南平市2021—2022学年高三毕业班第三次质量检测数学试题一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则复数的虛部为（）A.B.C.D.【1题答案】【答案】A2.设集合，集合，若，则的取值范围为（）A.B.C.D.【2题答案】【答案】D3.抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（）A.至多一枚硬币正面朝上B.只有一枚硬币正面朝上C.两枚硬币反面朝上D.两枚硬币正面朝上【3题答案】【答案】C4.《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在正方体中，当分别与，，，重合时，所形成的四面体中鳖臑共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【4题答案】\n【答案】B5.在单位圆中，已知角的终边与单位圆交于点，现将角的终边按逆时针方向旋转，记此时角的终边与单位圆交于点，则点的坐标为（）A.B.C.D.【5题答案】【答案】B6.在中，若，则（）A.B.C.D.【6题答案】【答案】A7.若点是抛物线上一点，点到该抛物线焦点的距离为6，则（）A.1B.2C.3D.4【7题答案】【答案】D8.对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【8题答案】【答案】C二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.支气管炎患者会咳嗽失眠，给患者日常生活带来严重的影响.某医院老年患者治愈率为20%，中年患者治愈率为30%，青年患者治愈率为40%.该医院共有600名老年患者，500\n名中年患者，400名青年患者，则（）A.若从该医院所有患者中抽取容量为30的样本，老年患者应抽取12人B.该医院青年患者所占的频率为C.该医院的平均治愈率为28.7%D.该医院的平均治愈率为31.3%【9题答案】【答案】ABC10.已知函数的任意两条对称轴间的最小距离为，函数的图象关于原点对称，则（）A.函数在单调递减B.，C.把的图象向右平移个单位即可得到的图象D.若在上有且仅有一个极值点，则的取值范围为【10题答案】【答案】BD11.已知双曲线的方程为，，分别为双曲线的左､右焦点，过且与x轴垂直的直线交双曲线于M，N两点，又，则（）A.双曲线的渐近线方程为B.双曲线的顶点到两渐近线距离的积的5倍等于焦点到渐近线距离的平方C.双曲线的实轴长､虚轴长､焦距成等比数列D.双曲线上存在点，满足【11题答案】【答案】AB\n12.如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中且.记，如记为，记为，记为，以此类推；设数列的前项和为.则（）A.B.C.D.【12题答案】【答案】ABD三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算：___________.【13题答案】【答案】##14.已知为圆：上任意一点，则的最大值为___________.【14题答案】\n【答案】15.已知函数有零点，则实数___________.【15题答案】【答案】16.四面体中，，，，且异面直线与所成的角为.若四面体的外接球半径为，则四面体的体积的最大值为___________.【16题答案】【答案】四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，角A､B､C所对的边分别是a､b､c，___________.（1）求角A；（2）若，，点D在线段AB上，且与的面积比为3：5，求CD的长.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答内容计分）【17题答案】【答案】（1）；（2）19.已知数列满足，.\n（1）求数列的通项公式；（2）若满足，.设为数列的前项和，求.【19题答案】【答案】（1）（2）21.南平市于2018年成功获得2022年第十七届福建省运会承办权.为进一步提升第十七届福建省运会志愿者综合素质，提高志愿者服务能力，南平市启动首批志愿者通识培训，并于培训后对参训志愿者进行了一次测试，通过随机抽样，得到100名参训志愿者测试成绩，统计结果整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）由频率分布直方图可以认为，此次测试成绩近似于服从正态分布，近似为这100人测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），①求的值；②利用该正态分布，求；（2）在（1）的条件下，主办单位为此次参加测试的志愿者制定如下奖励方案：①测试成绩不低于的可以获赠2次随机话费，测试成绩低于的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额（元）1030概率今在此次参加测试的志愿者中随机抽取一名，记该志愿者获赠的话费为\n（单位：元），试根据样本估计总体的思想，求的分布列与数学期望.参考数据与公式：若，则，，.【21题答案】【答案】（1）①；②（2）分布列见解析；【小问1详解】由题，，因为，所以.【小问2详解】由题，，所获赠话费的可能取值为，，，，，，，，，，所以的分布列为：所以.23.如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，，.\n（1）证明：平面；（2）若M为棱PD上的点，，且二面角的余弦值为，求直线PC与平面ACM所成角的正弦值.【23题答案】【答案】（1）证明见解析（2）【小问1详解】证明：因为底面是边长为的正方形，所以，由，，，则≌，所以，设，连接，所以，因为，平面，平面，所以平面.【小问2详解】取中点为，易得且，所以为二面角的平面角，则，\n因为，，，所以≌，所以，即，又，所以平面，则，在中，，所以，则，以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，即，取，则，，所以，设所求的直线与平面所成角为，则，所以，所求的正弦值为.\n25.已知椭圆：，，分别为椭圆的左､右焦点，焦距为4.过右焦点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于M，N两点，已知的周长为，点M关于x轴的对称点为P，直线PN交x轴于点Q.（1）求椭圆方程；（2）求四边形面积的最大值.【25题答案】【答案】（1）；（2）27.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，求证：函数有两个零点，且.【27题答案】【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析【小问1详解】定义域为，，当时，，在上单调递增；当时，由得，当时，单调递减，当时，单调递增；综上：当时，在上单调递增；当时，在\n上单调递减，在上单调递增；【小问2详解】当时，因为，所以，无零点.当时，由，得，即，设，则有，因为在上成立，所以在上单调递减，当时，，所以等价于，即，所以的零点与在上的零点相同.若，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，又，，，所以在和上各有一个零点，即在上有两个零点，综上有两个零点.不妨设，则，相减得，\n设，则，代入上式，解得，所以，因为，所以，因此要证，只需证，即证，设，则，所以在递增，，即，因为，所以可化成，又因为，所以.
