石景山区2021年高三统一练习数学本试卷共8页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（ 1 ）已知集合，，则（A）（B）（C）{1,3,5}（D）（ 2 ）下列函数中，是奇函数且最小正周期的是（A）（B）（C）（D）（ 3 ）复数在复平面上对应的点位于第一象限，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）（ 4 ）一几何体的直观图和主视图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是高三数学试题第16页（共16页）
（ 5）“直线垂直于平面内无数条直线”是“直线垂直于平面”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（ 6）已知菱形ABCD的边长为，，则＝（A）（B）（C）（D）（ 7 ）过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若F是线段AB的中点，则 | AB |=（A）1（B）2（C）3（D）4（ 8 ）“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443等．那么在四位数中，回文数共有（A）个（B）个（C）个（D）个（ 9 ）已知若在上恒成立，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）（10）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B()，点C()，且其“欧拉线”与圆M：相切．则圆M上的点到直线的距离的最小值为（A）（B）（C）（D）高三数学试题第16页（共16页）
第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．（11）双曲线的离心率为__________．（12）已知函数，若，，，则从小到大排序为__________．（13）如图，如果每个横行上两数字之和相等，每个竖列上两个数字之和相等，请写出一组满足要求的不全相等的的值．_______，_______，_______，_______．（14）在锐角△中，，则__________，__________．（15）海水受日月的引力，会发生潮汐现象．在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，进入港口，落潮时返回海洋．某兴趣小组通过AI技术模拟在一次潮汐现象下货船出入港口的实验：首先，设定水深（单位：米）随时间（单位：小时）的变化规律为（），其中；然后，假设某虚拟货船空载时吃水深度（船底与水面的距离）为0.5米，满载时吃水深度为2米，卸货过程中，随着货物卸载，吃水深度以每小时0.4米的速度减小；并制定了安全条例，规定船底与海底之间至少要有0.4米的安全间隙．在此次模拟实验中，若货船满载进入港口，那么以下结论正确的是__________．①若，货船在港口全程不卸货，则该船在港口至多能停留4个小时；②若，该货船进入港口后，立即进行货物卸载，则该船在港口至多能停留4个小时；③若，货船于时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大；④若，货船于时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大．高三数学试题第16页（共16页）
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）（本小题13分）如图，在五面体中，面为正方形，面面，，．（Ⅰ）求证：CD∥平面ABFE；（Ⅱ）若，，求平面与平面所成的锐二面角的大小．（17）（本小题13分）已知有限数列共有30项，其中前20项成公差为的等差数列，后11项成公比为的等比数列，记数列的前n项和为．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）数列中的最大项．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.高三数学试题第16页（共16页）
（18）（本小题14分）某大型连锁超市的市场部为了比较线下、线上这两种模式的销售情况，从某地区众多门店中随机抽取8家门店，对其线下和线上这两种销售模式下的日营业额（单位：万元）进行调查．调查结果如下：门店1门店2门店3门店4门店5门店6门店7门店8线下日营业额96.5199.514.516.520.512.5线上日营业额11.591217192321.515若某门店一种销售模式下的日营业额不低于15万元，则称该门店在这种销售模式下的日营业额达标；否则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标．若某门店的日营业总额（线上和线下两种销售模式下的日营业额之和）不低于30万元，则称该门店的日营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标．（各门店的营业额之间互不影响）（Ⅰ）从8个样本门店中随机抽取3个，求抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概率；（Ⅱ）若从该地区众多门店中随机抽取3个门店，记随机变量X表示抽到的日营业总额达标的门店个数．以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日营业总额达标的概率，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记为和，线下日营业额和线上日营业额的样本方差分别记为和．试判断和的大小，以及和的大小．（结论不要求证明）高三数学试题第16页（共16页）
（19）（本小题15分）已知椭圆的右焦点为，且经过点和点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）和是椭圆上两个不同的点，四边形是平行四边形，直线、分别交轴于点和点，求四边形面积的最小值．高三数学试题第16页（共16页）
（20）（本小题15分）已知函数．（Ⅰ）当时，求在处的切线方程；（Ⅱ）已知对任意恒成立，求的值．高三数学试题第16页（共16页）
（21）（本小题15分）由个正整数构成的有限集（其中），记，特别规定，若集合M满足：对任意的正整数，都存在集合M的两个子集A，B，使得成立，则称集合M为“满集”.（Ⅰ）分别判断集合与是否为“满集”，请说明理由；（Ⅱ）若集合M为“满集”，求的值；（Ⅲ）若是首项为1公比为的等比数列，判断集合M是否为“满集”，并说明理由．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）石景山区2021年高三统一练习数学试卷参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．题号12345678910答案ACCBBDDBCA二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．（11）；（12）（13）答案不唯一；（14）（15）①④．三、解答题：本大题共6个小题，共85分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．高三数学试题第16页（共16页）
（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）在五面体中，因为面是正方形，所以．又因为平面，平面，所以平面．（Ⅱ）因为面是正方形，所以.又因为.又，所以平面又因为平面，所以．因为面是正方形，所以．又因为，所以以点为坐标原点，,,分别为,,轴，如图建立空间直角坐标系．因为，，,，.由（Ⅰ）平面，平面，平面平面，所以．高三数学试题第16页（共16页）
所以.可得.由题意知平面的法向量为设平面的法向量为.由得令，得，,所以设平面与平面所成锐二面角为.．所以平面与平面所成锐二面角为（17）（本小题13分）选择条件①：解：（Ⅰ）因为的前20项成等差数列，，所以解得．所以．因为数列后11项成公比为的等比数列，所以．综上，．（Ⅱ）的前20项成等差数列，．所以前20项为递增数列．高三数学试题第16页（共16页）
即:前20项的最大项为．数列的后11项成等比数列，，所以后11项是递减数列．即:后11项的最大项为综上，数列的最大项为第20项，其值为40．选择条件②：解：（Ⅰ）因为的前20项成等差数列，，所以所以因为数列后11项成公比为的等比数列，，又因为，所以．综上，．（Ⅱ）的前20项成等差数列，．所以前20项为递减数列．前20项的最大项为．因为．i.当时，，所以当时，．此时，数列的最大项为第1项，其值为2；ⅱ.当时，，后11项的最大项为.高三数学试题第16页（共16页）
此时，数列的最大项为第21项，其值为18．综上，当时，数列的最大项为第1项，其值为2；当时，数列的最大项为第21项，其值为18．选择条件③：解：（Ⅰ）因为数列后11项成公比为的等比数列，，所以，解得．所以．又因为的前20项成等差数列，，所以．综上，．（Ⅱ）的前20项成等差数列，．所以前20项为递减数列．前20项的最大项为．的后11项成等比数列，而，，，所以后11项为递增数列．后11项的最大项为综上，数列的最大项为第30项，其值为10240．（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）设“抽取的3个门店的线下日营业额均达标”为事件，由题意知，8个样本门店中线下日营业额达标的有3家，所以.所以抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概率为.（Ⅱ）由题意，8个样本门店中线下日营业总额达标的有4家，高三数学试题第16页（共16页）
所以从该地区众多门店中任选1个门店，日营业总额达标的概率为.依题意，随机变量的所有可能取值为.；；；.所以随机变量的分布列为：其数学期望.（Ⅲ）.（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）由已知，，所以.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）因为四边形是平行四边形，所以AB与MN的中点重合，所以M、N关于原点对称.设，则.（），直线AM的方程为，令，得，即,又，直线AN的方程为，令，得，即.四边形面积为，高三数学试题第16页（共16页）
.因为点M在椭圆上，所以，.所以.所以.所以当时，.所以四边形面积的最小值为.（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）当时，，，所以，切线的斜率为.所以在处的切线方程为.（Ⅱ）依题意，对任意恒成立，当时，，由于，则恒成立，所以在内单调递减，因为，故当时，，不符合题意.当时，令，得当时，，因为，那么的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增所以结合的单调性知：当时，，不符合题意.当时，的变化情况如下表：高三数学试题第16页（共16页）
单调递增极大值单调递减当时，，因为，所以结合的单调性知当时，，不符合题意.当时，，因为，所以结合的单调性知当时，，不符合题意.当时，.由的单调性可知，，所以符合题意.综上，.（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）是满集，不是满集.，且的子集为，，所以是满集；，且的子集为时不存在集合M的两个子集A、B，使得)成立，所以不是满集.（Ⅱ）设，因为集合M为“满集”对任意的正整数，都存在集合M的两个子集A、B，使得)成立.则，且，所以或.当时，此时；当时，因为，所以为最大，此时.高三数学试题第16页（共16页）
综上.（Ⅲ）集合是满集.由题意知集合，，对任意的正整数，根据二进制可知，（）.取，.即，所以集合M为“满集”.【若有不同解法，请酌情给分】高三数学试题第16页（共16页）
