开封市2022届高三第二次模拟考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设x，，集合，，若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由交集结果解指数方程，求出，进而求出，求出并集.【详解】由于，所以，解得：，所以，所以，，所以故选：C2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（）A.B.C.2D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件求出，再利用复数模的定义计算作答.【详解】因在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则，则，所以.故选：D3.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，
【答案】D【解析】【分析】利用含有一个量词命题的否定的定义求解.【详解】因为命题“，”是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即，，故选；D4.已知，，则（）A.-7B.C.D.7【答案】D【解析】【分析】求得的值，由此求得.【详解】由于，，所以，.故选：D5.甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天产品的次品数的茎叶图如图所示，下列判断错误的是（）A.甲的中位数大于乙的中位数B.甲的众数大于乙的众数C.甲的方差大于乙的方差D.甲的性能优于乙的性能【答案】D
【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，分别计算中位数、众数、平均数、方差，再根据这些数字特殊的意义对每一个选项判断即可得解.【详解】由茎叶图得：甲机床每天生产的次品数为：7，8，9，10，12，13，15，15，20，21乙机床每天生产的次品数为：8，9，10，10，11，12，12，12，16，20.对于A，甲的中位数为，乙的中位数为所以甲的中位数大于乙的中位数，故A正确；对于B，甲的众数为15，乙的众数为12，所以甲的众数大于乙的众数，故B正确；对于C，甲的平均数，就的平均数.所以甲的方差乙的方差.所以甲的方差大，故C正确；对于D，由A、B、C得：中位数、众数、平均数、方差均为甲大于乙，所以甲生产出的次品数多于乙，即乙机床的性能优于甲，故D错误.故选：D6.设A，F分别是双曲线C：的一个顶点和焦点，过A，F分别作C的一条渐近线的垂线，垂足分别为，若，则C的渐近线方程为（）A.B.C.D.
【答案】A【解析】【分析】利用点到直线的距离公式求得，结合求得，进而求得正确答案.【详解】不妨设，一条渐近线方程为，，依题意，即，由于，即，所以.所以双曲线的渐近线方程为.故选：A7.溶液酸碱度是通过pH计量的.pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，已知胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的pH约为（）（参考数据：lg2≈0.301）A.0.398B.1.301C.1.398D.1.602【答案】D【解析】【分析】直接利用所给公式计算求解即可【详解】由题意得胃酸的pH为
，故选：D8.若[x]表示不超过x的最大整数，例如[0.3]=0，[1.5]=1.则如图中的程序框图运行之后输出的结果为（）A.102B.684C.696D.708【答案】C【解析】【分析】分析题意，得出，即该程序框图运行后输出的结果为：，即可计算得出结果.【详解】[x]表示不超过x的最大整数，所以该程序框图运行后输出的结果是：，共123项相加.从到共10项均为0，到共10项均为1，到共10项均为2，……，到共10项均为11，到共3项均为12，所以：.
故选：C.9.如图，将一块直径为的半球形石材切割成一个体积最大的正方体，则切割掉的废弃石材的体积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】过正方体相对侧棱作截面，然后可解.【详解】作截面如图，设正方体棱长为a，则，由勾股定理有，解得，半球体积为，正方体体积为，所以切割掉的废弃石材的体积为.故选：A10.已知函数的图象过点，现将y＝f(x)的图
象向左平移个单位长度得到的函数图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，则f(x)的解析式可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】将点P坐标带入函数解析式，然后根据平移后图像的特点可求出周期.【详解】将点P的坐标带入，可得，因为平移后的图像与原图关于x轴对称，所以可能是，即，，故选：A.11.已知（2，1）是圆C：上一点，则连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积（）A.有最小值4B.有最小值8C.有最大值8D.有最大值16【答案】B【解析】【分析】把（2，1）带入椭圆方程，得到，利用基本不等式得到即可求出面积的最小值.【详解】因为（2，1）是圆C：上一点，所以，即，所以，所以.
连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积为.即面积有最小值8.故选：B12.骑行是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱.如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，，均是边长为4的等边三角形，设点P为后轮上一点，则在骑行该自行车的过程中，达到最大值时点P到地面的距离为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量法求得达到最大值时点P的坐标，进而求得正确答案.【详解】以为原点建立如图所示平面直角坐标系，，以为圆心，半径为的圆的方程为，设，，由于，所以当时，取得最大值，
此时点的坐标为，点到地面的距离为.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知两个单位向量的夹角为，则____________．【答案】【解析】【分析】利用，结合向量的数量积公式及将已知条件代入，求出模.【详解】因为两个单位向量的夹角是，所以，故答案为：．【点睛】结论点睛：本题考查求向量的模长，根据已知条件选择，若题目告诉的是坐标形式，利用，若题目涉及夹角，利用，考查学生的审题与计算能力，属于基础题.14.已知公差为1的等差数列中，，若，则n＝______．【答案】
【解析】【分析】根据等差数列的基本量的运算得，再求出通项即可求解.【详解】由，有，从而，所以若时，得.故答案为：15.已知函数，若f(x)有极大值，则a＝______．【答案】【解析】【分析】研究函数单调性，根据单调性判断极值点，从而得到关于极大值的方程即可求解.【详解】因为，则.若，则，则在定义域上单调递减，无极大值，故.令，则，当时，；当时，或，所以在和上单调递增，在上单调递减所以，解得.故答案为：16.如图，某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里，.则小岛B与小岛D之间的距离为___________海里；小岛B，C，D所形成的三角形海域BCD的面积为___________平方海里.
【答案】①.②.【解析】【分析】先求得，利用正弦定理求得，利用余弦定理求得，从而求得三角形的面积.【详解】圆的内接四边形对角互补，为锐角，，在三角形中，由正弦定理得.在三角形中，由余弦定理得，整理得,（负根舍去）.所以平方海里.故答案为：；三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.某小区物业每天从供应商购进定量小包装果蔬，供本小区居民扫码自行购买，每份成本15元，售价20元．如果下午6点之前没有售完，物业将剩下的果蔬打五折于当天处理完毕．物业对20天本小区这种小包装果蔬下午6点之前的日需求量（单位：份）进行统计，得到如下条形图：
（1）假设物业某天购进20份果蔬，当天下午6点之前的需求量为n（单位：份，）．（i）求日利润y（单位：元）关于n的函数解析式；（ii）以20天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求日利润不少于100元的概率．（2）依据统计学知识，请设计一个方案，帮助物业决策每天购进的果蔬份数．只需说明原因，不需计算．【答案】（1），；（2）方案见解析.【解析】【分析】（1）①根据价格成本计算即可；按照所给的条形图，②计算出日利润大于等于100元的频率即可；（2）可以根据条形图计算出日需求的数学期望，按照数学期望确定每天购进的果蔬份数.【小问1详解】当时，（元）；当时，（元），所以；由条形图可知，每天需求大于等于20的一共有4+5+4=13天，所以日利润不少于100的概率为；【小问2详解】可以根据条形图计算出日需求的数学期望，按照所求的数学期望觉得每天购进的果蔬份数；
故答案为：，，方案见解析.18.已知数列的前n项和为，，且.（1）证明：数列为等差数列；（2）选取数列的第项构造一个新的数列，求的前n项和.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用来进行证明.（2）先求得，然后利用分组求和法求得.【小问1详解】依题意，，，所以数列是首项为，公差为等差数列.所以，.【小问2详解】数列的第为，所以.19.如图，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，圆柱OQ的侧面积为，点P在圆柱OQ的底面圆周上，且是边长为的等边三角形，点G是DP的中点．
（1）求证：AG⊥平面PBD；（2）求点A到平面OPG的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件证明及，再利用线面垂直判定推理作答.（2）在三棱锥中利用等体积法计算作答.【小问1详解】因点P在圆柱OQ的底面圆周上，则，而四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，则有平面，平面，即有，又，平面，于是得平面，而平面，因此，，因是边长为的等边三角形，，，因圆柱OQ的侧面积为，即，则，又点G是DP的中点，则有，而，平面，所以平面.【小问2详解】由已知得，线段DP的中点G到平面距离为，于是得，
由平面知，即是直角三角形，，而，则等腰底边上的高为，，设点A到平面OPG的距离为，由得：，解得，所以点A到平面OPG的距离是.20.已知抛物线C：的焦点为F，为C上一点，直线l交C于M，N两点（与点S不重合）.（1）若l过点F且倾斜角为60°，（M在第一象限），求C的方程；（2）若，直线SM，SN分别与y轴交于A，B两点，且，判断直线l是否恒过定点？若是，求出该定点；若否，请说明理由.【答案】（1）（2）直线l恒过定点.【解析】【分析】（1）由已知条件，利用点斜式写出直线l的方程，然后与抛物线方程联立，求出点的横坐标，进而根据焦半径公式即可求解；（2）设直线的方程为，点，将直线的方程与抛物线联立，根据已知条件及韦达定理找到、之间的关系即可求解.【小问1详解】解：抛物线C：的焦点为，
因为l过点F且倾斜角为60°，所以，联立，可得，解得或，又M在第一象限，所以，因为，所以，解得，所以抛物线C的方程为；【小问2详解】解：由已知可得抛物线C的方程为，点，设直线的方程为，点，将直线方程与抛物线联立得，所以，，直线的方程为，令求得点的纵坐标为，同理求得点的纵坐标为，由，化简得，将上面式代入得，即，所以直线的方程为，即，所以直线过定点.21.已知函数．（1）当a=2时，求f(x)在x＝1处的切线方程；（2）若对任意的x>0，有f(x)≤b+a（），证明：b≥－2a．
【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）把a=2代入，求出函数f(x)在x＝1处的导数值，再利用导数的几何意义求解作答.（2）等价转化给定的不等式，构造函数并求其最大值，再构造函数并求其最小值作答.【小问1详解】当a=2时，，，求导得：，则，有，即，所以f(x)在x＝1处的切线方程是：.【小问2详解】，，令，，求导得，而，则当时，，当时，，因此，在上单调递增，在上单调递减，，于是得，则，令，，则当时，，当时，，因此，在上单调递减，在上单调递增，，于是得，即，所以.【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式造价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数，），直线的参数方程为（为参数，）.（1）将参数方程化为普通方程，并求出与的夹角；（2）已知点，分别为，与曲线相交所得弦的中点，且的面积为，求的值.【答案】（1）的普通方程为；与的夹角为；（2）或.【解析】【分析】（1）根据参数方程与普通方程互化可得普通方程，并确定直线与的斜率，可得；（2）将的参数方程代入的普通方程，利用直线参数方程中参数的几何意义可求得，利用可构造方程求得结果.【小问1详解】由得：，即的普通方程为：；由直线与的参数方程可知两直线斜率分别为，，，，即与的夹角为；【小问2详解】均经过椭圆内部的点，与椭圆分别交于两点；
将代入得：，设是方程的两根，则；是与椭圆相交弦中点，；将代入，同理可得：；，解得：或（舍），又，，或，解得：或.[选修4-5：不等式选讲]23.已知，且abc=1.（1）求证：；（2）若a=b+c，求a的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用基本不等式证得不等式成立.（2）利用基本不等式化简已知条件，求得的取值范围，从而求得的最小值.【小问1详解】，当且仅当时等号成立.
【小问2详解】依题意，，所以，当且仅当时等号成立.所以，所以的最小值为，此时.
