浙江省绍兴市2022届高三下学期4月高考科目适应性考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集，集合，，则（ ）A．B．C．D．【答案】A2．若复数满足（i为虚数单位），则（ ）A．B．C．D．【答案】D3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：）是（ ）A．1B．C．2D．【答案】B\n4．若实数x，y满足约束条件，则的最大值是（ ）A．3B．0C．D．【答案】C5．已知函数，则“”是“函数为奇函数”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A6．在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是（ ）A．B．C．D．【答案】C7．如图，在正方体中，P是线段上的动点，则（ ）\nA．平面B．平面C．平面D．平面【答案】B8．若存在，对任意的，恒有，则函数不可能是（ ）A．B．C．D．【答案】D9．已知、为双曲线的左、右焦点，P为双曲线的渐近线上一点，满足，(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率是( )A．B．C．D．【答案】A10．已知各项均为正数的数列满足，，则数列（ ）A．无最小项，无最大项B．无最小项，有最大项C．有最小项，无最大项D．有最小项，有最大项【答案】D二、填空题11．我国古代数学著作《九章算术》方田篇记载“宛田面积术曰：以径乘周，四而一”（注：宛田，扇形形状的田地：径，扇形所在圆的直径；周，扇形的弧长），即古人计算扇形面积的公\n式为：扇形面．现有一宛田的面积为，周为，则径是__________．【答案】13．如图，在平行四边形中，，，依次为边的四等分点，，，依次为边的四等分点，若，，则__________．【答案】14．已知a，，若，，是函数的零点，且，，则的最小值是__________．【答案】三、双空题15．在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为64，则正整数__________．常数项是__________．【答案】 6 \n16．已知抛物线的焦点为F，过抛物线上一点P作圆的一条切线，切点为A，且，则点F的坐标是__________，__________．【答案】 ##17．在抗击疫情期间，某区对3位医生、2位护士和1位社区工作人员进行表彰并合影留念．现将这6人随机排成一排，设3位医生中相邻人数为（若互不相邻，则；有且仅有2人相邻，则；3人连在一起，则），2位护士中相邻人数为，记，则__________；__________．【答案】 ##0.2 ##四、解答题18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角C的大小；(2)若△ABC是锐角三角形，且，求b的取值范围．【答案】(1)；(2)﹒19．如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，D为的中点．\n(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)20．已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列；数列的前n项和是，且，．(1)求数列，的通项公式；(2)设，是否存在正整数m，使得对任意恒成立？若存在，求m的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，；(2)存在，5﹒21．如图，已知椭圆的左顶点为，焦距为，过点的直线交椭于点M，N，直线BO与线段AM、线段AN分别交于点P，Q，其中O为坐标原点．记△OMN，△APQ的面积分别为，．\n(1)求椭圆的方程；(2)求的最大值．【答案】(1)(2)22．已知，函数．(1)求曲线在处的切线方程(2)若函数有两个极值点，且，（ⅰ）求a的取值范围；（ⅱ）当时，证明：．（注：…是自然对数的底数）【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；（2）（ⅰ）原问题等价于是方程的两根，且，从而构造函数，将问题转化为直线与函数的图象有两个交点，且交点的横坐标大于0小于1即可求解；（ⅱ）由，利用放缩法可得，即，又由\n（ⅰ）知，从而可证；先证明，然后利用放缩法可得，即，最后构造二次函数，利用根的分布即可证明，从而得证原不等式.(1)解：因为所以，又，所以曲线在处的切线方程为；(2)解：（ⅰ）因为函数有两个极值点，所以是关于x的方程的两根，也是关于x的方程的两正根，设，则，令，则，当时，，所以在上单调递增，又，所以，当时，，；当时，，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又因为，所以，即，所以a的取值范围是；（ⅱ）证明：结合（ⅰ）可知，因为，所以，所以，所以，又由（ⅰ）知，所以；\n下面先证明不等式，设，则，所以，当时，，在上单调递减，所以，，所以不等式成立，因为，是的两个根，所以，又，所以，即，设函数，对称轴，因为，且，，，所以函数有两个不同的零点，记为，，且，因为，且，，所以，因为在上单调递减，且，所以；因为在上单调递增，且，所以；所以，所以，因为，又，所以，所以，综上，．
