银川一中2021-2022学年度(上)高二期末考试数学(理科)试卷一、单选题（每题5分，共60分）1．（）A．B．C．D．2．抛物线的焦点坐标为 A.B.C.D.3．已知函数，则的值为 A.B.C.D.4．函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．5．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（）A．B．C．D．6．已知椭圆的一个焦点坐标为(-1，0)，则m的值为（）A．2B．4C．5D．67．我国的刺绣有着悠久的历史，如图，为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣小正方形的摆放规律相同，设第个图形包含个小正方形，则的表达式为A．B.C.D.8．函数，的最小值为（）
A．2B．C．D．39．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的解集是()A.B.C.D.10．已知函数的导函数为，且满足，则 A.B.C.D.11．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知，，，则a，b，c的大小关系是()A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.a<b<c二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知向量，且，则实数________________．14．经过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为_________．15．函数是R上的单调递增函数，则a的取值范围是______．16．已知函数是函数的导函数,,对任意实数都有,则不等式的解集为___________.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．(10分)已知函数f(x)＝x﹣lnx（1）求曲线y＝f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程；（2）求函数f(x)的极值．
18．(12分)已知抛物线：的焦点为，上的一点到焦点的距离是，求抛物线的方程；过作直线，交于，两点，若线段中点的纵坐标为，求直线的方程.19．(12分)在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点；（1）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；（2）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值．20．(12分)已知，是函数的两个极值点.（1）求的解析式；（2）记，，若函数有三个零点，求的取值范围.21．(12分)
如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，=2，.（1）求点C到平面的距离；（2）线段上是否存在点F，使与平面所成角正弦值为，若存在，求出，若不存在，说明理由.22．(12分)设函数．（1）求的单调区间；（2）若a=1，k为整数，且当x>0时，恒成立，求k的最大值．（其中为的导函数．）
高二理科期末考试试卷答案(2022上)一、选择题123456789101112DBACBBDDCBBB二、填空题13.214.15.16.三、解答题17.解：（1），………………………………2分则，，即切线的斜率为0，……………………………………4分所以曲线y＝f(x)在点（1，f(1)）处曲线的切线方程为；…………5分（2）当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，………………………9分函数的极小值为，无极大值.………………………10分18.解：抛物线：的准线方程为，由抛物线的定义可知，………………………………2分解得，的方程为．………………………………………………4分由得抛物线的方程为，焦点，设，两点的坐标分别为，，则，………………………………………………………6分两式相减，，整理得，………………………………………………8分线段中点的纵坐标为，直线的斜率，…………………………10分直线的方程为，即．……………12分19.解：（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，
则可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4），………………………3分∴cos＜，＞==∴异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为；…………………………6分（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），则可得，即，取x=1可得=（1，﹣1，），……9分设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=∴直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为………………………12分20.解：（1）因为，所以………1分根据极值点定义，方程的两个根即为，，，代入，，可得，解之可得，，…………………………3分故有；………………………………………4分（2）根据题意，，，，根据题意，可得方程在区间，内有三个实数根，即函数与直线在区间，内有三个交点，又因为，则令，解得；令，解得或，所以函数在，上单调递减，在上单调递增；…6分又因为，，，，……10分函数图象如右所示：若使函数与直线有三个交点，则需使，即．…………………12分21.解：解：如图所示，取中点，连结，，因为三角形是等腰直角三角形，所以，因为面面，面面面，所以平面，又因为，
所以四边形是矩形，可得，则，建立如图所示的空间直角坐标系，则：………………………………1分据此可得，设平面的一个法向量为，则，令可得，……………………………3分从而，又，故求点到平面的距离．……………………5分（2）假设存在点，，满足题意，点在线段上，则，……………………………6分即：，，，，，据此可得：，，从而，，，，…8分设与平面所成角所成的角为，则，………………………………10分整理可得：，解得：或（舍去）．……………………………11分据此可知，存在满足题意的点，点为的中点，即．………12分22.解：（Ⅰ）函数的定义域为，………………1分当时，对于恒成立，此时函数在上单调递增；当时，由可得；由可得；此时在上单调递减，在上单调递增；…………3分综上所述：当时，函数的单调递增区间为，当时，单调递减区间为，单调递增区间为，…4分（Ⅱ）若，由可得，因为，所以，所以所以对于恒成立，……………………………5分令，则，，
令，则对于恒成立，所以在单调递增，……………………7分因为，，所以在上存在唯一的零点，即，可得：，……………………9分当时，，则，当时，，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，……………11分因为，所以的最大值为.…………………………12分
