2021~2022学年第二学期高一年级期中质量监测数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置）1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】先化复数为代数形式，再根据几何意义确定点所在象限.【详解】对应点为所以复数在复平面内对应的点位于第三象限，故选：C【点睛】本题考查复数几何意义，考查基本分析计算能力，属基础题.2.（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由向量的加法法则求解【详解】故选：A3.下列平面图形中，通过围绕定直线旋转可得到如图几何体的是（）\nA.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】逐项分析旋转图形可得旋转体的立体图，分析即可得答案.【详解】解：A是上面一个圆锥，下面一个圆台，不符合；B是上下两个圆锥，中间一个圆柱，不符合；C是上面一个圆柱，下面一个圆锥，符合上图；D是两个圆锥，不符合.故选：C4.下列结论不正确的是（）A.长方体是平行六面体B.正方体是平行六面体C.平行六面体是四棱柱D.直四棱柱是长方体【答案】D【解析】【分析】根据平行六面体及直棱柱的概念判断即可；【详解】解：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，故长方体、正方体是平行六面体，平行六面体是四棱柱，侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱，当直四棱柱的底面不是矩形时直四棱柱不是长方体，故D错误；故选：D5.给出以下结论，其中正确结论的个数是（）①②③④A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】由平面向量数量积的定义对结论逐一判断\n【详解】由数量积的定义知，对于①，若，则或，不一定成立，①错误对于②，成立，②正确对于③，与共线，与共线，两向量不一定相等，③错误对于④，，④正确故选：B6.已知复数i关于x的方程的一个根，则实数p，q的值分别为（）A.0，1B.0，-1C.1，0D.，0【答案】A【解析】【分析】利用实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系即可得出.【详解】复数i关于x的方程的一个根，则复数也是关于的方程的一个根，∴，即；∴．故选：A.7.已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则点O是△ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】C【解析】【分析】作BD∥OC，CD∥OB，连接OD，OD与BC相交于点G,可得，又=-，则有=-，即AG是BC边上的中线，同理，BO，CO也在△ABC的中线上,即可得出结果.【详解】作BD∥OC，CD∥OB，连接OD，OD与BC相交于点G，则BG=CG(平行四边形对角线互相平分)，\n∴，又，可得=-，∴=-，∴A，O，G在一条直线上，可得AG是BC边上的中线，同理，BO，CO也在△ABC的中线上.∴点O为三角形ABC的重心.故选：C.8.已知，，，若，则下列结论正确的是()A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】根据向量线性运算的坐标表示即可求解．【详解】∵，∴，．故选：B．9.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用圆锥的侧面展开图，求出圆锥的母线以及圆柱的高，由圆锥的体积公式求解即可.【详解】因为圆锥底面半径为1，其侧面展开图是半圆，\n所以圆锥的底面周长为，则圆锥的母线长为2，故圆锥的高为，所以圆锥的体积为，故选：A．10.在中，，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由正弦定理与两角和的正弦公式求解【详解】，故为锐角，，则，由正弦定理得，故．故选：A11.已知等边的直观图的面积为，则的面积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由原图和直观图面积之间的关系即可得结果.【详解】因为直观图的面积为，所以，解得，\n故选：D.12.在中，点D在BC上，且，过D的直线分别交直线AB，AC于点M，N，记，，若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先根据平面向量线性运算法则得到，从而得到，再根据、、三点共线及平面向量共线定理的推论得到方程，解得即可；【详解】解：依题意，又，即，即，所以，因为、、三点共线，所以，解得；故选：C二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上）13.已知复数,则_______【答案】5【解析】【分析】根据复数模的计算公式，即可求解，得到答案.【详解】由题意知，复数，则，故答案为5.【点睛】本题主要考查了复数的模的计算，其中解答中熟记复数的模的计算公式是解答的关\n键，着重考查了运算与求解能力，属于容易题.14.已知球O的表面积是其体积的3倍，则球O的半径为______．【答案】1【解析】【分析】设出球的半径，根据球的表面积公式与体积的等量关系，列方程即可求得半径．【详解】设球的半径为，球的表面积是其体积的3倍，则，解得，故答案为：1．15.已知，，，则在上的投影向量的坐标为______．【答案】【解析】【分析】首先求出，的坐标，即可得到，，再根据求出在上的投影向量；【详解】解：因为，，，所以，，所以，，所以在上的投影为，所以在上的投影向量为，故答案为：16.如图甲，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器慢慢倾斜．给出下面几个结论：\n①水面EFGH所在四边形的面积为定值；②图乙中四边形ADHE的面积为定值；③图丙中为定值；④若，，记、分别是将四边形ABCD和水平放在地面上时的水面高度，则；其中正确结论的序号是______．【答案】②③④【解析】【分析】①②③注意到水体积和EF保持不变即可判断；④根据棱柱的体积计算公式即可计算．【详解】①由题图可知水面的边的长保持不变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知①错误；②当容器倾斜如图乙所示时，∵水的体积是不变的，∴棱柱的体积为定值，又，高不变，∴也不变，即四边形ADHE的面积为定值，故②正确；③当容器倾斜如图丙所示时，∵水的体积是不变的，∴棱柱的体积为定值，又，高不变，∴也不变，即为定值，故③正确；④当将四边形ABCD水平放在地面上时，即图甲所示时，设水的体积为V，则\n，∴；当将四边形水平放在地面上时，水的体积任然为V，则，∴；∴，故④正确．故答案为：②③④．三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知复数z满足．（1）求z及；（2）求值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由复数及共轭复数的运算求解即可；（2）由复数的运算求解即可.【小问1详解】解：由题意得：，【小问2详解】18.已知，，．（1）当时，求的值；\n（2）若，求实数的值．【答案】（1）9（2）【解析】【分析】（1）利用平面向量的运算法则和数量积运算法则进行计算；（2）由向量垂直得到等量关系，求出实数的值.【小问1详解】当时，，故，【小问2详解】，，因为，所以，解得：.所以实数的值为.19.如图，在中，，，，点是的中点，记，．（1）用，表示，；\n（2）求的余弦值．【答案】（1），.（2）【解析】【分析】(1)根据题意，利用向量的加法的线性运算，直接计算即可.(2)根据题意，得，，且，由(1)得，，，所以，可以分别求出，然后，直接利用余弦定理即可求出的余弦值【小问1详解】因为是的中点，，所以，，..【小问2详解】在中，，，，所以，，，且，所以，，，是的中点，所以，.因此，在中，，，，利用余弦定理得，\n.说明：请同学们在20、21两个小题中任选一题作答．20.在中，，，，分别以AB，AC，BC所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，其体积分别记为，，．（1）求，，的值；（2）求以BC所在直线为轴旋转所形成几何体的内切球的体积．【答案】（1），，；（2）.【解析】【分析】（1）根据圆锥的体积公式进行求解即可；（2）根据内切球的性质，结合球的体积公式进行求解即可.【小问1详解】以AB所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的图形是圆锥，它的底面半径为，它的高为，所以；以AC所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的图形是圆锥，它的底面半径为，它的高为，所以；以BC所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的图形是有公共的底面的两个圆锥，因为，，，所以，边上的高为，所以有，所以底面半径为，因此；【小问2详解】设以BC所在直线为轴旋转所形成几何体的内切球的半径为，所以有：，\n所以以BC所在直线为轴旋转所形成几何体的内切球的体积为.21.在中，、、分别为内角、、的对边，且，分别以、、所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成个几何体，其体积分别记为、、．（1）求证：；（2）求以所在直线为轴旋转所形成几何体内切球的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）过点作，计算出，计算出、、，验证成立即可；（2）取旋转体的轴截面，利用等面积法可求得内切球的半径，再利用球体体积公式可求得结果.【小问1详解】证明：过点作，如下图所示：\n由已知可得，由等面积法可得，以为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体为圆锥，且该圆锥的底面半径为，高为，所以，，同理，以为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个共底面的圆锥拼接而成，且两个圆锥的底面半径均为，高分别为、，所以，，所以，.【小问2详解】解：以为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个共底面的圆锥拼接而成，取该几何体的轴截面如下图所示：设内切球球心为点，则在线段上，设球的半径为，由等面积法可得，即，解得.所以，球的体积为.\n说明：请同学们在22、23两个小题中任选一题作答．22.在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，，且．（1）求角B的值；（2）若，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据向量平行的充要条件及正弦定理角化边，再用余弦定理可求出角B的余弦值及角B的范围即可求解；（2）根据余弦定理找到边的范围，然后代入三角形的面积公式即可求解.【小问1详解】由，，且，得及正弦定理，得，即由余弦定理，可得，【小问2详解】由（1）知，，由余弦定理，得，，即，当且仅当时，等号成立.当时，取的最大值为.\n.所以面积的最大值为.23.在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，，且．（1）求角B的值；（2）若，求周长的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先利用向量共线基本定理建立三角函数的关系式，利用正弦余弦定理进一步求出的值；（2）利用（1）的结论和余弦定理求出关系式，再利用基本不等式求解即可.【小问1详解】解：由题意得：，，且，根据正弦定理可得，即又【小问2详解】若，由余弦定理可得：\n，当且仅当时取等号所以三角形周长的取值范围
