2022届高二数学理科期末模拟测试题命题人：审核人：一．选择题（共12小题）1．已知函数的导函数为，且满足，则（ ）A．B．C．D．2．某袋装加碘食盐的质量（单位：克）服从正态分布，某超市在进货前要在厂家随机抽检这种食盐袋，则质量在内的袋数约为（ ）附：若，则，．A．B．C．D．3．在下列命题中，正确命题是A．若是虚数，则B．若复数满足，则C．若在复数集中分解因式，则有D．若，则4．甲、乙、丙、丁四位同学一起去找老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）A．乙、丁可以知道自己的成绩B．乙、丁可以知道对方的成绩C．乙可以知道四人的成绩D．丁可以知道四人的成绩5．根据如下样本数据，得到回归方程，则 3456784.02.50.5A．，B．，C．，D．，6．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（ ）A．B．C．D．7．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．在数学的学习和研究中我们常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函\n数的解析式来琢磨函数的图象的特征．函数的部分图象大致为（ ）A．B．C．D．8．2022届高三毕业生即将离开校园，高三班有名“奥赛、强基”选手，现在准备把手中的资料送给高二（6）班的名同学，若高二（6）班的名同学每人至少接受名同学的送书，则不同的送书方案有多少种（ ）A．B．C．D．9．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．10．我国的刺绣有着悠久的历史，如图，(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形，则的表达式为（ ）A．B．C．D．11．我们知道，在次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件发生的概率为，则事件发生的次数服从二项分布，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件首次发生时试验进行的次数，显然，我们称服从“几何分布”，经计算得．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为，则，那么（ ）A．B．C．D．12．已知，，，则，，的大小关系是A．B．C．D．\n二．填空题（共4小题）13．的展开式中项的系数为________．14．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和如下表：甲乙丙丁散点图残差平方和115106124103则试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高的同学是_______.15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是__________.16．已知函数，则的最大值为________.三．解答题（共8小题）17．已知复数．（1）当实数取什么值时，复数是纯虚数；（2）当实数取什么值时，复平面内表示复数的点位于第一、三象限．18．若，且．（1）求实数的值；（2）求的值．\n满意不满意总计男生女生合计12019．2021年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体上在线学习，郑州四中为了研究上学习的情况，某上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意．（1）完成列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为，求出的分布列及期望值．附公式及表：，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）讨论函数的单调性．21．为了提高智慧城市水平，某市公交公司推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表下所示：x1234567y611213466101196同学甲选择指数型函数模型（c，d均为大于零的常数）来建立经验回归方程，据此，\n他对数据进行了一些初步处理，如下表：其中，，62.141.54140253550.12276943.47(1)根据表中相关数据，利用同学甲的模型建立y关于x的经验回归方程；(2)若同学甲求得其非线性经验回归方程的残差平方和为；同学乙选择线性回归模型，并计算得经验回归方程为，以及该回归模型的决定系数；①用决定系数比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？②用你认为拟合效果较好的模型预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.决定系数：22．已知函数，，其中．（1）若曲线在处的切线斜率为，求的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围参考答案：1．C【解析】【分析】求出导数后，把x=e代入，即可求解.\n【详解】因为，所以，解得．故选：C．2．A【解析】【分析】利用正态分布的性质求出质量在内的概率即可计算作答.【详解】因，则有，，，，于是得质量在内的概率为：，则有，所以质量在内的袋数约为.故选：A3．C【解析】【详解】分析：令可排除；令当且可排除，从而可得结果.详解：当时，，排斥选项；当时，，，排除选项；当且时成立，不成立，排除选项,故选C.点睛：本题主要考查复数的概念与性质、排除法解选择题，属于中档题.用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法.若结果为定值，则可采用此法.特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.\n4．A【解析】【分析】根据四人所知只有自己看到，结合老师所说以及最后甲所说的话，分析推理即可.【详解】由题意得，甲看乙、丙的成绩，因此乙和丙一个是优秀，一个是良好；当乙知道丙的成绩后，就可以知道自己的成绩，但是乙不知道甲和丁的成绩，由于甲和丁也是一个优秀，一个良好，所以丁知道甲的成绩后，就能够知道自己的成绩，但是丁不知道乙和丙的成绩.综上所述：乙，丁可以知道自己的成绩.故选：A.5．A【解析】通过样本数据表，容易判断回归方程中，、的符号．【详解】解：样本平均数，，，，，，故选：．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．6．B【解析】【分析】根据，应该验证的情况，代入不等式即可求解.【详解】第一步，当时，验证不等式为.故选：B\n7．B【解析】【分析】求出函数的定义域，由此排除部分选项，再探讨上的函数值符号即可判断作答.【详解】由得：且，当时，，当时，，于是得函数的定义域为，结合定义域及图象，选项A，D不正确；当时，单调递增，则，即，而，因此有，显然选项C不正确，选项B满足.故选：B8．B【解析】【分析】根据题意可知，，有两种分法，即可求出．【详解】由题意名高三同学分成组，有种分法，共种不同的送书方案．故选：B．9．B【解析】【分析】\n求出导函数，构造函数利用单调性结合图象可得答案．【详解】由题意有两个不等实根，，设，，当时，，递增，当时，，递减，时，为极大值也是最大值，时，，所以，时，，与轴只有一个交点，所以当，即时，直线与的图象有两个交点，即有两个不等实根．故选：B.10．D【解析】【分析】先分别观察给出正方体的个数为：1，，，，总结一般性的规律，将一般性的数列转化为特殊的数列再求解．【详解】解：根据前面四个发现规律：，，，，，累加得：，\n，故选：．【点睛】本题主要考查了归纳推理，属于中档题．11．A【解析】首先得出若，则，然后，设．利用错位相减法即可得出，然后可得答案.【详解】因为，．∴若，则．那么．设．．∴．∴时，．∴．故选：A．【点睛】本题考查的是随机变量的期望和利用错位相减法求数列的和，属于中档题.\n12．B【解析】【分析】若对数式的底相同，直接利用对数函数的性质判断即可，若底不同，则根据结构构造函数，利用函数的单调性判断大小．【详解】对于的大小：，，明显；对于的大小：构造函数，则，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，即对于的大小：，，，故选B．【点睛】将两两变成结构相同的对数形式，然后利用对数函数的性质判断，对于结构类似的，可以通过构造函数来来比较大小，此题是一道中等难度的题目．13．【解析】【分析】根据多项式乘法法则，求得中的系数，应用乘法法则计算可得．【详解】展开式中含的项为：．故答案为：．14．丁【解析】【分析】根据散点图中各样本点条状分布越均匀，同时残差平方和越小，即可判断其线性回归模型的\n拟合效果越好.【详解】对于已经获取的样本数据，表达式中为确定的数，则残差平方和越小，越大，由此知丁同学的线性回归模型的拟合效果最好，故答案为：丁.15．0.245【解析】【分析】甲队以4∶1获胜包含的情况有:①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，由此能求出甲队以4∶1获胜的概率.【详解】甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，甲队以4：1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为：，②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为：，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为：，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为：，则甲队以4：1获胜的概率为：.故答案为：0.245【点睛】\n本题主要考查概率的求法，考查相互独立事件，概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.16．【解析】【分析】根据题意可得函数的周期为，因此只要求出函数在上的最大值即可，当时，，求导，利用导数求出函数的单调区间，从而得出函数的最大值.【详解】由，则，所以是函数的一个周期，当时，，，设，且，，则当时，；当时，；当时，；所以在，上递增，在上递减，，，因为，且，所以，所以，所以的最大值为.\n故答案为：.17．（1）；（2）．【解析】【分析】（1）化简的表达式，根据是纯虚数列方程组，由此求得的值.（2）根据对应点所在象限列不等式，由此求得的取值范围.【详解】（1）当复数是纯虚数时，有，解得．所以当实数时，复数是纯虚数．（2）当表示复数的点位于第一、三象限时，有，解得或，所以当实数时，表示复数的点位于第一、三象限．18．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出中和的系数，由多项式乘法法则得，从而求得值；（2）求出常数项，然后令凑配出要求的式子后可得．【详解】解：（1）由，的展开式的通项公式为，，解得．（2）当时，，当时，， \n则．【点睛】本题考查二项式定理，考查赋值法求与展开式中系数有关的和．对于多项式乘法，注意利用乘法法则计算指定项的系数，赋值法是解题二项展开中有关系数和的常用方法．19．（1）有的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；（2）分布列见解析，期望为；【解析】【分析】（1）根据分层抽样方法求出男生、女生人数，填写列联表，计算，对照附表得出结论；（2）由题意知的可能取值，计算所求的概率值，写出分布列，计算数学期望值．【详解】解：（1）120名学生中男生有（人，女生有65人，结合题意填写列联表如下：满意不满意总计男生302555女生501565合计8040120计算，且，所以有的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；（2）利用分层抽样抽取8名学生，男生有3人，女生5人，从这8名学生中抽取3名，抽取男生的个数的可能取值为0，1，2，3；计算，，，；所以的分布列为：\n0123的数学期望值为．20．（1）极大值为；极小值为；（2）答案见解析．【解析】【分析】（1）时，先求导以及的根，再列表判断单调性，即求得极值；（2）先写定义域，求导以及的根，再讨论根是否在定义域内和两个根的大小关系，确定导数的正负情况，即得函数的单调性.【详解】解：（1）当时，，定义域为，．令，解得，或．当变化时，，的变化情况如下表：＋－＋单调递增单调递减单调递增当时，有极大值，且极大值为；当时，有极小值，且极小值为．（2）函数定义域为，．令得或．①若，则当时，，单调递减；\n当时，，单调递增．②若，即，则当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.③若，即，则当时，，单调递增，④若，即，则当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增．综上所述，当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，的单调递增区间是，，递减区间是；当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；当时，的单调递增区间是，，单调递减区间是．21．(1)(2)①甲建立的回归模型拟合效果更好；②3470人次【解析】【分析】（1）对两边取对数，得，令，则，然后根据已知的数据和公式可求出回归方程，（2）①根据题意求出，然后与比较即可，②将代入回归方程求解(1)对两边取对数得：，其中，，，，∴，，所以，，\n所以(2)①甲建立的回归模型的，∴甲建立的回归模型拟合效果更好.②利用甲建立的模型预测，当时，，∴活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470人次；22．（1）；（2）．【解析】【分析】（1）求导，根据，代入求得参数a；（2）将不等式转化为，设，从而问题变成函数值大小比较即为．通过导数求得函数单调区间，进而转化为自变量大小比较，因含参数，后面利用分离参数，对新函数，利用导数研究其最值情况即可得到参数取值范围.【详解】解：（1）依题可得，且，．．（2）由题设知，即，整理得，设，则上式即为．，令得．当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．\n又当时，，只需，即，设，则．令得．当时，，单调递增；当时，，单调递减．．．【点睛】思路点睛：将不等式转化为具有相同函数形式的不等关系，通过导数求解函数单调性来转化为自变量大小比较；对于含参的问题处理，有2种方法，带参讨论及分离参数；本题选择分参，利用导数求得函数最值，从而求得参数范围.
