台州市2021学年第一学期高三年级期末质量评估试题数学2022．01本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。参考公式：柱体的体积公式：锥体的体积公式：台体的体积公式：球的表面积公式：其中表示柱体的底面积，表示柱体的高其中表示锥体的底面积，表示锥体的高其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高球的体积公式：，其中表示球的半径
选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则A．B．C．D．2.若椭圆的离心率为，则实数的值为A．2B．3C．D．3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A．3B．4C．5D．64.已知平面四边形，则“(为实数)，
”是“四边形是平行四边形”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件1.函数的图象可能是2.若实数满足A．B．C．13D．3.若从编号为的十个小球中取3个不同的小球，且3个小球的编号两两不连续，则不同的取法共有A．8种B．36种C．56种D．64种4.已知奇函数在上是增函数，．若，，则的大小关系为A．B．
C．D．1.已知在数列中，，命题对任意的正整数，都有．若对于区间中的任一实数，命题为真命题，则区间可以是A．B．C．D．2.已知在正方体中，点为棱的中点，直线在平面内．若二面角的平面角为，则的最小值为A．B．C．D．非选择题部分(共110分)二、填空题：本大题共7小题，共36分。多空题每小题6分；单空题每小题4分。3.古希腊著名数学家阿基米德是这样求抛物弓形面积的：以抛物弓形的弦为底，以抛物线上平行于弦的切线的切点作弓形的内接三角形；在以该内接三角形两腰为弦的两个抛物线弓形内用同样的方法作出内接三角形，等等．从第二次开始，每次作出的内接三角形面积之和是前一次所作出的内接三角形面积和的．若第一次所作的内接三角形面积为1，则第三次所作的内接三角形面积和为________．4.在复平面内，复数(为虚数单位)对应的点分别为
，，则________．1.若，则________．2.已知袋中装有大小相同的红球，黄球和蓝球，从中随机摸取一个球，摸出红球或黄球的概率为，摸出红球或蓝球的概率为．则从中随机摸取一个球，摸出红球的概率为________；若每次随机摸取一个球，有放回地摸取两次，设表示两次摸到红球的总数，则________．3.若，则________．4.已知正实数满足，则的最小值为________．5.已知实数，平面向量．满足．若存在唯一实数，使得，则的最小值是_______三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。6.(本题满分14分)已知中，角所对的边分别为．(I)求的值；(II)若的面积为，求的值．7.(本题满分15分)已知数列是等差数列，其首项和公差都为1，数列是等比数列，其首项和公比都为2，数列的前项和为．(I)求；(II)证明：当时，．
1.(本题满分15分)如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，点在线段上，与相交于点，点是线段的中点．(I)证明：平面；(II)若点为线段的中点，记直线与平面所成角为，求的值．2.(本题满分15分)已知抛物线，点在抛物线上，斜率为2的直线与拋物线交于两点（点在点的下方）．(I)求抛物线的方程；(II)如图，点在抛物线上，且，线段与线段相交于点
．若，当面积取到最大值时，求点的坐标．1.（本小题满分15分）已知，设函数．(I)当时，若函数在上单调递增，求实数的取值范围；(II)若对任意实数，函数均有零点，求实数的最大值；(III)若函数有两个零点，证明：．
台州市2021学年第一学期高三年级期末质量评估试题数学参考答案2022．011—5BCDBA6—10CCADB11．12．；13．；；14．；15．；16．17．18．解：（Ⅰ）由已知得：．所以．………………3分得：．………………6分又．所以．即．…………………8分（Ⅱ）由已知得：．得：．………………11分又因为，所以．………………14分19．（Ⅰ）解：因为数列是等差数列，所以．…………2分因为数列是等比数列，所以．…………………4分所以．①．②由①②得：，………………6分所以．……………8分（Ⅱ）证明：因为，，所以，．…………10分当时，因为，所以，即．…12分
当时，．所以，当时，．…………………15分20．（Ⅰ）证明：因为，点是线段的中点，所以．………3分同理，．所以平面．………6分（Ⅱ）解：因为，，所以．因为，，所以．因为，所以，所以，所以，即．因为，所以平面．……10分如图建系，．因为点为线段的中点，所以．则，．设是平面的法向量，则即令，则，即，
因为，所以．……15分21．解：（Ⅰ）将代入抛物线方程得，即，所以．………………………………4分（Ⅱ）设，，．由题意可知，直线的斜率存在且不为，设直线的斜率为，则直线的方程为，直线的方程为．……………………5分由可得．则，．……………………7分同理，可得，．所以，，，．9分又，所以：．…11分所以，即．…………………………13分因为点在抛物线上且在点的右边，所以．则当点在直线与抛物线相切时的切点处时，面积的最大值，此时点的坐标为．……15分22．解：（Ⅰ）当时，．．………1分
当时，，则在上单调递增．………3分当时，若，，在上不可能单调递增．．所以在上单调递增，则．………4分（Ⅱ）（ⅰ）当时，，在上单调递增．有零点．（ⅱ）当时，在上单调递增，在上单调递减．又当时，；时，；所以只要恒成立，则恒有零点．………7分即恒成立．因为求的最大值，不妨设，．设，则．所以只要．即，得．所以的最大值为．………9分（Ⅲ）由题意得：只要证．………10分设，．则，是函数的两根．．当时，，与函数有两个零点矛盾．所以．所以当时，．所以函数在上递增，在上递减．记函数有图象关于直线对称后是函数的图象．
有．………12分则．．所以时，．………14分所以，即．所以．．所以．………15分
