哈师大附中2022—2022学年度下学期期中考试高二数学理试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.从1、2、3、4、5五个数字中任选两个组成个位和十位数字不同的两位数，这个数字是偶数的概率为（）A.B.C.D.2.函数的单调递增区间为（）A.B.C.D.3.若甲以10发6中，乙以10发5中的命中率打靶，两人各射击一次，则他们都中靶的概率是()A.B.C.D.4.若a＝x2dx，b＝x3dx，c＝sinxdx，则a、b、c的大小关系是( )A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b5.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )A.1个B.2个C.3个D.4个6.有3个相识的人某天各自乘火车外出，假设火车有10节车厢，那么至少有2人在同一车厢内相遇的概率为( )A.B.C.D.7.如图所示，曲线是函数的大致图象，则等于（ ）A.B.C.D.8.直线与曲线相切于点（2,3），则的值为（）A.-3B.9C.-15D.-79\n9.已知函数，则的大小关系是（ ）A.B.C.D.10.甲乙两人一起去游“2022上海世博会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )A.B.C.D.11.已知实数a，b满足≤a≤1，≤b≤1，则函数y＝x3－ax2＋bx＋5有极值的概率为( )A.B.C.D.12.定义在R上的可导函数f(x),且f(x)图像连续,当x≠0时,,则函数的零点的个数为（ ）A.1B.2C.0D.0或2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.某厂生产的灯泡能用3000小时的概率为0.8，能用4500小时的概率为0.2，则已用3000小时的灯泡能用到4500小时的概率为.14.=________.15.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书。则小波周末不在家看书的概率为______________.16．对于函数，有下列说法：①该函数必有两个极值点；②该函数的极大值必大于1；③该函数的极小值必小于1；④该函数必有三个不同的零点其中正确结论的序号为.（写出所有正确结论序号）9\n三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知定义在上的函数，其中为常数．（1）若是函数的一个极值点，求的值；（2）若函数在区间上是增函数，求的取值范围．18．（本小题满分12分）有一枚正方体骰子，六个面分别写1、2、3、4、5、6的数字，规定“抛掷该枚骰子得到的数字是抛掷后，面向上的那一个数字”.已知和是先后抛掷该枚骰子得到的数字，函数(1)若先抛掷骰子得到的数字是3，求再次抛掷骰子时，使函数有零点的概率；(2)求函数在区间(－3，＋∞)上是增函数的概率.19.（本小题满分12分）已知函数（1）当时,求曲线在处的切线方程；（2）求函数的单调区间.9\n20．（本小题满分12分）在某校组织的一次篮球定点投篮测试中，规定每人最多投次，每次投篮的结果相互独立.在处每投进一球得分，在处每投进一球得分，否则得分.将学生得分逐次累加并用表示，如果的值不低于分就认为通过测试，立即停止投篮，否则继续投篮，直到投完三次为止.投篮的方案有以下两种：方案1：先在处投一球，以后都在处投；方案2：都在处投篮.甲同学在处投篮的命中率为，在处投篮的命中率为.（Ⅰ）甲同学选择方案1.求甲同学测试结束后所得总分等于4的概率；求甲同学测试结束后所得总分的分布列和数学期望；（Ⅱ）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数.（1）当时，证明：在上为减函数；（2）若有两个极值点求实数的取值范围.9\n22.（本小题满分12分）已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）任意，恒成立，求实数的取值范围.9\n参考答案选择题1.A、2.C、3.C、4.D、5.A、6.B、7.C、8.C、9.B、10.D、11.C、12.C填空题13.0.2514.15.16.①②③解答题17.（本小题满分10分）（1）解：由已知经检验：时，为的极大值点。………………5分（2）解：由已知，可得，都有成立，即.………………10分18.（本小题满分12分）（1）解:设事件A：再次抛掷骰子时，函数有零点.若有零点，则.所以.答：再次抛掷骰子时，函数有零点的概率为.………………6分（2）解：设事件B为函数在为增函数.若函数在上是增函数，则有，即.当时，；当时，.所以答：函数在上是增函数的概率是.………………12分19.（本小题满分12分）9\n（1）解：当时，，………………2分又，，所以在处的切线方程为………………4分（II）解：当时，又函数的定义域为所以的单调递减区间为……………6分当时，的单调递减区间为，，单调递增区间为………………9分当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，………………12分20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在处投篮命中记作,不中记作；在处投篮命中记作,不中记作；甲同学测试结束后所得总分为4可记作事件,则……………2分解：的所有可能取值为，则9\n……………6分的分布列为：02340.020.160.50.32………………7分，………………9分（Ⅱ）解：甲同学选择方案1通过测试的概率为，选择方案2通过测试的概率为,=因为………………12分所以甲同学应选择方案2通过测试的概率更大21.（本小题满分12分）（1）证明：时，，，时，；时，；在区间递增，在区间递减；，即在上恒成立，在递减.………………6分（2）解：若有两个极值点，则是方程的两个根，故方程有两个根，又显然不是该方程的根，所以方程有两个根，9\n设当时，且单调递减，当时，当时，单调递减，当时，单调递增，要使方程有两个根，需即且故的取值范围为………………12分22.（本小题满分12分）（1）时，，，时；时，函数在区间递增，在区间递减.………………4分（2）由已知得时，恒成立，即时，恒成立。设，，时，，在区间递减，时，，故；………………8分时，若，则，函数在区间递增，若，即时，在递增，则，矛盾，故舍去；………………10分若，即时，在递减，在递增，且时，，矛盾，故舍去.综上，.………………12分9
