泸县第一中学高2019级高三二诊模拟考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷客观题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则A．B．C．D．2．i为虚数单位，若是实数，则实数b的值为A．3B．C．D．3．下列函数中为奇函数且在单调递增的是A．B．C．D．4．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，样本极差分别为和，则A．，，B．，，C．，，D．，，5．如果是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是
A．与B．与C．与D．与6．函数在上的图象大致为A．B．C．D．7．素数也叫质数，部分素数可写成“”的形式（是素数），法国数学家马丁·梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“”形式（是素数）的素数称为梅森素数.已知第20个梅森素数为，第19个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（参考数据：）A．B．C．D．8．如图正方体，中，点、分别是、的中点，为正方形的中心，则A．直线与是异面直线B．直线与是相交直线C．直线与互相垂直D．直线与所成角的余弦值为9．的展开式中的系数为A．5B．10C．15D．2010．已知四面体中，，，，则以点为球心，以为半径的球被平面截得的图形面积为
A．B．C．D．11．已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于，两点，以线段为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，若的面积为，则双曲线的离心率为A．B．C．D．12．已知，b=1.1，，，则a､b､c､d的大小关系为A．a>b>c>dB．a>b>d>cC．b>a>c>dD．b>a>d>c第II卷主观题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知实数，满足约束条件则的最小值为______.14．若，则___________.15．若直线与曲线相切，则实数t的值为________．16．已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率，点在椭圆上，，且△的面积为1，则右焦点的坐标为___________.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，，从以下三个条件中任选一个：①；②；③，解答如下的问题（1）证明：；（2）若边上的点满足，求线段的长度的最大值.18．（12分）某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别，，，，（单位：克）中，经统计频率分布直方图如图所示．
(1)估计这组数据的平均数；(2)在样本中，按分层抽样从质量在，中的芒果中随机抽取10个，再从这10个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率；(3)某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中共有芒果大约10000个，经销商提出以下两种收购方案：方案①：所有芒果以10元/千克收购；方案②：对质量低于350克的芒果以3元/个收购，对质量高于或等于350克的芒果以5元/个收购．请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？19．（12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的“阳马”中，侧棱底面，，点是的中点，作交于点.(1)求证：平面；(2)若平面与平面所成的二面角为，求.20．（12分）已知抛物线，直线交于、两点，且当时，.(1)求的值；(2)如图，抛物线在、两点处的切线分别与轴交于、，和交于，.证明：存在实数，使得.21．（12分）已知函数．(1)讨论的零点个数；(2)若，求证：．
（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线：（为参数，实数），曲线：（为参数，实数）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：，（，）与交于O，A两点，与交于O，B两点．当时，；当时，．(1)求a，b的值；(2)求的最大值．23.[选修4-5:不等式选讲]（10分）已知，若在R上恒成立.(1)求实数a的取值范围；(2)设实数a的最大值为m，若正数b，c满足，求bc+c+2b的最小值.泸县第一中学高2019级高三二诊模拟考试理科数学参考答案：1．B2．A3．C4．B5．D6．A7．B8．C9．C10．B11．B12．B13．14．15．16．17．（1）选条件①：由，得，由正弦定理可得：，因为，所以，所以，因为，所以，即，因为，所以；在中，由正弦定理可得：，所以，即证；
选择条件②：由正弦定理可得：，又因为，所以，化简整理得：，由，所以，又，所以，在中，由正弦定理可得：，所以，即证；选择条件③：由已知得：，由余弦定理得，所以，因为，所以，由正弦定理可得：，因为，所以，又，所以，在中，由正弦定理可得：，所以，即证；（2）由及，可得，在中，由余弦定理可得：，因为为锐角三角形，所以，解得：，所以，所以当即时，取最大值为，所以线段的长度的最大值为.18．(1)由频率分布直方图可得这组数据的平均数为：（克）；(2)由题可知质量在，中的频率分别为0.2，0.3，按分层抽样从质量在，中的芒果中随机抽取10个，则质量在中的芒果中有4个，质
量在中的芒果中有6个，从这10个中随机抽取2个，共有种等可能结果，记事件A为“这2个芒果都来自同一个质量区间”，则事件A有种等可能结果，∴；(3)方案①收入：（元）；方案②收入：由题意得低于350克的收入：（元）；高于或等于350克的收入：（元）.故总计（元），由于,故种植园选择方案②获利更多.19．(1)设，，如图，以为坐标原点，所在方向分别为，，轴的正半轴，建立空间直角坐标系.则，，，，因为点是的中点，所以，，，于是，即，又已知，而，所以平面.(2)由平面，所以是平面的一个法向量；由（1）知，平面，所以是平面的一个法向量.若面与面所成二面角的大小为，则，解得.所以，故当面与面所成二面角的大小为时，.20．(1)解：将代入得，设、，则，由韦达定理可得，则，
解得或（舍），故.(2)将代入中得，设、，则，由韦达定理可得，对求导得，则抛物线在点处的切线方程为，即，①同理抛物线在点处的切线方程为，②联立①②得，所以，所以点的坐标为，当时，即切线与交于轴上一点，此时、、重合，由，则，又，则存在使得成立；当时，切线与轴交于点，切线与轴交于点，由，得的中点，由得，即，又，所以，所以，，又，所以存在实数使得成立.综上，命题成立.21．(1)由题意（其中），只需考虑函数在的零点个数．①当时，函数在内没有零点，②当时，函数在单调递增，取时，，时，，此时在存在唯一个零点，且．③当时，，则时，；时，．
所以在上单调递减，在上单调递增.则是函数在上唯一的极小值点，且．取时，，取时，.因此：若，即时，没有零点；若，即时，有唯一个零点；若，即时，有且仅有两个零点．综上所述，时，有两个零点；或时，有唯一个零点；时，没有零点．(2)不等式即为（其中），先证时，．令，则，则单调递增，所以，则．所以，故只需证明即可．即证明（其中），令，，只需证明即可．又，，则时，；时，．所以在上单调递增，在上单调递减.则时，取得极大值，且，也即为最大值．由得．则时，；时，．所以在上单调递减，在上单调递增.则时，取得极小值，且，也即为最小值．由于，
即有，则，所以时，不等式成立，则不等式也成立．22．(1)由曲线：（为参数，实数），化为普通方程为，展开为：，其极坐标方程为，即，由题意可得当时，，∴.曲线：（为参数，实数），化为普通方程为，展开可得极坐标方程为，由题意可得当时，，∴.(2)由（1）可得，的极坐标方程分别为，.∴，∵，∴的最大值为，当，时取到最大值.23．(1)令，则由解析式易知，，因为在R上恒成立，所以，即(2)由（1）可知，，则.当且仅当，即时，取等号.故的最小值为
