浙江省绍兴市嵊州市2021届高三下学期数学5月高考适应性考试试卷一、单选题（共10题；共40分）1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 2.欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.函数在区间上的图象大致为（ ）A. B. C. D. 4.已知直线，平面，则（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则5.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ）
A. B. 8 C. D. 146.已知a，b是实数，则“且”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7.设，随机变量的分布列是012Pabc若，则（ ）A. B. C. D. 8.已知是双曲线的右焦点，直线经过点且与双曲线相交于两点，记该双曲线的离心率为，直线的斜率为，若，则（ ）A. B. C. D. 9.已知，，设函数，若对任意的实数，都有在区间上至少存在两个零点，则（ ）
A. ，且 B. ，且C. ，且 D. ，且10.若公比为的无穷等比数列满足：对任意正整数，都存在正整数，使得，则（ ）A. 有最大值1 B. 有最大值2 C. 有最小值1 D. 有最小值2二、填空题（共7题；共36分）11.已知圆C的方程为，则圆心C的坐标为________，半径________．12.已知角的终边与单位圆相交于点，则________，________．13.设表示函数在闭区间上的最大值．若正实数满足，则________，正实数的取值范围是________．14.若实数满足约束条件则的最小值是________，最大值是________．15.展开式中的系数为________．16.已知，若，则的最大值为________．17.已知平面向量，满足与的夹角为，且，则对一切实数的最小值是________．三、解答题（共5题；共74分）18.在中，角所对的边分别为．（1）求的值；
（2）若，且的面积为，求的值．19.已知平行六面体，底面是边长为2的菱形，且，．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．20.设数列的前项和为，数列满足：，其中．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）记，证明：．21.已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，交轴于点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，如图．
（1）若（为坐标原点），求的值；（2）过作直线的垂线交于点．记，的面积分别为．若，求直线的方程．22.已知，设函数，，其中为自然对数的底数．（1）设，若存在、且，使得，证明：；（2）当时，若对都有恒成立，求实数k的取值范围．
答案解析部分一、单选题（共10题；共40分）1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【考点】并集及其运算【解析】【解答】由，，则故答案为：D.【分析】根据题意由并集的定义即可得出答案。2.欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】【解答】由题意得，e2i＝cos2＋isin2，∴复数在复平面内对应的点为(cos2，sin2)．∵2∈，∴cos2∈(－1，0)，sin2∈(0，1)，∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故答案为：B.【分析】由题意得，得到复数在复平面内对应的点，即可作出解答.3.函数在区间上的图象大致为（ ）A. B.
C. D. 【答案】A【考点】函数奇偶性的性质，函数的图象【解析】【解答】，，则是奇函数，C，D是不正确的；时，，即，B是不正确的，A符合要求.故答案为：A【分析】根据题意首先求出函数的定义域再由奇函数的定义f(-x)=-f(x)即可判断出该函数为奇函数，由奇函数图象的性质得出图像关于原点对称由此排除C、D，再由特殊点法代入数值验证即可排除选项B，由此得到答案。4.已知直线，平面，则（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案】B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系【解析】【解答】在长方体ABCD-EFGH中，如图示：对于A：若，则, 取平面ABCD为，即直线AB为l，CD为m，则，但是，所以不成立，A不正确；
对于B：因为，作平面，使得，且，由线面平行的性质可得：.因为，所以，又，所以.B符合题意；对于C：若，则，取平面ABCD为，平面ADHE为，直线EH为l，此时满足“”，但是，所以不满足，C不正确；对于D：若，则，取平面ABCD为，平面ADHE为，直线BC为l，直线EH为m，此时满足“，”但是相交，不满足.D不符合题意.故答案为：B【分析】根据题题意由空间平面与直线、平面与平面的位置关系对选项逐一判断即可得出答案。5.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ）A. B. 8 C. D. 14【答案】C【考点】由三视图求面积、体积【解析】【解答】该几何体是如图所示的三棱台，上底面的面积，下底面的面积，则几何体的体积.
故答案为：C【分析】根据题意由三视图的性质即可得出该几何体是如图所示的三棱台，结合三棱台的体积公式代入数值计算出结果即可。6.已知a，b是实数，则“且”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，不等式的基本性质【解析】【解答】当且时,,即且时成立.当时,即解得且,或且综上可知,“且”是“”的充分不必要条件故答案为：A【分析】根据充分必要条件的关系,结合不等式性质即可判断.7.设，随机变量的分布列是012Pabc若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】由分布列可知：.，，即所以联立方程组得：，解得：故答案为：B【分析】由已知条件解分布列中的数据求出，再由期望和方差公式整理得出关于a、b、c的方程组，由此计算出答案即可。8.已知是双曲线的右焦点，直线经过点且与双曲线相交于两点，记该双曲线的离心率为，直线的斜率为，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【考点】平面向量的坐标运算，直线的斜率，双曲线的简单性质【解析】【解答】由题意，设直线的方程为，联立方程组，整理得，设，可得，因为，即，可得，代入上式，可得，可得，整理得，即，又由，可得，即，
所以，可得，即.故答案为：C.【分析】根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与双曲线的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，结合向量的坐标公式整理得出，结合已知条件即可得出，整理即可得出答案。9.已知，，设函数，若对任意的实数，都有在区间上至少存在两个零点，则（ ）A. ，且 B. ，且C. ，且 D. ，且【答案】B【考点】分段函数的应用，函数的零点【解析】【解答】，若，则或，若，则；①当时，与一定是函数的零点，满足题意；②当时，可能的零点是与，因为至少存在两个零点，所以，而，所以.故答案为：B.【分析】首先根据题意分情况讨论求出x的值，再由t的取值范围结合零点的定义即可得出由此求解出a与t的取值范围即可。10.若公比为的无穷等比数列满足：对任意正整数，都存在正整数，使得
，则（ ）A. 有最大值1 B. 有最大值2 C. 有最小值1 D. 有最小值2【答案】B【考点】数列的函数特性，等比数列的通项公式【解析】【解答】因为，所以，所以，因为对于任意正整数，都存在正整数，使得，所以，因为,所以有最大值.故答案为：B【分析】根据题意由等比数列的通项公式得出，再由已知条件整理得出，结合k的取值范围即可得出答案。二、填空题（共7题；共36分）11.已知圆C的方程为，则圆心C的坐标为________，半径________．【答案】；【考点】圆的标准方程，圆的一般方程【解析】【解答】由可得，因此其圆心坐标为，半径为.故答案为：；.【分析】首先把圆的一般方程化为标准方程，由此求出圆心坐标以及半径即可。
12.已知角的终边与单位圆相交于点，则________，________．【答案】；【考点】二倍角的余弦公式，任意角三角函数的定义【解析】【解答】由题意，角的终边与单位圆相交于点，所以，解得，由三角函数的定义，可得；又由.故答案为：；.【分析】利用任意角的三角函数的定义求出，再结合二倍角的余弦公式整理即可得出答案。13.设表示函数在闭区间上的最大值．若正实数满足，则________，正实数的取值范围是________．【答案】2；【考点】二次函数的图象，根的存在性及根的个数判断【解析】【解答】如图，画出函数的图象，当时，，此时，，不满足，所以，此时
因为，且，所以，当时，解得：，，，，由图象可知，得.故答案为：2；【分析】首先画出函数f(x)的图象，由图象分析，可知a<4，即可计算；再由，可知，由此求出f(x)=1的的实数根，根据图象判断，列式求a的取值范围.14.若实数满足约束条件则的最小值是________，最大值是________．【答案】-1；8【考点】简单线性规划【解析】【解答】作出不等式组的可行域如图所示：
目标函数表示函数在y轴上的截距，由图知在C点取最小值，A点取最大值；则C点满足，解得，即最小值；A点满足，解得，即最大值；故答案为：-1；8【分析】根据题意作出可行域再由已知条件找出目标函数，把目标函数化为直线方程的截距由数形结合法即可得出当直线经过点A时，z取得最大值；同理经过点C时取得最小值，并由直线的方程求出点A和B的坐标，然后把坐标代入到目标函数计算出z最值即可。15.展开式中的系数为________．【答案】-56【考点】二项式定理，二项式系数的性质【解析】【解答】展开式的通项公式是，要求，只需，解得：.∴.故答案为：-56.【分析】根据题意由已知条件求出二项式的通项公式再由已知条件求出r的值，并代入到通项
公式计算出结果即可。16.已知，若，则的最大值为________．【答案】【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】由条件可知，则，，，，设，，当，即时，等号成立，所以的最大值是.故答案为：【分析】根据题意由已知条件整理得出，再由x的取值范围设出，整理得出再由基本不等式求出最大值即可。17.已知平面向量，满足与的夹角为，且，则对一切实数的最小值是________．【答案】【考点】基本不等式在最值问题中的应用，向量的模，平面向量数量积的运算【解析】【解答】由题知，则，
则，故若使取最小值，则只需向量与向量反向，即，当且仅当时，等号成立.故答案为：【分析】首先由数量积的运算公式以及向量模的定义即可得出故若使取最小值，则只需向量与向量反向，由绝对值的几何性质以及向量模的定义结合基本不等式计算出最小值即可。三、解答题（共5题；共74分）18.在中，角所对的边分别为．（1）求的值；（2）若，且的面积为，求的值．【答案】（1）由题得，所以，所以.（2）由得，因为的面积为，所以，
所以所以，所以.【考点】两角和与差的余弦公式，正弦定理【解析】【分析】(1)首先由两角和的余弦公式整理得出即可。(2)由正弦定理整理得出，再由三角形的面积公式整理得出，由此求出a与b的值，再由余弦定理代入数值计算出c的结果即可。19.已知平行六面体，底面是边长为2的菱形，且，．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）,连接∵是菱形 又为中点
面面∴面面；（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴建系．，，，设平面的一个法向量为，则 取，得所以设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值【考点】直线与平面垂直的性质，平面与平面垂直的判定，空间向量的数量积运算，用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】（Ⅰ）首先由菱形的几何性质即可得出线线垂直，再由中点的性质以及线面垂直的性质定理得出线线垂直，然后由面面垂直的判定定理即可得证出结论。（Ⅱ）根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，
再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，再由诱导公式即可求出直线与平面所成角的正弦值。20.设数列的前项和为，数列满足：，其中．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）记，证明：．【答案】（Ⅰ），当时，，两式相减得，且，即，，即，数列是公比为2的等比数列；（Ⅱ），要证明，即证明，即，当时，，，此时成立，假设时，等式成立，即，那么当时，，，，，，，……，，设，，，所以，即，所以当时，成立，
综上可知当时，不等式成立，即.【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和，等比关系的确定，数学归纳法【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等比数列。（Ⅱ）结合已知条件即可得出要证明，即证明，即，由数学归纳法结合指数函数的单调性即可得出得证出结论。21.已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，交轴于点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，如图．（1）若（为坐标原点），求的值；（2）过作直线的垂线交于点．记，的面积分别为．若，求直线的方程．【答案】（1）设直线为，设，则，由，得，则，因为，所以（舍）或4．．
（2）由（1）（*）．，令 ．①由几何关系知．． 不妨设． 又 将（*）代入．②由①②：又过点．代入． 仅有一个解．．【考点】数量积的坐标表达式，点到直线的距离公式，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)
根据题意由斜截式设出直线的方程以及点的坐标，再联立直线与抛物线的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，再结合数量积的坐标公式整理得出关于t的方程，求解出t的值即可。(2)由(1)的结论即可得出，设出直线的方程再点到直线的距离公式以及三角形的面积公式整理得出，再由几何关系解已知条件整理得出，联立两式得出，然后由点在直线上代入点的坐标整理得，求解出k的值由此得出直线的方程。22.已知，设函数，，其中为自然对数的底数．（1）设，若存在、且，使得，证明：；（2）当时，若对都有恒成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）.因为存在、且，使得，则，可得，所以，，要证，即证.设，则，即.构造函数，其中，则，所以，函数在上为增函数，因为，所以，，即，故原不等式得证；（2）当时，，令，其中，且，
由题意可知，对任意的恒成立，.①当时，对任意的，，，则，此时，函数在上为增函数，当时，，合乎题意；②当时，，令，则与的符号相同，对任意的，，所以，函数在上单调递增.当时，即当时，对任意的，，即，所以，函数在上为增函数，则，所以，函数在上为增函数，对任意的，则，合乎题意；当时，即当时，则存在，使得.当时，，则；当时，，则.所以，函数在上单调递减，当时，，所以，函数在上单调递减，所以，，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.【考点】函数单调性的判断与证明，函数单调性的性质，不等式的综合【解析】【分析】(1)根据题意设分析可知，所证不等式等价于，构造函数利用导数分析函数在上为增函数上的单调性，即可证得结论成立；(2)令，由题意可知对任意的恒成立，对实数k 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数t(x)在上的单调性，
验证是否对任意的恒成立，综合可得出实数k的取值范围.
