石景山区2022年高三统一练习数学本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设全集，集合，则（）A.B.C.D.2.若复数满足，则( )A.1B.C.D.3.从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率是()A.B.C.D.4.设是直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则5.已知圆C：，过点的直线l与圆C交于A，B两点，则弦长度的最小值为（）A.1B.2C.3D.46.函数的图象大致为（）
A.B.C.D.7.在等差数列中，，设数列的前项和为，则（）A.12B.99C.132D.1988.在中，，若，则的大小是（）A.B.C.D.9.“”是“在上恒成立”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.设A，B为拋物线C：上两个不同的点，且直线过抛物线的焦点，分别以A，B为切点作抛物线的切线，两条切线交于点．则下列结论：①点一定在拋物线的准线上；②；③的面积有最大值无最小值．其中，正确结论的个数是（）A.0B.1C.2D.3第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域是_________．
12.的展开式中的系数是______.（用数字填写答案）13.正项数列满足，．若，，则的值为_________．14.设点，分别为椭圆C：的左，右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的一个取值可以为_________．15.已知非空集合A，B满足：，，函数对于下列结论：①不存在非空集合对，使得为偶函数；②存在唯一非空集合对，使得为奇函数；③存无穷多非空集合对，使得方程无解．其中正确结论的序号为_________．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步稆或证明过程.16.已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个：①函数的最大值为2；②函数的图象可由的图象平移得到；③函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为．（1）请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出的解析式；（2）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，求面积的最大值．17.某学校高一、高二、高三三个年级共有名教师，为调查他们的备课时间情况，通过分层抽样获得了名教师一周的备课时间，数据如下表（单位：小时）：
高一年级高二年级高三年级（1）试估计该校高三年级的教师人数；（2）从高一年级和高二年级抽出的教师中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲，高二年级选出的人记为乙，求该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率；（3）再从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取一名教师，他们该周的备课时间分别是（单位：小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中的数据平均数记为，试判断与的大小.（结论不要求证明）18.如图1，在平面四边形中，，，，．将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示．（1）设平面与平面的交线为，求证：；（2）在线段上是否存在一点（点不与端点重合），使得二面角的余弦值为，请说明理由．19.设函数．（1）若，①求曲线在点处的切线方程；②当时，求证：．
（2）若函数在区间上存在唯一零点，求实数的取值范围．20.已知椭圆C：短轴长等于，离心率．（1）求椭圆的标准方程；（2）过右焦点作斜率为的直线，与椭圆交于A，B两点，线段的垂直平分线交轴于点，判断是否为定值，请说明理由．21.若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称“等比源数列”．（1）已知数列为4，3，2，1，数列为1，2，6，24，分别判断，否为“等比源数列”，并说明理由；（2）已知数列通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由；（3）已知数列为单调递增的等差数列，且，，求证为“等比源数列”．
【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】B【10题答案】【答案】C【11题答案】【答案】【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】0（答案不唯一）【15题答案】
【答案】①③16【答案】（1）满足①③，（2）【小问1详解】（1）分析条件知①②矛盾，②③矛盾，故满足的条件为①③，由③知，则故【小问2详解】，由，由余弦定理得，当且仅当时等号成立又，故面积最大值为【17题答案】【答案】（1）；（2）；（3）．【详解】试题分析：（1）直接根据分层抽样方法，可得高三年级的教师共有（人）；（2）根据互斥事件、独立事件的概率公式求解；（3）分别求出三组总平均值，以及新加入的三个数的平均数为9，比较大小即可.试题解析：（1）抽出的20位教师中，来自高三年级的有8名，根据分层抽样方法，高三年级的教师共有（人）（2）设事件为“甲是现有样本中高一年级中的第个教师”，，事件“乙是现有样本中高二年级中的第个教师”，，由题意知：，，设事件为“该周甲的备课时间比乙的备课时间长”，由题意知，所以
故；（3），，三组总平均值，新加入的三个数的平均数为9，比小，故拉低了平均值，∴．【18小问1详解】证明：延长相交于点，连接，则为平面与平面的交线.证明如下：由平面平面，，平面，且平面平面，所以平面，又由，所以平面，因为平面，所以，所以.【小问2详解】解：由（1）知：，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得，则，设其中，则，所以，设平面的法向量为，则，令，可得，所以，又由平面，所以平面的一个法向量为，
则，解得，所以存在点为的中点时，使得二面角的余弦值为.19【小问1详解】解：①当时，，可得，则，可得曲线在点处的切线方程，即.②令，则，当，可得，在单调递减，又因为，所以，即，即，即当时，．【小问2详解】解：由函数，可得，
令，当时，，即，在区间上单调递增，因为，所以，所以函数在区间上没有零点，不符合题意；当时，函数的图象开口向上，且对称轴为，由，解得，当时，在区间上恒成立，即，在区间上单调递减，因为，所以，所以函数在区间上没有零点，不符合题意；综上可得，设使得，当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，因为，要使得函数在区间上存在唯一零点，则满足，解得，所以实数的取值范围为.20【小问1详解】解：由椭圆C：的短轴长等于，离心率．可得，解得，所以椭圆的方程为.【小问2详解】
解：由椭圆的方程，可得右焦点，设直线的方程为，联立方程组，整理得，可得，所以，则，即，则中垂线的方程为，令，可得，所以，又由，所以（定值）.21【小问1详解】是“等比源数列”，不是“等比源数列”．中“”构成等比数列，所以是“等比源数列”；中“”，“”，“”，“”均不能构成等比数列，所以不是“等比源数列”．【小问2详解】不是“等比源数列”．假设是“等比源数列”，因为是单调递增数列，即中存在的（）三项成等比数列，也就是，即，
，两边时除以得，等式左边为偶数，等式右边为奇数．所以数列中不存在三项按一定次序排列构成等比数列．综上可得不是“等比源数列”．小问3详解】证明：因为等差数列单调递增，所以．因为则，且，所以数列中必有一项．为了使得为“等比源数列”，只需要中存在第项，第项（），使得成立，即，即成立．当，时，上式成立．所以中存在成等比数列．所以，数列为“等比源数列”．
