2022-2022学年度第一学期黄陵中学高二重点班数学试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是()A.一个棱柱中挖去一个棱柱B.一个棱柱中挖去一个圆柱C.一个圆柱中挖去一个棱锥D.一个棱台中挖去一个圆柱2.若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．平行或异面3.下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是()A．(1)(2)B．(2)(3)C．(3)(4)D．(1)(4)4.命题“∃x∈R，x2＋4x＋5≤0”的否定是()000A．∃x∈R，x2＋4x＋5＞0B．∃x∈R，x2＋4x＋5≤0000000C．∀x∈R，x2＋4x＋5＞0D．∀x∈R，x2＋4x＋5≤05.长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°6.“直线与平面α内无数条直线垂直”是“直线与平面α垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件6\n5.设a，b，c是空间的三条直线，给出以下三个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；②若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面；③若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的个数是()A．3B．2C．1D．036.正方体的内切球和外接球的半径之比为（）6B．3:2A．3:1C．2:D．1：367.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()9A.π＋122.B9π＋182C．9π＋42D．36π＋188.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积为()A．12B．32C．62D．69.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列选项正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β10.下列有关命题的叙述，①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；②“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件；③命题p：∃x∈R，使得x2＋x－1<0，则¬p：∀x∈R，使得x2＋x－1≥0；④命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2－3x＋2≠0”．其中错误的个数为()6\nA．1B．2C．3D．4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.命题“若a=-1，则a2=1”的逆否命题是．14.已知条件p：x³1，条件q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是．15.如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角是．16.设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝_.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（10分）如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，连接A¢C¢,A¢D,A¢B,BD,BC¢,C¢D,得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值；(2)三棱锥A′－BC′D的体积．EHDFGA18.(12分)已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且ＥＨ∥ＦＧ．B求证：EH∥BD.(12分)C6\n19.（12分）已知DABC中ÐACB=90o，SA^面ABC，AD^SC.D求证：AD^面SBC．SABC20.如图所示，在三棱锥S－ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，3且BC＝1，SA＝，求二面角S－BC－A的大小．（10分）221.(12分)命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0，对一切x∈R恒成立，命题q：指数函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．22.（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，PA＝PB，且侧面PAB⊥平面ABCD，点E是AB的中点.（1）求证：PE⊥AD；．（2）若CA＝CB，求证：平面PEC⊥平面PAB6\n数学试题答案题号123456789101112答案BDDCDBCDBACB一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.如果a2¹1，则a¹-1;14.[1,+¥);15.45°;16.9;三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题10分）解：(1)∵ABCD－A′B′C′D′是正方体，∴六个面都是正方形，∴A′C′＝A′B＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝2a，6∴S三棱锥S三棱锥＝4×332a)2＝23a2，S＝6a2，×(正方体46∴＝.S正方体3(2)显然，三棱锥A′－ABD、C′－BCD、D－A′D′C′、B－A′B′C′是完全一样的，311213323∴V三棱锥A′－BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′－ABD＝a－4××a×a＝a.6\n18.(12)解析：证明：QEHPFG,EHË面BCD，FGÌ面BCD\EHP面BCD又QEHÌ面ABD，面BCDI面ABD=BD，BDÌ面BCD\EHPBD19.(12)解析：证明：QÐACB=90o\BC^AC又SA^面ABC\SA^BC，又QSAIAC=A6\BC^面SAC\BC^AD又SC^AD,SCIBC=CQADÌ面SAC6\AD^面SBC20.(12)答案60°解析：取BC的中点O，连接SO，AO，因为AB＝AC，O是BC的中点，所以AO⊥BC，同理可证SO⊥BC，所以∠SOA是二面角S－BC－A的平面角．在△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝60°，AB＝1，6所以AO＝1×sin60°＝33.同理可求SO＝.63又SA＝22SOA是等边三角形，6，所以△2所以∠SOA＝60°，所以二面角S－BC－A的大小为60°.21.(12)解：Qx2+2ax+4>0对一切xÎR都恒成立\D=(2a)2-4´1´4=4a2-16<0，解得：-2<a<2.\命题p为真命题时实数a的取值范围是(-2,2).命题p为假命题时实数a的取值范围是(-¥,-2]U[2,+¥).6\n要使函数f(x)=(3-2a)x是增函数则3-2a>1,解得：a<1.\命题q为真命题时实数a的取值范围是(-¥，1)命题q为假命题时实数a的取值范围是[1，+¥)又\若p或q为真，p且q为假\p真q假，或p假q真当p真q假时，ì-2<a<2，即：1£a<2.îía³1当p假q真时，ìa£-2,或a³2，即：a£-2.îía<1综上所述，实数a的取值范围为：(-¥，-2]U[1,2)22.(12分)解析：(1)证明：因为PA＝PB，点E是棱AB的中点，所以PE⊥AB，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，平面PAB，所以PE⊥平面ABCD，因为平面ABCD，所以PE⊥AD.(2)证明：因为CA＝CB，点E是AB的中点，所以CE⊥AB.由（1）可得PE⊥AB，又因为，所以AB⊥平面PEC，又因为平面PAB，所以平面PAB⊥平面PEC.
