2021级高一下学期期末考试数学试题注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知平面向量，则与同向的单位向量为（）A.B.C.D.【答案】C2.如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）为纯虚数，那么z的虚部为（）A.B.C.D.【答案】A3.如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论中错误的是（）\nA.直线与为异面直线B.平面C.平面平面D.三棱锥的体积为【答案】D4.甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，这些小球除颜色外完全相同，从甲、乙两袋中各任取1个球，则下列结论错误的是（）A.2个球颜色相同的概率为B.2个球不都是红球的概率为C.至少有1个红球的概率为D.2个球中恰有1个红球的概率为【答案】B5.在中，角所对的边分别为，若，则（）A.B.或C.D.或【答案】D6.已知在三棱锥M-ABC中，MA⊥平面ABC，，且为直角三角形，则该三棱锥的外接球的体积为（）A.B.C.D.【答案】B7.如图所示，在同一个平面内，向量，，满足：，与的夹角为，且，与的夹角为45°，若，则（）A.1B.C.D.【答案】C\n8.等边的边长为，过点的直线与过的平面交于点．将平面绕转动（不与平面重合），且三条直线、、与平面所成的角始终相等．当三棱锥体积最大时，与平面所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】D二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9.如下四个命题中，说法正确的是（）A.向量的长度与向量的长度相等；B.两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；C.两个公共终点的向量，一定是共线向量；D.向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．【答案】AB10.盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件A＝“两个球颜色相同”，B＝“第1次取出的是红球”，C＝“第2次取出的是红球”，D＝“两个球颜色不同”．则下列说法正确的是（）A.A与B相互独立B.A与D互为对立C.B与C互斥D.B与D相互独立【答案】ABD11.在锐角三角形ABC中，A，B，C为三个内角，a，b，c分别为A，B，C所对的三边，则下列结论成立的是（）A.若，则B.若，则B的取值范围是C.D.【答案】ACD\n12.正方体中，下列说法正确的是（）A.在空间中，过作与夹角都为60°的直线可以作4条B.在空间中，过作与夹角都为45°的直线可以作4条C.棱的中点分别为E，F，在空间中，能且只能作一条直线与直线，，都相交D.在空间中，过与直线，，夹角都相等的直线有4条【答案】AD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.研究下列问题：①合肥市今年“八一”前后的气温；②某种新型电路元件使用寿命的测定；③“安徽新闻联播”的收视率；④近年来我国大学生入学人数的相关数据．其中，通过试验获取数据的是__________．（填写问题对应的序号）【答案】②14.锐角中，内角的对边分别为，若，则的面积的取值范围是________【答案】15.已知圆O的半径为2，A为圆内一点，，B，C为圆O上任意两点，则的取值范围是_________．【答案】16.在侧棱长为，底面边长为2的正三棱锥P-ABC中，E，F分别为AB，BC的中点，M，N分别为PE和平面PAF上的动点，则的最小值为__________．\n【答案】四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知复数，，其中．（1）当时，求；（2）若，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.18.已知向量，，，．（1）若，且，求x的值；（2）是否存在实数，使得？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）或；（2）存在；.19.（1）树人中学高一（1）班50名同学期中考试（100分制）数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是，，，，，，试求数学成绩的分位数（保留一位小数）；\n（2）树人中学组建足球队备战全市高中生足球联赛．队员分别来自高一、高二两个年级，且高一年级队员占队员总数的．已知高一年级队员体重（单位：kg）的平均数为70，方差为300；高二年级队员体重的平均数为60，方差为200．求足球队全体队员体重的平均数及方差．【答案】（1）；（2）平均数为；方差为．20.在△ABC中，a，b，c分别A，B，C所对边，．（1）求A；（2）若，求BC边上的高．【答案】（1）（2）21.一个盒中装有红、白两种颜色的玻璃球，其中红球3个，白球2个．（1）若一次从盒中随机取出2个玻璃球，求至少取到一个白色球的概率；（2）依次从盒中随机取球，每次取一个，取后不放回．当某种颜色的球全部取出后即停止取球．求最后一次取出的是红色玻璃球的概率．【答案】（1）；（2）.\n22.如图，在三棱台中，与、都垂直，已知，．（1）求证：平面平面；（2）直线与底面所成的角的大小为多少时，二面角的余弦值为？（3）在（2）的条件下，求点C到平面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【小问1详解】∵与、都垂直，又由棱台的性质，∴，，又，∴平面，又平面．故平面平面．【小问2详解】由（1）知，平面平面．如图所示，过作于D，则平面，∴是与平面所成的角，即．\n作于E，则为二面角的平面角．在中，易得．在中，，，，．由，得．∵，∴，即，于是，，，注意到，故．【小问3详解】点C到平面的距离即为点C到平面的距离．，，，，又由可知，点C到平面的距离即点到平面ABC的距离，由（2）知，平面ABC，且，于是，C到平面的距离为．
