湖南师大附中2022届高三月考试卷（七）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，，则（）A.B.C.D.2.已知，则的值为（）A.B.C.D.3.某种活性细胞的存活率与存放温度之间具有线性相关关系，样本数据如下表所示：存放温度104-2-8存活率20445680经计算，回归直线的斜率为-3.2，若这种活性细胞的存放温度为，则其存活率的预报值为（）A.32%B.33%C.34%D.35%4.已知双曲线，若对任意实数，直线与至多有一个交点，则的离心率为（）A.B.C.D.5.已知函数，则（）A.B.-6C.D.-36.中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，其中
底面，底面扇环所对的圆心角为，的长度为的长度的3倍，，，则该曲池的体积为（）A.B.C.D.7.考察下列两个问题：①已知随机变量，且，，记；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记，则（）A.B.C.D.8.在中，角的边长分别为，点为的外心，若，则的取值范围是（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为2，，则（）
A.椭圆的长轴长等于4B.椭圆的离心率为C.椭圆的标准方程可以是D.椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为10.已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（）A.是以4为周期的周期函数B.C.函数有3个零点D.当时，11.已知函数的部分图象如图所示，把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，则（）A.为偶函数
B.的最小正周期是C.的图象关于直线对称D.在区间上单调递减12.如图，棱长为2的正方体的内切球球心为，分别是棱的中点，在棱上移动，则（）A.对于任意点，平面B.存在点，使平面C.直线的被球截得的弦长为D.过直线的平面截球所得截面圆面积的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数满足，则_________（用代数式表示）.14.《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著.该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组拟全部收集九宫算、运筹算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案共有__________种.15.已知直线过点，且与圆相交于两点，设，若点在圆上，则直线的倾斜角为__________.16.已知函数.（1）若对任意实数，恒成立，则的取值范围是___________；
（2）若存在实数，使得，则的取值范围是___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在中，已知.（1）求角的值；（2）设的平分线交边于，若，，求的面积.18.（本小题满分12分）在数列中，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求满足的正整数的最小值.19.（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，侧面底面，，是边长为2的正三角形，，分别是的中点，记平面与平面的交线为.（1）证明：直线平面；（2）设点在直线上，直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，求当为何值时，.20.（本小题满分12分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额，网购次数和支付方式等进行了问卷调查.经统计，这100位居民的网购消费金额均在区间内（单位：千元），按分成6组，其频率分布直方图如图所示.
（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将一年来网购消费金额在20千元以上称为“网购迷”，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；男女合计网购迷20非网购迷45合计100（3）调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：网购总次数支付宝支付次数银行卡支付次数微信支付次数甲80401624乙90601812将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望.附：观测值公式：.临界值表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82821.（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，直线分别与轴交于点，与抛物线交于点，且.（1）求抛物线的方程；（2）如图，设点都在抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求
的最小值.22.（本小题满分12分）已知函数，其中为常数.（1）设为的导函数，当时，求函数的极值；（2）设点，，曲线在点处的切线的斜率分别为，直线的斜率为，证明：.
参考答案一、选择题题号123456789101112答案DACBABCDBCDACDBCBD1.D【解析】由题设，，则，选D.2.A【解析】，选A.3.C【解析】设回归直线方程为，由表中数据可得，.因为回归直线经过样本点中心，则.所以当时，，选C.4.B【解析】据题意，直线与双曲线的渐近线平行或重合，则，即，从而，所以的离心率，选B.5.A【解析】因为，则，所以，选A.
6.B【解析】设所在圆的半径为，所在圆的半径为，因为，则.因为，则，所以该曲池的体积，选B.7.C【解析】由，解得，则.又，所以，选C.8.D【解析】取的中点，则，所以.因为，则，即.所以，选D.二、选择题9.BCD【解析】设椭圆的半长轴长为，半短轴长为，半焦距为，则，得.又，则，得.所以椭圆的长轴长等于8，离心率为，椭圆的标准方程可以是，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，选BCD.10.ACD【解析】因为，则.又
为偶函数，则，从而，所以是周期为4的周期函数，A正确.因为的周期为4，则，，所以，B错误；作函数和的图象，由图可知，两个函数图象有3个交点，C正确；当时，，则，D正确.选ACD.11.BC【解析】由图知，，则，即，因为，所以.因为为的零点，则，得.由图知，，则，所以，，从而.由题设，，则为非奇非偶函数，的最小正周期.当时，，则的图象关于直线对称.当时，，不单调，选BC.
12.BD【解析】正方体内切球的球心即正方体的中心，且球半径，当与重合时，平面，平面，此时直线与平面相交，A错误；当为的中点时，，，则平面，所以；同理，，所以平面，即平面，B正确；取的中点，由对称性可知，，则.因为，，则，所以直线的被球截得的弦长为，C错误；设截面圆半径为，球心到截面的距离为，则.因为，则，所以截面圆面积，D正确，选BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【解析】.14.126【解析】据题意，甲可收集1种或2种资料.第一类，甲收集1种，则乙、丙、丁中有一人收集2种，另两人各收集1种，有种；第二类，甲收集2种，则乙、丙、丁每人各收集1种，有种.所以不同的分工收集方案种数共有108+18=126种.15.30°或150°【解析】因为，，则四边形为菱形，所以.
设为垂足，因为点在圆上，则.设直线的方程为，由，得，即，所以直线的倾斜角为30°或150°.16.（1）；（2）【解析】（1）由，得，设，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以.因为恒成立，则，所以的取值范围是.（2）据题意，有两个不同零点，则直线与函数的图象有两个不同交点，因为当时，；当时，；当时，，由图可知，的取值范围是.四、解答题17.【解析】（1）设角的对边分别为，由已知及正弦定理，得，即，由余弦定理，得，则，即.因为，所以.（2）因为为的平分线，则，又，
由，得，即.在中，由余弦定理，得，因为，则，即，因为，则，所以的面积.18.【解析】（1）解法一：因为，则，即，即，所以数列为常数列.因为，则，所以数列的通项公式是.解法二：因为，则，即.当时，，得，又满足上式，所以数列的通项公式是.（2）由题设，，设为奇数，则.当为奇数时，.由，得，则.
当为偶数时，.由，得，则.综上分析，的最小值为67.19.【解析】（1）因为分别是的中点，则，从而平面.因为平面，平面平面，则，因为平面平面，平面平面，，则平面，所以直线平面.（2）因为平面，则.又，则.因为为正三角形，为的中点，则.从而平面.连接，则，因为，，则，在中，，在中，.因为，则，得.所以当时，.解法二：以为原点，直线为轴，直线为轴，过点且垂直于平面
的直线为轴，建立空间直角坐标系，则点，，从而，.设平面的法向量，则，取，得.设点，则，所以，.因为，则，得，所以当时，.20.【解析】（1）在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为，后2个小矩形的面积之和为，所以中位数位于区间内.设直方图的面积平分线为，则，得，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元.（2）由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为，所以“网购迷”共有35人，由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人.因为非网购迷人数共有100-35=65，其中男性45人，则女性有20人，所以补全的2×2列联表如下：男女合计网购迷152035非网购迷452065合计6040100因为，查表得
，所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”.（3）解法一：由表知，甲、乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为.设甲、乙两人采用支付宝支付的次数分别为，据题意，，.所以，，因为，则，所以的数学期望为.解法二：设甲、乙两人采用支付宝支付的次数分别为，则.因为的可能取值为0，1，2，则的可能取值为0，1，2，3，4.由表知，甲、乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为.则，，=，，，所以，即的数学期望为.
21.【解析】设点，由已知，则，即.因为，则，所以抛物线的方程是.（2）设点，直线的斜率为，因为，则直线的斜率为.因为，则，得，①因为，则，即，②因为，则，即③将②③代入①，得，即，则，所以因为，则，又，则，从而，当且仅当时取等号，所以的最小值为32.22.【解析】（1）当时，，，则
.，则当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，的极小值为，且无极大值.（2）由题设，，，则，又，则所证不等式化为，因为，，则.令，，因为，则，，所以在上单调递增，从而，即，因为，则
，从而，所以.
