开封市2022届高三第二次模拟考试理科数学一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设x，，集合，，若，则（）A.B.C.D.【答案】C2.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】D3.设复数z满足，且在复平面内z对应的点位于第一象限，则z=（）A.B.C.D.【答案】B4.已知，，则（）A.-7B.C.D.7【答案】D5.设A，F分别是双曲线C：一个顶点和焦点，过A，F分别作C的一条渐近线的垂线，垂足分别为，若，则C的渐近线方程为（）A.B.C.D.
【答案】A6.溶液酸碱度是通过pH计量的.pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，已知胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的pH约为（）（参考数据：lg2≈0.301）A.0.398B.1.301C.1.398D.1.602【答案】D7.已知公差为1的等差数列中，，若该数列的前n项和，则n=（）A.10B.11C.12D.13【答案】D8.若[x]表示不超过x的最大整数，例如[0.3]=0，[1.5]=1.则如图中的程序框图运行之后输出的结果为（）A.102B.684C.696D.708【答案】C9.已知函数图象过点，现将y=f（x）的图象向左平移个单位长度得到的函数图象也过点P，则（）A.ω的最小值为2B.ω的最小值为6C.ω的最大值为2D.ω的最大值为6【答案】A
10.已知（2，1）是圆C：上一点，则连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积（）A.有最小值4B.有最小值8C.有最大值8D.有最大值16【答案】B11.骑行是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱.如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，，均是边长为4的等边三角形，设点P为后轮上一点，则在骑行该自行车的过程中，达到最大值时点P到地面的距离为（）A.B.C.D.【答案】B12.如图，将一块直径为的半球形石材切割成一个正四棱柱，则正四棱柱的体积取最大值时，切割掉的废弃石材的体积为（）A.B.C.D.【答案】A
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知两个单位向量的夹角为，则____________．【答案】14.在的展开式中，常数项为___________.【答案】15.若函数为奇函数，则不等式的解集为___________.【答案】16.如图，某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里，.则小岛B与小岛D之间的距离为___________海里；小岛B，C，D所形成的三角形海域BCD的面积为___________平方海里.【答案】①.②.三､解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知数列的前n项和为，，且.（1）证明：数列为等差数列；（2）选取数列的第项构造一个新的数列，求的前n项和.【答案】（1）证明见解析（2）
18.如图，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，圆柱OQ的侧面积为，点P在圆柱OQ的底面圆周上，且三角形OPB是边长为的等边三角形，点G是DP的中点.（1）若G是DP的中点，求证：AG⊥BD；（2）若，求GB与平面ABCD所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析.（2）19.已知抛物线C：的焦点为F，为C上一点，直线l交C于M，N两点（与点S不重合）.（1）若l过点F且倾斜角为60°，（M在第一象限），求C的方程；（2）若，直线SM，SN分别与y轴交于A，B两点，且，判断直线l是否恒过定点？若是，求出该定点；若否，请说明理由.【答案】（1）（2）直线l恒过定点.20.某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为p（0<p<1），各元件之间相互独立.当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）.
（1）若，当k=2时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望，并求；（2）已知设备升级前，单位时间的产量为a件，每件产品的利润为4元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的2倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是8元.记设备升级后单位时间内的利润为Y（单位：元）.（i）请用表示E（Y）；（ii）设备升级后，若将该设备的控制系统增加2个相同的元件，请分析是否能够提高E（Y）.【答案】（1）分布列见解析，数学期望为，.（2）（i）；（ii）当时，提高；当时，没有提高21.已知函数.（1）当时，求在处切线与y轴的交点坐标；（2）已知，若时，恒成立，求m的取值范围.【答案】（1）（2）22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数，），直线的参数方程为（为参数，）.（1）将参数方程化为普通方程，并求出与的夹角；（2）已知点，分别为，与曲线相交所得弦中点，且的面积为
，求的值.【答案】（1）的普通方程为；与的夹角为；（2）或.23.已知，且abc=1.（1）求证：；（2）若a=b+c，求a的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）
