北京一零一中2021-2022学年度第二学期期末考试高一数学（模拟一）一､选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.正方体中，分别是中点，则正方体的过的截面图形的形状是（）A.正方形B.平行四边形C.正五边形D.正六边形【答案】D【解析】【分析】由，可以确定一个平面这个平面与正方体的棱、分别交于，，由正方体的性质得正方体过，，，的截面图形的形状是正六边形．【详解】解：如图所示，由，可以确定一个平面，这个平面与正方体的棱、分别交于，，由正方体的性质得，，且，正方体过，，，的截面图形的形状是正六边形．故选：D．2.空间四点共面而不共线，那么这四点中（）A.必有三点共线B.至多有三点共线C.至少有三点共线D.不可能有三点共线【答案】B\n【解析】【分析】画出空间四点共面而不共线的两种情况，即可得出答案.【详解】如下图所示，A，C，D均不正确，只有B正确.故选：B.3.设向量，满足，，，则（）A.B.C.D.12【答案】B【解析】【分析】直接利用向量的模以及数量积的运算法则求解即可.【详解】解：向量，满足，，，则，则.故选：B.【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的模，考查了基本运算求解能力，属于基础题.4.要想得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点A.先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变B.先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变\nC.横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度D.横坐标变伸长原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度【答案】C【解析】【详解】函数的图象上所有的点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变得到，再向右平移个单位长度，故选C5.下列函数中，周期为1的奇函数是 ( )A.y=1-2sin2πxB.y=sinC.y=tanxD.y=sinπxcosπx【答案】D【解析】【分析】对，利用二倍角的余弦公式化简后判断；对直接判断奇偶性即可；对，直接利用正切函数的周期公式判断即可；对，利用二倍角的正弦公式化简后判断即可.【详解】化简函数表达式y=1-2sin2πx=cos是偶函数，周期为1，不合题意；y=sin的周期为1，是非奇非偶函数，周期为1，不合题意；y=tanx是奇函数，周期为2，不合题意；y=sinπxcosπx=sin2πx是奇函数，周期为1，合题意；故选D.【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及三角函数的周期公式，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由函数可求得函数的周期为；由函数可求得函数的周期为.6.正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）\nA.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高，下底面面积，上底面面积，所以该棱台的体积.故选：D.7.若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】\n，，，，解得，，.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.8.在中,分别为角的对边),则的形状为A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形【答案】A【解析】【详解】依题意，利用正弦定理及二倍角公式得，即，又，故，三角形中，故，故三角形为直角三角形，故选A.9.已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题可得为等腰直角三角形，得出外接圆的半径，则可求得到平面的距离，进而求得体积.【详解】，为等腰直角三角形，，则外接圆的半径为，又球的半径为1，\n设到平面的距离为，则，所以.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.10.设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路一：从定义入手．\n所以．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．二､填空题共5小题.11.在△ABC中,若则角B等于______.【答案】或【解析】【详解】∵∴由正弦定理得：∵∴或故答案为或12.设，是两个不同的平面，l是直线且，则“”是“”的______.条件(参考选项：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要).【答案】充分不必要【解析】【分析】面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.根据题意由判断定\n理得.若，直线则直线，或直线，或直线l与平面相交，或直线l在平面内.由，直线得不到，故可得出结论..【详解】面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.因为直线且所以由判断定理得.所以直线，且若，直线则直线，或直线，或直线l与平面相交，或直线l在平面内.所以“”是“”成立的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.【点睛】本题考查充分条件，必要条件的判断，涉及到线面、面面关系，属于基础题.13.已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球的表面积为______.【答案】【解析】【分析】把直三棱柱的补成一个长方体，则直三棱柱的外接球和长方体的外接球是同一个球，由长方体的对角线长等于球的直径，求得球的半径，再利用球的表面积公式，即可求解．【详解】由题意，直三棱柱的底面为直角三角形，可把直三棱柱的补成一个长方体，则直三棱柱的外接球和长方体的外接球是同一个球，又由长方体的对角线长等于球的直径，且，即，即，所以球表面积为．\n故答案为【点睛】本题主要考查了直三棱柱与球的组合体问题，以及球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．14.已知函数，，其中表示不超过x的最大整数．例如：，，．①________；②若对任意都成立，则实数a的取值范围是________．【答案】①.②.【解析】【分析】①根据解析式以及取整定义，将代入解析式可求函数值；②讨论的取值范围，求出，根据不等式恒成立，只需即可求解.【详解】①由，.②当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；\n当时，；当时，，又对任意都成立，即恒成立，，所以，所以实数a的取值范围是.故答案为：；15.已知函数，给出下列四个结论：①若，恰有2个零点；②存在负数，使得恰有1个零点；③存在负数，使得恰有3个零点；④存在正数，使得恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是_______．【答案】①②④【解析】【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确；对于②，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，存在，使得只有一个零点，②正确；对于③，当直线过点时，，解得，\n所以，当时，直线与曲线有两个交点，若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；对于④，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，当时，函数有三个零点，④正确.故答案为：①②④.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．三､解答题共4小题.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.\n16.已知函数.（1）求函数的对称轴；（2）当时，求函数的最大值与最小值.【答案】（1）对称轴方程为：()；（2）最大值为2，最小值为.【解析】【分析】（1）直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的对称轴方程.（2）利用函数的定义域的应用求出函数的值域，进一步求出函数的最大和最小值.【详解】（1）函数.令()，解得()，所以函数的对称轴方程为：().（2）由于，所以，故.则：故当时，函数的最小值为.当时，函数的最大值为2.【点睛】本题考查正弦型函数的性质，属于基础题.17.如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，，，，，，G，H分别为FA，FD的中点.\n（1）证明：四边形BCHG是平行四边形.（2）C，D，F，E四点是否共面？为什么？【答案】（1）见解析（2）C，D，F，E四点共面.见解析【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可证明,即可证明四边形是平行四边形.（2）根据平行四边形性质及（1）中结论,可证明与共面,结合即可证明四点共面.【详解】（1）证明：因为分别为中点,所以,.又,所以,,所以四边形是平行四边形.（2）四点共面.理由如下：由,,是中点知,,所以四边形为平行四边形,所以.由（1）知,所以,所以与共面.又,所以四点共面.【点睛】本题考查了由中位线定理判定平行四边形,由线线平行证明四点共面,属于基础题.18.已知在中，所对边分别为，且.（1）若，求的面积；\n（2）若，求的周长.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）利用余弦定理及三角形面积公式即得；（2）利用正弦定理及条件可求，再利用正弦定理即可求解.【小问1详解】，【小问2详解】依题意，正弦定理：，所以代入计算：，则.当为锐角时，，所以，当为钝角时，，\n所以，综上：或.19.正四棱锥的展开图如图所示，侧棱长为1，记，其表面积记为，体积记为.（1）求的解析式，并直接写出的取值范围；（2）求，并将其化简为的形式，其中为常数；（3）试判断是否存在最大值，最小值？（写出结论即可）【答案】（1），；（2），；（3）最大值，无最小值.【解析】\n【分析】（1）根据四棱锥的表面积公式进行求解即可；（2）求出的表达式，利用三角函数的关系式进行化简即可；（3）根据的表达式，直接进行判断最值即可．【小问1详解】解:因为正四棱锥中，，所以，其中.【小问2详解】解:设正方形中心为点，则.所以在RtSOA中，.所以.所以.方法一：，所以.所以.方法二：，\n所以.【小问3详解】解:有最大值，无最小值.
