湖北省黄冈中学2022届高三第三次模拟考试数学试卷考试时间：2022年5月24日下午15:00-17:00试卷满分：150一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则A.B.C.D.2.已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为A.B．C．D．3.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为A.B．C．D．4.随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有3个完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、丁4位运动员要与这3个“冰墩墩”站成一排拍照留念，则有且只有2个“冰墩墩”相邻的排队方法数为A.B．C．D．5．已知二次函数（）的值域为，则的最小值为A．B．3C．D．46.已知，则A.B．C．D．7.若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为A.B．C．D．8.若函数为偶函数，对任意的，且，都有\n，则A.B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为分）作为样本进行统计，样本容量为．按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示.其中，成绩落在内的人数为．则下列结论正确的是A.样本容量B.图中C.估计该市全体学生成绩的平均分为分D.该市要对成绩由高到低前20%的学生授予“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯定能得到此称号10.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是A.函数的图象可由的图象向左平移个单位得到B.是图象的一条对称轴C.若，则的最小值为D.直线与函数在上的图象有7个交点11.已知直线与圆交于，两点，且为锐角（其中为坐标原点），则实数的取值可以是A.B.C.D.12.已知正项数列的前项和为，若，，数列的前项和为，则下列结论正确的是\nA.是等差数列B.C.D.满足的的最小正整数解为102,4,6三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设随机变量，若，则▲.14.已知函数，则▲.15．在边长为4的等边△中，已知，点在线段上，且，则▲.16.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，且，则▲；设点是抛物线上的任意一点，点是的对称轴与准线的交点，则的最大值为▲.（第一个空2分，第二个空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）在锐角△中，若，，，求△的面积.18.（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，且，；数列满足.（1）求数列和的通项公式；（2）记，求数列的前项和.19.（本小题满分12分）\n如图1，在▱中，，，，以对角线为折痕把折起，使点到达图2所示点的位置，且.（1）求证：；（2）若点在线段上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．20.（本小题满分12分）某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下：选手依次参加第一、二、三关，每关闯关成功可获得的奖金分别为600元、900元、1500元，奖金可累加；若某关闯关成功，可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金，也可以选择继续闯关；若有任何一关闯关失败，则连同前面所得奖金全部归零，闯关游戏结束.选手小李参加该闯关游戏，已知他第一、二、三关闯关成功的概率分别为，第一关闯关成功选择继续闯关的概率为，第二关闯关成功选择继续闯关的概率为，且每关闯关成功与否互不影响.（1）求小李第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率；（2）设小李所得总奖金为，求随机变量的分布列及其数学期望.21.（本小题满分12分）已知椭圆的左、右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，点在椭圆上，且的最大值为3，椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆交于另一点（异于点），与直线交于一点，的角平分线与直线交于点，求证：点是线段的中点.22.（本小题满分12分）已知函数,.（1）当时，证明：；\n（2）若函数在内有零点，求实数的取值范围.湖北省黄冈中学2022届高三第三次模拟考试数学试题参考答案一、单项选择题1.C2.D3.A4.B5.B6.D7.C8.A二、多项选择题9.BC10.BCD11.BC12.ACD三、填空题13.14.15.16.四、解答题17.解：（1）…………………………………………………4分所以函数的最小正周期为………………………………………………5分（2）因为，所以，又，所以，所以，即.……………6分由正弦定理得，即，\n又，所以.………………………………………………………………8分所以.………………………9分所以△的面积为.……………………10分18.解：（1）设等差数列的公差为，则……………1分解得，…………………………………………………………2分所以………………………………………………3分因为，所以当时，；……………………………………………………4分当时，，所以……………………………………5分显然符合.综上可知.……………………………………………………………6分（2）由（1）知，…………………………………………7分设，则…………………………9分所以是以8为公比，为首项的等比数列，……………………10分所以数列的前项和为………12分19.解：（1）在△中，由余弦定理得，…………………………………………1分\n，，即，………………………2分又四边形为平行四边形，所以在△中，，，，，即，……………………………………………………………3分又,……………………………………4分又,……………………………………………………………5分（2）如图,以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，过点作平行于的直线为轴建立空间直角坐标系.则，…………………………6分设，，则设平面的法向量为由得则平面的一个法向量为……………………………………………………8分又平面的一个法向量………………………………………………………………9分………………………………………10分解得,所以点为的中点.…………………………………………………………………11分又平面，所以点到平面的距离为，所以三棱锥的体积为………12分20.解：设“小李第关闯关成功”为事件()\n，“小李第一关闯关成功，选择继续闯关”为事件，“小李第二关闯关成功，选择继续闯关”为事件，（1）设“小李第一次闯关成功，但所得总奖金为零”为事件，则…………………4分（2）随机变量的所有可能取值有0、600、1500、3000，………………………………………………6分……………………………………………………………7分……………………………………………8分………………………………………9分所以的分布列为X060015003000P……………………………………………………………………………………………10分所以.………………………………12分21.解：（1）设椭圆的半焦距为，则解得所以椭圆的方程为.……………………………………………………3分（2）①当直线的斜率存在时，因为的角平分线为，所以，所以，即……………………………5分设直线的的方程为由消得设，则…………………………………………………6分\n所以所以，……7分所以设直线的的方程为，则，，因为，所以，……………………………………8分整理得，因为，所以.所以所以点是线段的中点.………………………………………………………10分②当直线的斜率不存在时，不妨设，则直线的方程为，所以.又直线的方程为，所以.所以点是线段的中点.综上可知，点是线段的中点.……………………………………………12分22.解：（1）当时，，所以，即，亦即………………………………………………………………1分令，则，……………………………2分所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增.…………………………………………………………………………………3分所以，即成立.…………………………4分（2），\n令，，则………5分①当即时，，在上单调递增，又，，存在，使得.当时，，；当时，，，在上单调递减，在上单调递增，又，，故不存在零点.………………………………7分②当即时，，在上单调递减，又，，存在，使得.当时，，；当时，，.在上单调递增，在上单调递减，又，，故不存在零点.…………………………………8分③当即时，由得，得，在上单调递减，在上单调递增，又，令，……9分则，由得，由得，故在上单调递增，在上单调递减，，，………………………10分由于，，要使函数在内有零点，则需要，………………………………………………………………………11分即，解得.\n综上，实数的取值范围是……………………………………………12分
