2021-2022学年下期郑州四中高二年级期末模拟考试理科数学一､单选题（共60分）1.已知复数，则复数的模是（）A.2B.C.D.32.已知函数满足，则的单调递减区间为（）A.B.C.D.3.已知随机变量的分布列如下表，表示的方差，则（）210A.B.C.D.4.5位大学生在若假期间主动参加三个社区的志愿者服务，且每个社区至少有1人参加，则不同的安排方法共有（）A.30种B.90种C.120种D.150种5.已知实数满足，则下列结论的证明更适合用反证法的是（）A.证明B.证明中至少有一个不大于1C.证明D.证明可能都是奇数6.某制衣品牌为使成衣尺寸更精准，选择了10名志愿者，对其身高（单位：）和臂展（单位：）进行了测量，这10名志愿者身高和臂展的折线图如图所示.已知这10名志愿者身高的平均值为，根据这10名志愿者的数据求得臂展关于身高的线性回归方程为，则下列结论不正确的是（）\nA.这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差B.这10名志愿者的身高和臂展呈正相关关系C.这10名志愿者臂展的平均值为176.2D.根据回归方程可估计身高为160的人的臂展为1587.下列有关线性回归分析的六个命题：①在回归直线方程中，当解释变量增加1个单位时，预报变量平均减少0.5个单位②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线③当相关性系数时，两个变量正相关④如果两个变量的相关性越强，则相关性系数r就越接近于1⑤残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高⑤甲､乙两个模型的相关指数分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好其中真命题的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个8.已知曲线的一条切线在轴上的截距为2，则这条切线的方程为（）A.B.C.D.9.柯西分布（Cauchydistribution）是一个数学期望不存在的连续型概率分布.记随机变量服从柯西分布为，其中当时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为.已知，则（）A.B.C.D.\n10.已知实数，则的展开式中含的项的系数为（）A.130B.110C.D.11.在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有2个正三角形），然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有11个正三角形），这个过程称之为迭代，如果在边长为27的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后选代得到如图3所示的图形（图中共有7个正三角形），则图3中最小的正三角形面积为（）A.B.C.D.12.已知，且，则（）A.B.C.D.二､填空题（共20分）13.类比推理在数学发现中有重要的作用，开普勒说过：我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密.运用类比推理，人们可以从已经掌握的事物特征，推测被研究的事物特征.比如：根据圆的简单几何性质，运用类比推理，可以得到椭圆的简单几何性质等.已知圆有性质：过圆上一点的圆的切线方程是.类比上述结论，过椭圆的点的切线方程为__________.14.现用5种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有种__________.\n15.已知函数，若方程有四个不等的实数根，则实数的取值范围是__________.16.某武装部在预备役民兵的集训中，开设了移动射击科目，移动射击科目规则如下：每人每次移动射击训练只有3发子弹，每次连续向快速移动的目标射击，每射击一次消耗一发子弹，若目标被击中，则停止射击，若目标未被击中，则继续射击，3发子弹都没打中，移动目标消失.通过统计分析该武装部的预备役民兵李好以往的训练成绩发现，李好第一枪命中目标的概率为0.8，若第一枪没有命中，第二枪命中目标的概率为0.4，若第二枪也没有命中，第三枪命中目标的概率为0.2.则目标被击中的条件下，李好第二枪命中目标的概率是__________.三､解答题（共70分）17.已知（其中为虚数单位）（1）若为纯虚数，求实数的值；（2）若（其中是复数的共轭复数），求实数的取值范围.18.给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4：1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（注：若选择多个条件，按第一个解答计分）已知，__________.（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中所有的有理项.19.已知函数为常数.（1）若在处有极值，求的值并判断是极大值点还是极小值点；（2）若在上是增函数，求实数的取值范围.20.已知数列的前项和，且.（1）求；（2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明.21.随着原材料供应价格的上涨，某型防护口罩售价逐月上升.1至5月，其售价（元/\n只）如下表所示：月份x售价y（元/只）11.222.83.4（1）请根据参考公式和数据计算相关系数（精确到0.01）说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求y关于x的线性回归方程；（2）某人计划在六月购进一批防护口罩，经咨询届时将有两种促销方案：方案一：线下促销优惠.采用到店手工“摸球促销”的方式.其规则为：袋子里有颜色为红､黄､蓝的三个完全相同的小球，有放回的摸三次.若三次摸的是相同颜色的享受七折优惠，三次摸的仅有两次相同颜色的享受八折优惠，其余的均九折优惠.方案二：线上促销优惠.与店铺网页上的机器人进行“石头､剪刀､布”视频比赛.客户和机器人每次同时､随机､独立地选择“石头､剪刀､布”中的一种进行比对，约定：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头.手势相同视为平局，不分胜负.客户和机器人需比赛三次，若客户连胜三次则享受七折优惠，三次都不胜享受九折优惠，其余八折优惠.请用（1）中方程对六月售价进行预估，用X表示据预估数据促销后的售价，求两种方案下X的分布列和数学期望，并根据计算结果进行判断，选择哪种方案更实惠.参考公式：，，其中，.参考数据：，，，.22.已知函数.（1）当时，求证：；（2）求证：当时，方程有且仅有2个实数根.参考答案：1.B【解析】【分析】先求出，进而根据复数的除法运算法则进行化简，最后求出模即可.\n【详解】由题可得，则，所以.故选：B.2.A【解析】【分析】对求导得到关于､的方程求出它们的值，代入原解析式，根据求单调减区间.【详解】由题设，则，可得，而，则，所以，即，则且递增，当时，即递减，故递减区间为（-¥，0）.故选：A3.C【解析】【分析】根据分布列的性质求出，根据公式求出，再根据方差的性质可求出结果.【详解】根据分布列的性质得，得，所以，所以，所以.故选：C4.D【解析】【分析】\n每个社区至少有1人参加，所以这5位大学生共分为三组，共有1，2，2和1，1，3两种情况，分别求每种情况的安排方法可得答案.【详解】因为每个社区至少有1人参加，所以这5位大学生共分为三组，共有1，2，2和1，1，3两种情况.若是1，2，2，则共有（种）；若是1，1，3，则共有（种），所以共有（种）不同的方法.故选：D.5.B【解析】【分析】根据反证法的特点：假设结论的对立面，最终导出矛盾，从而肯定结论成立，观察四个选项可作出判断.【详解】实数满足，观察四个选项，更适合用反证法的是B，原因是：假设且，则，与已知矛盾，故原结论成立，其它选项均不适合.故选：B6.C【解析】【分析】利用平均值､极差､线性回归方程的特征进行逐项判断.【详解】解：对于选项A：因为这10名志愿者臂展的最大值大于身高的最大值，而臂展的最小值小于身高的最小值，所以这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差，故A正确.对于选项B：因为，所以这10名志愿者的身高和臂展呈正相关关系，故B正确.对于选项C：因为这10名志愿者身高的平均值为176cm，所以这10名志愿者臂展的平均值为，故C错误.对于选项D：若一个人的身高为160cm，则由回归方程，可得这个人的臂展的估计值为158cm，故D正确.故选：C\n7.B【解析】【分析】对于①，根据回归直线方程的特点即可判断；对于②，根据回归直线的几何意义即可判断；对于③，根据相关指数大于，可得两变量正相关即可可判断；对于④，根据相关系数与变量的相关性的关系即可可判断；对于⑤，根据残差图的特点即可判断；对于⑥，根据模型的与效果的关系即可判断.【详解】对于①，根据回归系数的含义，可得回归直线方程中，当解释变量x增加1个单位时，预报变量平均减少0.5个单位，故①正确；对于②，回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线，不正确.回归直线也可能不过任何一个点；故②不正确；对于③，当相关性系数时，两个变量正相关，故③正确；对于④，如果两个变量的相关性越强，则相关性系数的绝对值就越接近于；故④不正确；对于⑤，残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低，故⑤不正确；对于⑥，甲､乙两个模型的分别约为0.88和0.80则模型甲的拟合效果更好，故⑥不正确，则正确的个数为2.故选：B.8.D【解析】【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义写出切线方程，将点代入求出的值，进而得切线方程.【详解】函数的定义域为，设切点坐标为，因为，则切线斜率为，所以切线方程为，将点代入切线方程并整理得，解得，或（舍去），所以这条切线的方程为，即.故选：D.9.C【解析】\n【分析】根据柯西分布的对称性进行求解即可.【详解】因为，所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称，由P（|X|）=，可得，因为P（）=，所以，因此，所以，故选：C10.C【解析】【分析】由微积分基本定理求解，将看作5个因式相乘，要得到，分析每个因式所取项的情况.【详解】，则表示5个因式相乘，所以其展开式中含的项为1个因式中取，4个因式取，或者2个因式中取，2个因式取，1个因式取所得到的项，则的展开式中含的项的系数为.故选：C.11.C【解析】【分析】先用余弦定理得到边长之间的关系，进而可求出最小正三角形的边长，然后利用面积公式即得.【详解】设最大正三角形的边长为，则，其内部迭代出的正三角形的边长分别为，\n由余弦定理得，同理得，∴，∴最小的正三角形的面积.故选：C.12.B【解析】【分析】根据题意，两边取对数整理得，进而构造函数，利用单调性来比较自变量与的大小.【详解】解：因为，，，所以.设，则.设，则，所以在上单调递减.当时，，所以，即，故在上单调递减.因为，所以.故选：B.13.【解析】【分析】通过类比可得类似结论：过椭圆上一点的椭圆的切线方程为，然后可得.【详解】\n通过类比可得类似结论：过椭圆上一点的椭圆的切线方程为.所以，，过椭圆上的点的切线方程为，即.将代入得：，解得所以直线和椭圆有唯一交点，即直线与椭圆相切.故答案为：14.420按照的顺序进行涂色，其中与的颜色可以相同也可以不相同，所以不同的涂色方法共有种.故答案为：15.【解析】【分析】将原问题转化为函数的图象与直线有4个交点，分和两类情况讨论，利用导数判断函数的单调性求得最值，由此作出函数的图象，利用数形结合即可求出实数a的取值范围.【详解】方程有四个不等的实数根，等价于的图象与直线有4个交点.当时，，则，令，可得，则函数在上单调递增，在上单调递减，\n故函数在上的最大值为.当时，，则，令，可得，则函数在上单调递减，在上单调递增，故函数在上的最小值为.作出函数的图象，如图所示，要使函数图象与直线有4个交点，则，故实数a的取值范围是.故答案为：.16.【解析】【分析】根据全概率公式结合条件概率公式计算即可【详解】记事件：“李好第一枪击中目标”，事件：“李好第二枪击中目标”，事件：“李好第三枪击中目标”，事件：“目标被击中”，则，，.故答案为：\n17.（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，再根据纯虚数性质求解；（2）根据题意得，即，求解不等式即可.（1）由，，得，因为为纯虚数，所以，且，所以（2），因为，所以，即即，解得.18.（1）和（2），，【解析】【分析】（1）无论选①还是选②，根据题设条件可求，从而可求二项式系数最大的项.（2）利用二项展开式的通项公式可求展开式中所有的有理项.（1）二项展开式的通项公式为：.若选①，则由题得，∴，即，解得或（舍去），∴.\n若选②，则由题得，∴，展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为，，.（2）由（1）可得二项展开式的通项公式为：.当即时得展开式中的有理项，所以展开式中所有的有理项为：，，.19.（1），极小值点（2）【解析】【分析】（1）先求定义域，再求导，根据极值点列出方程，求出，从而求出单调区间，判断出是的极小值点；（2）问题转化为，求出，从而求出实数a的取值范围.（1）∵定义域为，；若在处有极值，则，∴，此时，.∵，∴，，\n当时，，为减函数.当时，，为增函数.∴是的极小值点.（2）由条件知在上恒成立，即，∴在上恒成立，只需，∵，∴，即，即a的取值范围为.20.（1），，（2），证明过程见解析.【解析】【分析】（1）赋值法进行求解；（2）猜想，用数学归纳法进行证明（1）令得：，因为，，解得：，令得：，即解得：，令得：，即，解得：\n（2）猜想的通项公式为，证明如下：当时，，成立，假设时，成立，则则当时，，即，，解得：，成立综上：对任意的都成立.21.（1）相关系数；（2）6月预计售价为4元/只；方案一分布列见解析；期望为；方案二分布列见解析；期望为；应选择方案一【解析】【分析】（1）依据题中所给数据，计算出的值，带入参考公式计算即可.（2）根据（1）中线性回归方程，求得X可取的值，依次计算概率，列出分布列，求解数学期望，利用数学期望比较两种方案.（1）相关系数，由于0.98接近1，说明y与x之间有较强的线性相关关系.，，所以.（2）由（1）可知，，当时，，即6月预计售价为4元/只.\nX可取的值为2.8，3.2，3.6.若选优惠方案一，；；；2.83.23.6此时.若选优惠方案二，客户每次和机器人比赛时，胜出的概率为，则不胜的概率为.；；；2.83.23.6此时.，说明为使花费的期望值最小，应选择方案一.22.【解析】（1）令，的定义域为，，当时，恒成立，∴在上单调递减，∴当时，恒成立，故当时，；（2）设，的定义域为，，\n设，的定义域为，，当时，恒成立，∴在上单调递减，又，，∴存在唯一的使据，当时，则，∴在上单调递增，当时，则，∴在上单调递减，∴在处取得极大值也是最大值，又，，，∴在与上各有一个零点，即当时，方程有且仅有个实数根.
