2022届高三年级第一次模拟考试数学试题(理科)（满分150分，考试时间120分钟）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知集合，，则集合A．B．C．D．2．已知向量，若，则等于A．B．C．D．3．若命题：，则：A．B．C．D．4．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为A．akmB.akmC．2akmD.akm5．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内应为A．k＞5?B．k＞4?C．k＞7?D．k＞6?6．过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围为A．或B．C．或 D．或7.若，若的最大值为，则的值是A． B． C． D．-10-8．函数，若，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．9．已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是A．B．C． D．10．已知等比数列的公比且，又，则A．B．C．D．11．已知椭圆，为其左、右焦点，为椭圆上任一点，的重心为，内心，且有（其中为实数），椭圆的离心率A．B．C． D．12．已知函数，其导函数为．①的单调减区间是；②的极小值是；③当时，对任意的且，恒有④函数有且只有一个零点．其中真命题的个数为A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(每小题5分，共20分)-10-13．设(其中e为自然对数的底数)，则的值为_________．14．在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在双曲线上，则为___________. 15．设是不等式组表示的平面区域内的任意一点，向量，若，则的最大值为．16．已知函数，若数列满足（），且是递增数列，则实数的取值范围是___________．三、解答题17．(本小题满分10分)已知是函数图象的一条对称轴．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）化简的解析式，并作出函数在上的图象简图（不要求写作图过程）．18．(本小题满分12分)已知等差数列{}的公差，它的前n项和为，若，且成等比数列，-10-（Ⅰ）求数列{}的通项公式；（Ⅱ）若数列{}的前n项和为，求证：．19．(本小题满分12分)在中，内角、、所对的边分别为，其外接圆半径为6，，（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的面积的最大值．20．(本小题满分12分)在直角坐标系中，以原点为圆心的圆与直线相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）若已知点，过点作圆的切线，求切线的方程．21．(本小题满分12分)已知函数的图象在点处的切线方程为.（Ⅰ）用表示出，；（Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范围．22．(本小题满分12分)已知椭圆：的一个焦点为，左右顶点分别为，.经过点的直线与椭圆交于，两点.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线的倾斜角为时，求线段的长；（Ⅲ）记与的面积分别为和，求的最大值.-10-高三数学(理科）参考答案及评分标准一、选择题1．D；2．D；3．A；4．D；5．B；6．D；7.A；8．A；9．C；10．A；11．A；12．C．二、填空题13．；14．；15．5；16．（2,3）．三、解答题17．(本小题满分10分)解：（I）方法1：，………………2分∵是函数图象一条对称轴，∴，……………4分即，∴；………………6分方法2：∵，∴最值是，………………2分∵是函数图象的一条对称轴，∴，………………4分∴，整理得，∴；………………6分（II）………………7分-10-在上的图象简图如下图所示．………………10分18．(本小题满分12分)解：(Ⅰ)由已知，，………………2分又成等比数列，由且可解得，………………4分，故数列{}的通项公式为；………………6分(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)，………………7分，………………9分显然，．………………12分19．(本小题满分12分)(Ⅰ)解：，-10-………………3分，……………………6分(Ⅱ)，即.又.………………………………8分.……………………10分而时，.…………………………………………12分20．(本小题满分12分)解：(Ⅰ)设圆的方程为x2＋y2＝r2，…………………………1分由题可知，半径即为圆心到切线的距离，故r＝＝2，……………………3分∴圆的方程是x2＋y2＝4；………………………………4分(Ⅱ)∵|OP|＝＝>2，∴点P在圆外．显然，斜率不存在时，直线与圆相离．……………………………6分故可设所求切线方程为y－2＝k(x－3)，即kx－y＋2－3k＝0.……………………………8分又圆心为O(0,0)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝＝2，即|3k－2|＝2,………………9分∴k＝或k＝0，…………………………………11分故所求切线方程为12x－5y－26＝0或y－2＝0．……………………12分21．(本小题满分12分) 解：(Ⅰ)，………………………………………1分-10-由题设，则有，…………………………3分解得.………………………………………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，令，则，………………………………………5分……………7分①当，若，则，是减函数，所以，当时，有，即，故在上不能恒成立．……………………………9分②当时，有若，则，在上为增函数．所以，当时，，即，故当时，．……………………………………11分综上所述，所求的取值范围为……………………12分22．(本小题满分12分)解：（I）因为为椭圆的焦点,所以又-10-所以所以椭圆方程为…………………………3分（Ⅱ）因为直线的倾斜角为,所以直线的斜率为1,所以直线方程为,和椭圆方程联立得到,消掉,得到…………………………5分所以所以…………………………6分（Ⅲ）当直线无斜率时,直线方程为,此时,面积相等，…………7分当直线斜率存在（显然）时,设直线方程为,设和椭圆方程联立得到,消掉得显然，方程有根，且………………8分此时………………………………10分因为,上式，（时等号成立）所以的最大值为………………………………12分-10-另解：（Ⅲ）设直线的方程为：，则由得，．设，，则，．………………8分所以，，，……………………10分当时，．由，得．当时，从而，当时，取得最大值．…………………………12分-10-
