湖南师大附中2022届模拟试卷（一）数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后．再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，若，则符合条件的所有实数m组成的集合是（）A．B．C．D．2．已知，，则角所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设随机变量～N（μ，1），若函数没有零点的概率是0.5，则（）附：若，则，．A．0.1587B．0.1359C．0.2718D．0.34134．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，且sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2，则C的离心率的取值范围是（）A．（1，2）B．（1，3）C．（2，3）D．（3，）5．在△ABC中，已知∠A=90°，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（）
A．B．C．D．6．已知圆C1：与圆C2：的公共弦所在直线经过定点P，且点P在直线上，则的取值范围是（）A．B．C．D．7．在长方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，则下列结论错误的是（）A．A，M，O三点共线B．M，O，A1，A四点共面C．B，B1，O，M四点共面D．A，O，C，M四点共面8．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，设事件A=“x+y=7”，事件B=“xy为奇数”，事件C=“x＞3”，则下列结论正确的是（）A．A与B互斥B．A与B对立C．D．A与C相互独立10．已知函数（，），若为的一个极值点，且的最小正周期为，则（）А．B．（）C．的图象关于点（，0）对称D．为偶函数11．在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面AED1，则（）
A．点F的轨迹是一条线段B．直线A1F与BE可能相交C．直线A1F与D1E不可能平行D．三棱锥F−ABD1的体积为定值12．已知正数x，y，z满足，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x=2+i（i为虚数单位）是关于x的方程的一个根，则实数a的值为________．14．已知函数，若正数a，b满足，则的最小值为________．15．已知点A，B在椭圆C：上，O为坐标原点，直线OA与OB的斜率之积为，设，若点P在椭圆C上，则的值为________．16．已知函数，若对，，都有，则k的取值范围是________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．（1）求角A的值；（2）在①MC=2MB，②S△ABM=，③sin∠MBC=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答下列问题．若M为AC边上一点，且MA=MB，_______，求△ABC的面积S△ABC．18．（本小题满分12分）设数列的前n项和为，已知，且．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意
恒成立，求的取值范围．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是矩形，AD⊥平面PAB，PA⊥PB，E为AD的中点．（1）若点M在线段PB上，且直线EM∥平面PCD，确定点M的位置；（2）若AP=AD，AB=AD，求平面PCE与平面PAB所成锐二面角的余弦值．20．（本小题满分12分）已知F为抛物线C：（）的焦点，直线l：y=2x+1与C交于A，B两点．且|AF|＋|BF|=20．（1）求C的方程；（2）设动直线m平行于直线l，且与C交于M，N两点，直线AM与BN相交于点T，证明：点T在一条定直线上．21．（本小题满分12分）某种电子玩具启动后，屏幕上的LED显示灯会随机亮起红灯或绿灯．在玩具启动前，用户可对（）赋值，且在第1次亮灯时，亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为．随后若第n（）次亮起的是红灯，则第n+1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为；若第n次亮起的是绿灯，则第n+1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为．（1）若输入，记该玩具启动后，前3次亮灯中亮红灯的次数为X，求X的分布列和数学期望；（2）在玩具启动后，若某次亮灯为红灯，且亮红灯的概率在区间（，）内，则玩具会自动唱一首歌曲，否则不唱歌．现输入，则在前20次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？22．（本小题满分12分）
已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若直线l与函数，的图象都相切，求直线l的条数．湖南师大附中2022届模拟试卷（一）数学参考答案题号123456789101112答案DCBADACBADBCDADABD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D【解析】因为，则.当时，，符合要求；当时，，则，或，即，或.选D.2.C【解析】由已知，，，则，，所以是第三象限角，选C.3.B【解析】因为函数无零点，则，得.由题设，，则.又，则，选B.4.A【解析】在中，因为，由正弦定理，得.又，则，.因为，
则，即，所以，选A.5.D【解析】设为斜边上的高，则圆的半径，设为斜边的中点，，因为，，则，所以的最大值为，选D.6.A【解析】两圆的公共弦所在直线方程为，令得，，所以定点为.因为点在直线上，则，即.所以，选A.7.C【解析】如图，因为，则，，，四点共面.因为，则平面.又平面，则点在平面与平面的交线上，同理、也在平面与平面的交线上，所以、、三点共线，从而，，，四点共面，，，，四点共面.因为，是异面直线，则，，，四点不共面，选C.
8.B【解析】据题意，函数与的图象有两个交点.因为的图象是以点为圆心，1为半径的上半圆，直线：过定点，由图可知，直线介于直线和之间，且包括，但不包括.直线为的斜率为由点到直线的距离等于1可得直线的斜率，所以的取值范围是，选B.9.AD【解析】事件包含的基本事件为，，，，，共6种，所以；事件包含的基本事件为，，，，，，，，共9种情况，则，所以与互斥但不对立.事件包含的基本事件数为，则，，所以因为，，
则，所以与相互独立.选AD.10.BCD【解析】因为是的一个极值点，则，A错误.因为，则.由，得，，B正确.因为，，则，C正确.因为，则当为奇数时，为偶函数；当为偶数时，为偶函数.D正确，选BCD.11.AD【解析】如图，分别取线段，中点，，连接，，，则，，所以平面平面，因为平面，则平面.又点是侧面内的动点，所以点的轨迹为线段，A正确.因为在平面内，直线与平面相交，且交点不在上，所以与是异面直线，B错误.当点与点重合时，直线与直线平行，C错误.
因为，则平面，所以点到平面的距离是定值.又三角形的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，选AD.12.ABD【解析】设，，则，，.所以，A正确.因为，则；因为，则，所以，B正确.因为，则，D正确.因为，则，所以，C错误，选ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【解析】由已知，，即，所以.14.1【解析】显然为奇函数，且在上单调递增.由已知，，则.所以当且仅当时取等号，所以的最小值为1.15.1【解析】设点，，，，
且.由题设，点在椭圆上，则即，得.16.【解析】，则当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.不妨设，则，，由已知，即，令，则在上单调递增，从而当时，恒成立，即恒成立.令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，所以.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）由已知及正弦定理，得.因为，则，所以，即，则，因为，则，，所以，得，即.（2）选条件①：如图，因为，，则为等边三角形.
在中，设，则.因为，，由余弦定理得，即，得所以，，的面积选条件②：如图，因为，，则为等边三角形.因为，则，所以.在中，因为，设，由余弦定理得即，解得，则.所以的面积选条件③：如图，因为，，则为等边三角形，从而，在中，由正弦定理，得设，由余弦定理，得，即，解得.从而，
所以的面积18.【解析】（1）因为，则当时，.两式相减，得因为，则.又，则所以是首项为，公比为的等比数列，所以（2）因为，则.所以于是两式相减得所以因为恒成立，则，即恒成立.当时，不等式显然成立；
当时，恒成立.因为在上单调递增，则，得；当时，恒成立，因为得综上分析，的取值范围是.19.【解析】（1）方法一：设平面交直线于，连接.因为平面，则.因为，则平面，从而，所以四边形为平行四边形，从而.因为为的中点，则，所以又，所以点为的中点.方法二：点为的中点，证明如下：取的中点，连接、，因为、分别是、的中点，则.①因为是的中点，则.因为四边形是矩形，则，所以.②结合①②知，平面平面.因为平面，所以平面.（2）方法一：设，的延长线相交于，则平面与平面的交线为.因为平面，作，垂足为，连接，
则平面，从而，所以为二面角的平面角.设，则，.因为，则，从而为等腰直角三角形.因为为的中点，，，则为的中点，所以，从而.在中，由余弦定理，得，所以.在中，由，得，在中，因为，则，所以，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为方法二：因为平面，则，，以为原点，以垂直所在直线为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，.因为，则.所以点，，，，，，设平面的一个法向量为，则
得令，得，，所以因为平面，所以为平面的一个法向量.设平面与平面所成锐二面角为，则所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为20.【解析】（1）将代入，得.设点，，则，从而由抛物线定义，得，则，即.所以抛物线的方程为.（2）证明：设点，，因为，两式相减，得，因为，则设点，，因为，则于是两式相加，得又，则，即.因为，则，所以点在定直线上，21.【解析】（1）据题意，的所有可能取值为0，1，2，3.
当时，前3次亮灯的颜色为“绿绿绿”，则当时，前3次亮灯的颜色为“红绿绿”，或“绿红绿”，或“绿绿红”，则当时，前3次亮灯的颜色为“红红绿”或“红绿红”或“绿红红”，则当时，前3次亮灯的颜色为“红红红”，则所以的分布列为：0123（2）记第次亮灯时，亮起红灯的概率为，由题设，则因为则，所以是首项为，公比为的等比数列.则，所以由，得，所以为奇数.由，得因为为奇数，则，即，则.当时，，9，11，13，15，17，19.因为玩具在这7次亮灯中亮红灯是随机事件，所以在前20次亮灯中，该玩具最多唱7次歌.
22.【解析】（1）由题设，，则当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.（2）设直线分别与函数，的图象相切于点，则，即由，得即，即由，得，代入上式，得即，则设当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.因为，，则在上仅有一个零点.因为，则在上仅有一个零点.所以在上有两个零点，故与函数，的图象都相切的直线有两条.
