雅礼中学2022届高三模拟考试（二）数学注意事项：1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（）A．B．C．D．2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列函数中，在R上为增函数的是（）A．B．C．D．4．已知，则（）A．B．C．D．5．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积分别为x，y，x（单位：m2），且，三种颜色涂料的粉刷费用分别为a，b，c（单位：元/m2），且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（）A．B．C．D．6．已知x，y是两个具有线性相关的两个变量，其取值如表：x12345у4m9n11其回归直线过点（3，7）的一个充要条件是（）A．B．C．D．，\n7．已知函数（，，）的图象如图所示．则（）A．0B．AC．D．8．函数的定义域为R，若是奇函数，是偶函数，则（）A．是奇函数B．是偶函数C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知圆C：，则下列曲线一定与圆C有公共点的是（）A．过原点的任意直线B．C．D．以（2，0）为圆心且半径超过3的圆10．某市教育局为了解“双减”政策的落实情况，随机在本市内抽取了A，B两所初级中学，在每一所学校中各随机抽取了200名学生，调查了他们课后做作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图：由直方图判断，以下说法正确的是（）A．总体看，A校学生做作业平均时长小于B校学生做作业平均时长B．B校所有学生做作业时长都要大于A校学生做作业时长C．A校学生做作业时长的中位数大于B校学生做作业时长的中位数D．B校学生做作业时长分布更接近正态分布\n11．在平面直角坐标系xOy中，点M（4，4）在抛物线（）上，抛物线的焦点为F，延长MF与抛物线相交于点N，则下列结论正确的是（）A．抛物线的准线方程为B．C．△OMN的面积为D．12．著名的“河内塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下、从小到大套着n个中心带孔的圆盘．将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作．设将n个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为，则（）A．B．C．D．第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a=（，1），b=（，），若，则________．14．将4名志愿者全部分配到3个核酸检测点，每个检测点至少分配1名志愿者，则不同的分配方案有________种．15．已知双曲线（，）的左顶点为A，右焦点为F，点B（0，b），双曲线的渐近线上存在一点P，使得A，B，F，P顺次连接构成平行四边形，则双曲线C的离心率e=________．16．已知菱形ABCD的各边长为2，∠D=60°．如图所示，将△ACD沿AC折起，使得点D到达点S的位置，连接SB，得到三棱锥S−ABC，此时SB=3．则三棱锥S−ABC的体积为________；E是线段SA的中点，点F在三棱锥S−ABC的外接球上运动，且始终保持EF⊥AC，则点F的轨迹的周长为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）\n已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若（）求数列的前n项和．18．（本小题满分12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若边AB上的高为，求．\n19．（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E在线段CD1上，CE=2ED1，点F为线段AB上的动点．（1）若EF∥平面ADD1A1，求的值；（2）当F为AB中点时，求二面角E−DF−C的正切值．20．（本小题满分12分）某特种商品生产企业的甲、乙两个厂区共生产产品4a件，其中共有不合格产品a件，下图为全部产品中甲、乙两厂区生产产品数的分布图（图1），以及不合格产品中甲、乙两厂区生产产品数的分布图（图2）：（1）求甲、乙厂区各自生产产品的不合格率；（不合格率=）（2）用不合格率估计抽到不合格产品的概率，（i）用分层抽样方法在两厂区生产的产品中抽取容量为4的样本，记X为样本中不合格品的件数，求X的分布列．（ii）用简单随机抽样方法在两厂区生产的产品中抽取容量为4的样本，记Y为样本中不合格品的件数．比较E（X），E（Y）的大小，并说说你对这一大小关系实际含义的理解。\n21．（本小题满分12分）如图，已知椭圆C：（），其左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且垂直于x轴的直线交椭圆于第一象限的点P，且．（1）求椭圆C的方程；（2）过点S（0，）且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．22．（本小题满分12分）已知，．（1）求的最大值；（2）求证：（i）存在，使得；（ii）当存在，使得时，有．\n\n\n\n\n
