2﹣3m，解得1≤m≤2．（2）a=1时，存在x∈[﹣1，1]，使得m≤ax成立．∴m≤1．∵p且q为假，p或q为真，∴p与q必然一真一假，∴或，解得1＜m≤2或m＜1．∴m的取值范围是（﹣∞，1）∪（1，2]．19.（12分）如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝.D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝，CE＝2EB＝2.(1)证明：DE⊥平面PCD；(2)求二面角A-PD-C的余弦值（1）由PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，故PC⊥DE，CE＝2，CD＝DE＝得△CDE为等腰直角三角形，故CD⊥DE.由PC∩CD＝C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE⊥平面PCD.-10-\n（2）由(1)知，△CDE为等腰直角三角形，∠DCE＝，如图，过D作DF垂直CE于F，易知DF＝FC＝FE＝1，又已知EB＝1，故FB＝2.∠ACB＝得DF∥AC，＝＝，故AC＝DF＝.以C为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，P(0,0,3)，A，E(0,2,0)，D(1,1,0)，＝(1，－1,0)，＝(－1，－1,3)，＝.设平面PAD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由n1·＝0，n1·＝0，得故可取n1＝(2,1,1).由(1)可知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量n2可取为，即n2＝(1，－1,0).从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝＝，所求二面角A-PD-C的余弦值为.20.（12分）已知椭圆C的两个焦点是F1（﹣2，0），F2（2，0），且椭圆C经过点A（0，）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过椭圆C的左焦点F1（﹣2，0）且斜率为1的直线l与椭圆C交于P、Q两点，求线段PQ的长解：（1）由题意可知椭圆焦点在x轴上，设椭圆方程为（a＞b＞0），由题意可知，∴a=3，b=．∴椭圆的标准方程为=1．-10-\n（2）直线l的方程为y=x+2，联立方程组，得14x2+36x﹣9=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=﹣，∴|PQ|=|x1﹣x2|===．21.（14分）如图：等边三角形PAB所在的平面与Rt△ABC所在的平面互相垂直，D、E分别为AB、AC边中点．已知AB⊥BC，AB=2，BC=2（Ⅰ）证明：DE∥平面PBC；（Ⅱ）证明：AB⊥PE；（Ⅲ）求点D到平面PBE的距离．（Ⅰ）证明：∵D、E分别为AB、AC边中点，∴DE∥BC，∵DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC；（Ⅱ）证明：连接PD，则∵AB⊥BC，DE∥BC，∴AB⊥DE，∵等边三角形PAB，D为AB的中点，∴PD⊥AB，∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE，∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE；（Ⅲ）解：∵平面PAB⊥平面ABC，PD⊥AB，∴PD⊥平面ABC，∵D为AB中点，AB=2，∴PD=，∴VP﹣ABC==2，-10-\n∵E是AC的中点，∴S△ABE=，∴S△BDE=，∴VP﹣BCE=VP﹣ABC=，∵BE==2，∴PE==，∵B到PE的距离为=，∴S△BPE==，设点D到平面PBE的距离为h，则=，∴h=．法二：空间向量法22.（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），点P（2，）在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F的直线，交椭圆C于A、B两点，点M在椭圆C上，坐标原点O恰为△ABM的重心，求直线l的方程．解：（Ⅰ）由题意可得c=2，左焦点F1（﹣2，0），|PF|=，所以|PF1|==，即2a=|PF|+|PF1|=2，即a2=6，b2=a2﹣c2=2，故椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）显然直线l与x轴不垂直，设l：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2）．将l的方程代入C得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，可得x1+x2=，所以AB的中点N（，），-10-\n由坐标原点O恰为△ABM的重心，可得M（，）．由点M在C上，可得15k4+2k2﹣1=0，解得k2=或﹣（舍），即k=±．故直线l的方程为y=±（x﹣2）．-10-
