四川省绵阳南山中学2021-2022学年高二数学（理）下学期期末统考热身考试（PDF版附答案）

绵阳南山中学2022年春季高二学年统考热身考试数学（理工类）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设i是虚数单位，则复数(2)(1+−ii)在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.下列说法正确的是()xxA.命题“x02，使得e01成立”的否定是“x2，都有e1成立”B.命题“若x1，则lnx0”的否命题为“若x1，则lnx0”C.命题“若x=0，则xy=0”的逆否命题为真命题D.命题“x0R，使得sinx0=成立”为真命题px:R，2223.命题0xx00++10；命题q：若ab，则ambm；则下列是真命题的（）A.pqB.pqC.qD.pa54.(2)x−的展开式中各项系数的和为1，则该展开式中x的系数是（）xA.−80B.−40C.40D.80x5.已知函数fx()=−eax，则“a−3”是“函数fx()在R上为增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6.如图，设OA=a，OB=b，OC=c，若AN=NB，BM=2MC，则MN=()112112A.ab+−cB.−a−b+c263263111111C.a−−bcD.−a+b+c2632631\nx27.函数y＝－ln|x|的图象大致为()88.小笼包在生活中非常常见，不同地方做出来的小笼包有不同的特色，无锡有一家商铺制作一种一笼有8个且是8种口味的小笼包，这8种口味分别为蟹粉味、鹅肝味、墨鱼味、芝士味、麻辣味，蒜香味、人参味，酱香味，将这样的一笼小包取出，排成一排，则人参味小笼包既与蟹粉味小包相邻又与墨鱼味小笼包相邻的概率为()1112A．B.C.D.56288729.已知函数f(x)=x-9lnx+3x在其定义域内的一个子区间(m-1,m+1)上不单调，则实数m的取值范围是()5353A．[1,)B.(1,)C.(1,)D.[1,)2222110.某风险投资公司选择了三个投资项目，设每个项目成功的概率都为，且相互之间没有影响，若每个2项目成功都获利20万元，若每个项目失败都亏损5万元．该公司三个投资项目获利的期望为()A．30万元B.22.5万元C.10万元D.7.5万元x11.已知函数fx(e)b=+的一条切线为y=ax+a，则ab的最小值为()1e1eA．−B.−C.D.2e22e21112.若关于x的不等式()x有正整数解，则实数的最小值为()x9A.9B.8C.7D.6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案直接填在答题卡中的横线上。13.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，要求必须有女生，那么不同的选派方案种数为__________．53314.(x+−y)(2xy)的展开式中xy的系数为__________．2\n15.在长方体ABCDABCD−1111中，AD1和CD1与底面所成的角分别为30°和45°，异面直线AD1和CD1所成角的余弦值为_______2x16.已知函数fx()e4lnx=mx−+2存在4个零点,则实数m的取值范围是__________．xe−xln三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。317.甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中5的8道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试，只有选中的4个题目均答对才能入选.(1)求甲恰有2个题目答对的概率；(2)求乙答对的题目数X的分布列及数学期望；18.如图，在ABC中，ABC=，O为AB边上一点，且3OB=3OC=2AB，PO⊥平面ABC，2DA=2AO=PO，4且DA//PO.(1)求证：CO⊥平面POB；(2)求直线PD与平面BDC所成角的正弦值.3219.设函数fx()x(1ax=)++ax+(1)a=0时,求f(x)在区间[-1,2]上的最大值与最小值.(2)a>0时,f(x)有两个不同的极值点x1,x2,且对不等式fx()fx()0+恒成立，求实数a的取值范围？1220.如图，在几何体ABCDEF中，AB//CDAD,=DC=CB=1,ABC=60，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1.(1)求证：平面FBC⊥平面ACFE；(2)点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为(90)，试求cos的取值范围．3\n2x3a21.已知函数fx()e2ax=(−)a+R.(e=2.71828…为自然对数的底数)xe(1)讨论f(x)的单调区间；2x3a22(2)当x+(0,)时，exa()10−+()−x−afx+恒成立，求a的取值范围．xe（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）x=+1cos在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的y=sin正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=2sin．(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C3的极坐标方程为=(0π,R)，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C的交点，A，B均异于极点，且AB=22，求的值．223．【选修4-5：不等式选讲】（10分）a已知函数fx()x=−．22(1)当a=2时，求不等式fx()−x+1的解集；(2)若gx(fx)=+xbc++()(a，b，c均为正实数)的最小值为3，求222abc++的最小值．4\n绵阳南山中学2022年春季高二学年统考热身考试数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．DCDDAACBABAD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．2113．1414．4015．16．(0,)4211x12题解析:因为，所以xx9，同取对数得lnx2ln3，x9xlnx2ln3lnx1ln−x因为xN*，所以0，即,令fx()=，fx()=，2xxx所以fx()在（0，e）上单调递增，在(e,+)上单调递减，因为23e，只需考虑f(2)和f(3)的大小关系，ln2ln8ln3ln9因为f(2)==，f(3)==，所以ff(23)()2636ln32ln3所以只需，即6，故最小值为6.3三、解答题：本大题共6小题，共70分317.(1)∵甲在备选的10道题中，答对其中每道题的概率都是，5∴选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率2223154PC==455625.……………………………………………………………………………………4分(2)由题意知乙答对的题目数X的可能取值为2，3，4，………………………………………………5分1\n22CC28228PX(==2=)=，………………………………………………………………………….7分4C210151013CC112828PX(==3=)=，………………………………………………………………………….9分4C21015104C7018PX(==4=)=，………………………………………………………………………….11分4C210310X的分布列为：X234281P15153故28116EX()2=34++=……………………………………………………………………………12分15153518.(1)证明：∵OB=OC，又∵ABC=，∴OCB=，∴BOC=，442∴CO⊥AB，………………………………………………………………………….3分又PO⊥平面ABC，OC平面ABC，∴PO⊥OC，又∵PO、AB平面PAB，POAB=O，∴CO⊥平面PAB，即CO⊥平面PBD…………………………………………….6分(2)解：以OC、OB、OP所在射线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设OA=1，则PO=OB=OC=2，DA=1，则C(2,0,0)，B(0,2,0)，P(0,0,2)，D(0,−1,1)，∴PD=(0,−1,−1)，BC=(2,−2,0)，BD=(0,−3,1)，设平面BDC的一个法向量为n=(x,y,z)，2\nnBC=02x−2y=0∴，∴，nBD=0−3y+z=0令y=1，则x=1，z=3，∴n=(1,1,3)，设PD与平面BDC所成的角为，PDn10+1(−1)+3(−1)222则sin=||=||=，|PD||n|02+(−1)2+(−1)212+12+3211222即直线PD与平面BDC所成角的正弦值为…………………………………………12分1119.解:(1)a=0时,f(x)=x3+x2，fx()x3x=2xx+(3=2)+2……………………………………………1分22由fx()0解得:02x或−1x−，由fx()0解得:−x03322所以f(x)在区间(0,2],[1,)−上单调递增，在(,0)−单调递减.………………………………3分3324又f(0)=0,f()−=3274故f(x)在区间[-1,2]上的极大值是,极小值是0.……………………………………………6分273322(2)因fx()fx()0+，故得不等式xxax+++x+ax+(1+)(x)()0．1212121222即()[(xxx+)3x+](1xx−+a+x+)[(x−xx)+2+ax]()0x．1212121212122由于fx()3=+x+axa+2(1)．2令fx=()0得方程3x+2(1+axa)+=0．22a△=4(a−+a1)4a0，xxa+=−+(1)，xx=，……………………………………………8分12123321代入前面不等式，并化简得(1+a)(2a−5a+2)0，解不等式得a2.21因此，实数a的取值范围是a2………………………………………………………………………12分2ABCDADDCCB，＝＝＝1，ABC＝6020.(1)证明：在四边形ABCD中，∵，∴AB＝2.222222∴AC=AB+BC−2ABBCcos60＝3，∴AB＝AC＋BC，⊥BCAC.∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE平面ABCDAC＝，BC平面ABCD，⊥BC平面3\nACFE.又因为BC平面FBC，所以平面FBC⊥平面ACFE…………………………….6分(2)由(1)知可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系Cxyz－，令FM＝()03．则CA(0,0,0BM0,0)，0,1,0(3,,0,1)，()，()．∴AB＝BM(3−),(，1,110,,=−)．设nxyz=(,,)为平面MAB的法向量，1nAB1=0−+=30xy由得取x=1，则n1=−(1,3,3)．nBM1=0xy−+=z0nn121cos==n2=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量，∴2.nn12(−+34)7103，∴当＝0时，cos有最小值，当=3时，cos有最大值7271所以cos的取值范围是,…………………………………………………………………..12分72222xxxxx3a2e3ae(3)(aeae)−−a−+21.(1)解:fx()e2a=−−==…………………………………..1分xxxeeei)当a=0时，fx()=ex>0,此时f(x)在R上单调递增…………………………………………………..2分ii)当a>0时，由fx()>0解得:x>ln(3a),由fx()<0解得:x<ln(3a),此时f(x)的单调递增区间为(ln(3a),+),f(x)的单调递减区间为(−,ln(3a))…………………………3分iii)当a<0时，由fx()>0解得:x>ln(-a),由fx()<0解得:x<ln(-a),此时f(x)的单调递增区间为(ln(-a),+),f(x)的单调递减区间为(−,ln(-a))……………………………4分4\n综上:a=0时,f(x)的单调递增区间是(−,+).a>0时,f(x)的单调递增区间为(ln(3a),+),f(x)的单调递减区间为(−,ln(3a)).a<0时,f(x)的单调递增区间为(ln(-a),+),f(x)的单调递减区间为(−,ln(-a)).2(2)由x3a22x(x-a-1)-x2+2ax-a2+10>0exa()10−+()−x−afx+可得:exe令g(x)=ex(x-a-1)-x2+2ax-a2+10,则当x>0时,g(x)>0.gx()=(ex-2)(x-a)i)a0时，x-a>0,g(x)在(0,ln2)单调递减，在(ln2,+)单调递增，22故g(ln2)=−+aa−−+(2ln22)+ln22ln280，解得:ln2-4<a<ln2+2,所以：ln2-4<a0……………………………………………………………………………….6分ii)0<a<ln2时,g(x)在(0,a)单调递增，在(a,ln2)单调递减,在(ln2,+)单调递增，g(ln2)0则，解得:0<a<ln2………………………………………………………………..8分g(0)0iii)a=ln2时，gx()0，g(x)在(0,+)单调递增，而g(0)=9-ln2-ln22>0成立；……………..9分iv)a>ln2时,g(x)在(0,ln2)单调递增，在(ln2,a)单调递减,在(a,+)单调递增，ga()e10=−0a则，所以：ln2<a<ln10………………………………………………………..11分2gaa(0)9=−−0综上:a的取值范围是(ln2-4,ln10)……………………………………………………………………12分x=+1cos2222.（1）曲线C1的参数方程为（为参数）．转换为直角坐标方程为：(xy−+11)=．y=sin22曲线C2的极坐标方程为=2sin．转换为直角坐标方程为：xy+−(=11)．……………….5分x=+1cos（2）曲线C1的参数方程为（为参数）．转换为极坐标方程为：=2cos，y=sin5\n曲线C2的极坐标方程为=2sin．曲线C3的极坐标方程为=(0，R)，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，=2sin=2cosA，B均异于极点，且AB=22，∴，，==整理得：ABa=−=12−=−=2sin2cos22sin22，43解得=．……………………………………………………………………………………………10分42224.(1)当a=2时，不等式fx(x)−+1即xx−−11+，x1x1∴：2，或2，xx−−11+11−−xx+x1x1∴，或，xx12或−xx01或故不等式的解集为{0xx∣或x1}；…………………………………………………………………5分(2)由绝对值三角不等式可得：aaaagx()=x−+xbc++x−−(xbc++)=++bc=3，当且仅当xxbc−++()0时2222a取等号，∵abc,,均为正实数，∴++=bc3，222221a∴根据柯西不等式可得，(a+b+c)++11++bc=9，4224222∴abc++4，当且仅当2abc==，即a=,b==c时等号成立，33222∴abc++的最小值是4．…………………………………………………………………………10分6