2022年高三年级诊断性自测（第二次）理科数学（问卷）（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．本卷分为问卷和答卷两部分，答案务必书写在答卷的指定位置上．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号、科别等信息填写在答卷的指定区域内．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则的真子集共有（）A.1个B.2个C.3个D.7个【1题答案】【答案】C2.已知实数，满足约束条件，设，则最小值为（）A.B.C.D.0【2题答案】【答案】B3.中国气象局规定：一天里的降雨的深度当作日降水量，通常用毫米表示降水量的单位，的降水量是指单位面积上水深.如图，这是一个雨量筒，其下部是直径为､高为的圆柱，上部承水口的直径为.某同学将该雨量筒放在雨中，雨水从圆形容器口进入容器中，后，测得容器中水深，则该同学测得的降水量约为（）\nA.B.C.D.【3题答案】【答案】C4.已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（）A.B.C.D.【4题答案】【答案】B5.若向量，满足，，．则向量与的夹角为（）A.B.C.D.【5题答案】【答案】B6.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是古老的传统民间艺术之一．如图是一个窗花的图案，以正方形各边为直径作半圆，阴影部分为其公共部分．现从该正方形中任取一点，则此点取自于阴影部分的概率为（）\nA.B.C.D.【6题答案】【答案】D7.在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，BA=BC，∠PBC=90°，PA=2，若三棱锥P—ABC体积为6，则三棱锥P—ABC外接球的表面积为（）A.18πB.24πC.36πD.40π【7题答案】【答案】D8.如图．已知椭圆，双曲线，若以椭圆的长轴为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，且椭圆与该渐近线的两交点将线段三等分，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【8题答案】【答案】A9.若函数是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围是（）A.B.C.D.\n【9题答案】【答案】D10.设函数，其中，，若，，则在上的单调减区间是（）A.B.C.D.【10题答案】【答案】C11.如图，在正方体中，点分别为的中点，设过点的平面为，则下列说法正确的是（）A.在正方体中，存在某条棱与平面平行B.在正方体中，存在某条面对角线与平面平行C.在正方体中，存在某条体对角线与平面平行D.平面截正方体所得的截面为五边形\n【11题答案】【答案】D12.已知抛物线，圆．若点，分别在，上运动，且设点，则的最小值为（）A.B.C.D.【12题答案】【答案】A第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.为了解某校1200名高一学生的身高状况，按性别比例采用分层抽样的方法从中抽取50人进行调查，若样本中男生比女生多10人，则该校高一学生中女生的人数为___________.【13题答案】【答案】48014.已知，，则__________．【14题答案】【答案】##15.已知函数，则不等式解集为________．【15题答案】【答案】16.已知数列的前项和为，且数列是首项为1，公差为2的等差数列，若，数列的前项和为，则使得成立的的最小值为________．\n【16题答案】【答案】5三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤．17.如图，在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，AC=，AD=1，∠CAD=30°．（1）求∠ACD；（2）若△ABC为锐角三角形，求BC的取值范围．【17题答案】【答案】（1）（2）19.如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，，，E，F分别为棱，BC的中点，G为线段CF的中点．（1）证明：平面；\n（2）求二面角的余弦值．【19题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）21.自年秋季学期开始中小学全面落实“双减”工作，为使广大教育工作者充分认识“双减”工作的重大意义，某地区教育行政部门举办了一次线上答卷活动，从中抽取了名教育工作者的答卷，得分情况统计如下（满分：分）．名教育工作者答卷得分频数分布表分组频数合计（1）若这名教育工作者答卷得分服从正态分布（其中用样本数据的均值表示，用样本数据的方差表示），求；（2）若以这名教育工作者答卷得分估计全区教育工作者的答卷得分，则从全区所有教育工作者中任意选取人的答卷得分，记为这人的答卷得分不低于分且低于分的人数，试求的分布列和数学期望和方差．参考数据：，，，．\n【21题答案】【答案】（1）（2）分布列见解析，，23.已知椭圆的离心率为，短轴长为．（1）求椭圆的方程；（2）设过点的动直线与椭圆交于、两点（点在轴上方），、为椭圆的左、右顶点，直线，与轴分别点、，为坐标原点，求的值．【23题答案】【答案】（1）；（2）．25.已知函数．（1）求的图象在点处的切线方程，并证明的图象除点以外的所有点都在这条切线上方；（2）证明：对于一切，均有．【25题答案】【答案】（1），证明见解析（2）证明见解析选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．选修4-4：坐标系与参数方程27.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线的普通方程和曲线的极坐标方程；\n（2）若直线和曲线交于，两点，且，求实数的值．【27题答案】【答案】（1）；；（2）.选修4-5：不等式选讲29.已知函数．（1）若，求不等式的解集；（2）若存在，使得成立，求的取值范围．【29题答案】【答案】（1）；（2）．
