2022年定西市普通高中高一学生统一检测考试数学考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效在试题卷草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：湘教版必修第一册至第二册第四章4.3节．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求集合B，应用集合的交运算求.详解】由题意得，而，所以．故选：B2.设，则z的共轭复数为A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】试题分析：的共轭复数为，故选D．考点：1.复数的四则运算；2.共轭复数的概念．\n3.已知向量，，且，则实数m的值为（）A－3B.3C.8D.12【答案】A【解析】【分析】根据平面向量平行的性质求解即可【详解】∵向量，∴，解得．故选：A4.如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的周长是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据直观图的平面图，结合图形计算可得；【详解】解：∵三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形，可知平面图如下所示：\n∴的底，腰，为直角三角形，高，所以斜边，∴直角三角形的周长是．故选：A5.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．，则（）A.120°B.150°C.45°D.60°【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理，由题中条件，即可得出结果.【详解】∵，∴由余弦定理得，∵，∴．故选：C.6.函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移单位长度得到函数的图象，则函数的解析式是（）\nA.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据图象求出函数的解析式，再根据平移变换求出的解析式.【详解】由图可知；设周期为，则，所以；又，所以.由，，令，得.所以；因为将的图象向右平移单位长度得到函数的图象，所以.故选：C.7.若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（）\nA.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题设可得，讨论的大小关系求解集，并判断满足题设情况下m的范围即可.【详解】不等式，即，当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故；当时，不等式解集为，此时不符合题意；当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故；故实数m的取值范围为．故选：C8.菱形的边长为，，点在边上（包含端点），则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设，以为原点，、所在直线为、轴建立直角坐标系，，其中，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于的二次函数关系式，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.【详解】如图：设，因为四边形为菱形，则，以为原点，、所在直线为、轴建立直角坐标系，\n易得，、、，设，，其中，则，所以，，，，，则，所以，当时，取最小值．故选：C.二、选择题：本题共4小题每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.某位同学连续抛掷质地均匀的骰子8次，向上的点数分别为1，3，3，3，4，6，6，6，则这8个数（）A.众数为3和6B.中位数为3C.平均数为4D.第65百分位数为4【答案】AC【解析】【分析】根据众数、中位数、平均数、百分位数的概念及求法，求得各个数据，即可得答案.【详解】因为3和6出现的次数均为3，且出现的次数最多，因此众数为3和6，故A正确；这8个数的中位数为，故B错误；\n平均数为，故C正确；因为一共有8个数，由，且上述8个数是按照从小到大排列的，所以第65百分位数为6，故D错误．故选：AC10.如图，正方体中，点E，F，G，H，I分别为棱AB，CD，BC，，AD的中点，则下列结论正确的是（）A.AE与CD异面B.C.D.平面【答案】BD【解析】【分析】显然，即可判断A，再根据正方体的性质及线面垂直的性质判断B，可证，即可判断C，再由即可判断D；【详解】解：对于A：显然，即，故与共面，故A错误；对于B：因为平面，平面，所以，故B正确；对于C：因为，，所以，显然，所以与不平行，故C错误；对于D：因为，所以，平面，平面，所以平面，故D正确；故选：BD11.设函数，则下列结论错误的是（）\nA.的最小正周期为B.的图像关于直线对称C.的一个零点为D.的最大值为【答案】BD【解析】【分析】先求出.即可求出最小正周期和最大值，可以判断A、D；利用代入法判断选项B、C.【详解】函数．的最小正周期为，故A正确；∵，∴的图像不关于直线对称，故B错误；∵，∴是的一个零点，故C正确；函数，∴的最大值为2，故D错误．故答案为：BD12.中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，BC边上的中线，则下列说法正确的有：（）A.B.C.D.∠BAD的最大值为60°【答案】ABC【解析】【分析】利用向量的数量积公式,余弦定理及基本不等式对各个选项进行判断即可.【详解】∵．A正确；∵，∴\n，故B正确；由余弦定理及基本不等式得（当且仅当时，等号成立），由A选项知，∴，解得，故C正确；对于D，（当且仅当时，等号成立），∵，∴，又，∴∠BAD的最大值30°，D选项错误．故选:ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.命题“，”的否定是__________．【答案】，【解析】【详解】全称命题的否定为特称命题，并将命题的结论加以否定，的否定为，所以命题的否定为.14.若，则__________．【答案】【解析】【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.15.在长方体中，，，则异面直线与所成角的大小为______．\n【答案】##【解析】【分析】首先根据得到异面直线与所成的角为，再求其大小即可.详解】如图所示：∵长方体．∴，∴异面直线与所成的角为，在中，，，，，∴，∴，即异面直线与所成的角为．故答案为：16.设复数，，满足，，，则______．【答案】【解析】【分析】根据复数的运算性质求解即可.【详解】，，，所以.因为，所以，\n即.所以，所以.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知向量，满足，，且，的夹角为．（1）求；（2）若，求实数k的值．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）由数量积的定义和模的计算直接求得答案；（2）利用列方程即可求得.【小问1详解】∵，，与的夹角为，∴，∴．【小问2详解】∵，∴，解得：．18.如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别AB，PD\n的中点，且PA＝AD．（1）求证：AF//平面PEC；（2）求证：AF⊥平面PCD．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）通过构造平行四边形的方法来证得平面.（2）结合线面垂直的判定定理来证得平面.【小问1详解】设是的中点，由于是的中点，所以，由于是的中点，四边形是矩形，所以，所以，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.【小问2详解】由于PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，因为，，、平面，所以平面，\n因为平面，所以，因为是的中点，所以，因为，、平面，所以平面.19.维护国家安全荣誉和利益是实现国家富强、民族振兴的重要保证，某校对全校师生进行国家安全教育并组织全校学生参与“国家安全”知识竞赛，从参加竞赛的学生中，随机抽取若干名学生，分析其成绩，所有成绩（单位：分）均在区间内．将样本数据分组为：，，，，并绘制得到如图所示的频率分布直方图．（1）估计本次知识竞赛中全校学生成绩的平均数：（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；\n（2）已知成绩在区间的有16人，求成绩在区间的人数．【答案】（1）（2）120人【解析】【分析】（1）首先根据频率直方图的性质得到，再根据频率直方图求解即可.（2）根据频率直方图求解即可.【小问1详解】（1）由频率直方图知：，．【小问2详解】已知成绩在区间的有16人，频率为，所以样本量为，成绩在区间的人数为人．20.如图，在五面体中，为边长为的等边三角形，平面，，．点为的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】\n【分析】（1）取的中点为，连接、，证明出，，并证明出四边形为平行四边形，可得出，进而可得出，，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）分析可知为直线与平面所成角，计算出、的长，即可求得的余弦值.【小问1详解】证明：取的中点为，连接、，因为平面，平面，故，而为等边三角形，为的中点，所以，又、分别为、所在棱的中点，所以，．又，，所以，，故四边形平行四边形，所以，则，，又，所以平面．【小问2详解】解：平面，平面，，且为直线与平面所成角，由题知，，，则，\n即直线与平面所成角的余弦值为．21.已知函数的图象关于原点对称．（1）求a的值；（2）当时，恒成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意得，再化简求解即可；（2）根据对数函数的单调性化简可得，再根据的单调性分析最大值即可【小问1详解】函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数，有，即，即，即解得，当时，不满足题意，∴．【小问2详解】由，得，即，令，易知在上单调递减，则的最大值为．又∵当时，恒成立，\n即在恒成立，且，∴，，即实数k的取值范围为．22.在中，角、、所对的边分别是、、．且．（1）求角的大小；（2）求的取值范围；（3）若，，为中点，为线段上一点，且满足．求的值，并求此时的面积．【答案】（1）（2）（3），的面积为【解析】【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理求解即可；（2）根据（1）可得，得到，再根据正弦的和差角公式与辅助角公式，根据角度的范围求解即可；（3）先根据直角三角形中的关系求解得，再设，推导可得，再根据求解即可【小问1详解】由正弦定理及，得，即，化简得，故．\n又，故．小问2详解】由（1）知，，故.又，则，，故．【小问3详解】∵，∴，∵，为中点，∴，∵，∴，，∴，，设，则，∴，，∴，在直角中，，∴当时，的面积为．
