云南省昆明市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题一、单选题1．如图是由一些大小相同的小正方体堆成的几何体，则该几何体的左视图是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】读图可得，左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1．【详解】解：左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1，如图：故选：．【点睛】此题主要考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置．2．新冠病毒的直径最小大约为0.00000008米，这个数用科学记数法表示为（ ）A．8×10﹣8B．8×10﹣7C．80×10﹣9D．0.8×10﹣7【答案】A【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】25
0.00000008＝8×10﹣8．故选：A．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．下列各式正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方和幂的乘方判断即可；【详解】，故A错误；，故B错误；，故C错误；，故D正确；故选D．【点睛】本题主要考查了幂的运算性质，结合同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方和幂的乘方计算是解题的关键．4．下列说法正确的是（ ）A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为，，说明乙的跳远成绩比甲稳定C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生【答案】C【分析】全面调查与抽样调查的优缺点：全面调查收集的数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组25
数据的中位数．如果数据的个数是偶数，中间两数的平均数就是中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．【详解】解：A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，A错误；B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为，，说明甲的跳远成绩比乙稳定，B错误；C．一组数据，，，的众数是，中位数是，正确；D．可能性是的事件在一次试验中可能会发生，D错误．故选C．【点睛】本题考查了统计的应用，正确理解概率的意义是解题的关键．5．在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，的顶点都是格点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】连接格点、，则由勾股定理及其逆定理，易得CD⊥AB，从而在Rt△ADC中，由正切函数的定义即可求得结果．【详解】如图，连接格点、，则，，，∵，即，∴，25
在Rt△ADC中，．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，正切函数的定义等知识，把非直角三角形中锐角三角函数问题转化为直角三角形中锐角三角函数问题是本题的关键与难点．6．2020年初，受新冠肺炎疫情的影响，口罩等医用物资供不应求，某网店二月份口罩销量为256袋，三、四月份销量持续走高，四月份销量达400袋，则三、四月份这两个月的月平均增长率是（）A．10%B．20%C．25%D．30%【答案】C【分析】设三、四月份这两个月的月平均增长率是，根据等量关系：二月份口罩销量×(1+月平均增长率)2=四月份销量，即可列出一元二次方程，解方程即可．【详解】设三、四月份这两个月的月平均增长率是，由题意得：解得，，（舍去）则三、四月份这两个月的月平均增长率是25%故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程有关增长率的实际应用，理解题意、找到等量关系并列出方程是关键．7．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．且D．【答案】C【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．【详解】∵关于x的一元二次方程有实数根，25
∴△=b2-4ac≥0，即：1+3k≥0，解得：，∵关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0中k≠0，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．8．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤：①连接和；②在玻璃碎片上任意找不在同一直线上的三点、、；③以点为圆心，为半径作；④分别作出和的垂直平分线，并且相交于点；正确的操作步骤是（）A．②①③④B．②①④③C．①②④③D．①④②③【答案】B【分析】根据题意可知所求的圆形玻璃是△ABC的外接圆，从而可以解答本题．【详解】由题意可得，所求的圆形玻璃是△ABC的外接圆，∴这块玻璃镜的圆心是△ABC三边垂直平分线的交点，∴正确的操作步骤是②①④③故选：B．【点睛】25
本题考查垂径定理的应用，解答本题的关键是明确三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点．9．如图，中，弦于，若，的半径等于，则弧的长为（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】连接OA、OC，根据直角三角形的性质求出∠D，根据圆周角定理求出∠AOC，根据弧长公式计算，得到答案．【详解】连接、，，，，由圆周角定理得，，弧的长，故选：．【点睛】25
本题考查的是弧长的计算、圆周角定理，掌握弧长公式是解题的关键．10．如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的．称为杨辉三角形．的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第行中的每一项，如：．若是展开式中的系数，则的值为（）A．2022B．C．2023D．【答案】C【分析】根据的展开式规律，写出的展开式，根据展开式即可写出的系数t．【详解】∵∴展开式中倒数第二项为∴展开式中含项的系数是2023故选：C【点睛】本题是材料阅读题，考查了多项式的乘法，读懂材料然后写出的展开式是关键．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题11．水是生命之源.但水并不是取之不尽，用之不竭的，所以节约用水要从生活中点点滴滴做起.小明将节约用水5立方米记作+5立方米，那么浪费用水3立方米记作_____立方米.【答案】﹣3【分析】25
根据相反意义量的定义解答即可．【详解】如果节约用水5立方米记作+5立方米，那么浪费用水3立方米记作－3立方米．故答案为﹣3．【点睛】本题考查了正数与负数，熟练掌握相反意义量的定义是解答本题的关键．12．因式分解：______．【答案】【分析】先提取公因式，再利用平方差公式计算即可得出答案．【详解】解：．【点睛】本题考查的是因式分解，比较简单，需要熟练掌握因式分解的方法以及步骤．13．函数中，自变量x的取值范围是_____．【答案】且【详解】解：由函数有意义可知：∴，∴且，故答案为：且．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．14．一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角是___度．【答案】150【分析】根据弧长公式计算．【详解】25
根据扇形的面积公式可得：，解得r=24cm，再根据弧长公式，解得.故答案为：150.【点睛】本题考查了弧长的计算及扇形面积的计算，要记熟公式：扇形的面积公式，弧长公式.15．为了更进一步优化环境，甲、乙两队承担河道整治任务．甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米，且甲整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的时间相等．设甲工程队每天整治河道，根据题意列方程为__________．【答案】【分析】直接利用甲整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的时间相等，得出等式求出答案．【详解】解：设甲工程队每天修x米，则乙工程队每天修（1500﹣x）米，根据题意可得：，故答案为：．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．16．如图,∠AOB=30º,点M、N分别是射线OB、OA上的动点,点P为∠AOB内一点,且OP＝8,则△PMN的周长的最小值＝___________.25
【答案】8【详解】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=8cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等边三角形，∴CD=OC=OD=8．∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=8．故答案为8．17．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰直角三角形，则符合条件的点C有_____个．【答案】6【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰；分别找出符合题意的点C即可.【详解】解：如图，分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有2个；25
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故答案为：6.【点睛】本题考查了网格中等腰直角三角形的判定和勾股定理的逆定理，熟知等腰直角三角形的判定和性质、分情况探寻是解答的关键.18．如图，反比例函数y＝的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC＝BC，当点A运动时，点C始终在函数y＝的图象上运动，tan∠CAB＝2，则k＝_____．【答案】-8【分析】连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，通过角的计算找出∠AOE=∠COF，结合“∠AEO=90°，∠CFO=90°”可得出△AOE∽△COF，根据相似三角形的性质得出比例式，再由tan∠CAB=2，可得出CF•OF的值，进而得到k的值．【详解】如图，连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F．∵由直线AB与反比例函数y的对称性可知A、B点关于O点对称，∴AO=BO．又∵AC=BC，∴CO⊥AB．∵∠AOE+∠AOF=90°，∠AOF+∠COF=90°，∴∠AOE=∠COF．又∵∠AEO=90°，∠CFO=90°，25
∴△AOE∽△COF，∴，∵tan∠CAB2，∴CF=2AE，OF=2OE．又∵AE•OE=2，CF•OF=|k|，∴|k|=CF•OF=2AE×2OE=4AE×OE=8，∴k=±8．∵点C在第二象限，∴k=﹣8．故答案为：﹣8．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质，解答本题的关键是求出CF•OF=8．解答该题型题目时，巧妙的利用了相似三角形的性质找出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论．评卷人得分三、解答题19．计算．【答案】10【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式、零指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式．25
【点睛】本题主要考查了实数运算，解题的关键是正确化简各数．20．如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE，求证：AB=CD．【答案】详见解析【分析】根据ABBD，DEBD，ACCE，可以得到，，，从而有，可以验证和全等，从而得到AB=CD．【详解】证明：∵，，∴∴，∴在和中∴≌故．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用角边角判定三角形全等，其中找到两两互余的角之间的关系是解题的关键．21．如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．25
（1）若与关于原点成中心对称，则点的坐标为______；（2）以坐标原点为旋转中心，将逆时针旋转90°，得到，则点的坐标为______；（3）求出（2）中线段扫过的面积．【答案】（1）（2）（3）线段AC扫过的面积为【分析】（1）根据关于原点成中心对称的性质“横、纵坐标互为相反数”，求解即可；（2）根据旋转的有关性质，求解即可；（3）根据扇形的面积计算公式求解即可．（1）解：∵与关于原点成中心对称，，∴点的坐标为．故答案为：；（2）解：如图，即为所求，点的坐标为．故答案为：；（3）25
解：∵，，∴线段扫过的面积=扇形的面积-扇形的面积．【点睛】此题考查了坐标与图形，涉及了中心对称和旋转变换以及扇形面积的计算，解题的关键是熟练掌握相关性质及基础知识．22．为调查广西北部湾四市市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了四市部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了名市民，扇形统计图中，C组对应的扇形圆心角是°；（2）请补全条形统计图；（3）若甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种，则甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率是多少？请用画树状图或列表法求解．【答案】（1）2000，108；（2）作图见解析；（3）．【分析】（1）根据B组的人数以及百分比，即可得到被调查的人数，进而得出C组的人数，再根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°进行计算即可；（2）根据C组的人数，补全条形统计图；（3）根据甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种画树状图或列表，即可运用概率公式得到甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率．【详解】解：（1）被调查的人数为：800÷40%=2000（人），C组的人数为：2000﹣100﹣800﹣200﹣300=600（人），25
∴C组对应的扇形圆心角度数为：×360°=108°，故答案为2000，108；（2）条形统计图如下：（3）画树状图得：∵共有16种等可能的结果，甲、乙两人选择同一种交通工具的有4种情况，∴甲、乙两人选择同一种交通工具上班的概率为：．23．截止2021年3月15号，我国自主研发的新冠疫苗已接种超过6200万剂次，疫苗已经经过三期临床试验，测得成人注射一针疫苗后体内抗体浓度y（miu/ml）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当时，y与x是正比例函数关系；当时，y与x是反比例函数关系）．（1）根据图象求当时，y与x之间的函数关系式；（2）根据图象求当时，y与x之间的函数关系式；（3）体内抗体浓度不低于140miu/ml的持续时间为多少天？【答案】（1）y＝14x；（2）y＝；（3）体内抗体浓度不低于140miu/ml的持续时间为31天．【分析】（1）直接利用正比例函数解析式求法得出答案；25
（2）直接利用反比例函数解析式求法得出答案；（3）结合所求解析式，把y＝140代入求出答案．【详解】解：（1）设当x≤20时，y与x之间的函数关系式是y＝kx，图象过（20，280），则20k＝280，解得：k＝14，y与x之间的函数关系式是：y＝14x，（2）设当x≥20时，y与x之间的函数关系式是y＝，图象过（20，280）,，解得：k＝5600，y与x之间的函数关系式是y＝；（3）当x≤20时，140＝14x，解得：x＝10．当x≥20时，140＝，解得：x＝40，故40﹣10+1＝31（天），答：体内抗体浓度不低于140miu/ml的持续时间为31天．【点睛】此题主要考查了正比例函数和反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．24．如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离为，看台所在斜坡的坡比，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上．（1）求的长．（2）求旗杆的高度．（结果保留根号）25
【答案】（1）DM＝6m；（2）AB＝3+3【分析】（1）根据斜坡CM的坡比i＝1：3，CD为2m，进而可得DM的长；（2）过点C作CE⊥AB于点E，设BM＝x，根据矩形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】解：（1）∵CD＝2，tan∠CMD＝＝，∴＝，∴DM＝6m；（2）过点C作CE⊥AB于点E，设BM＝x，∴BD＝x+6，∵∠AMB＝60°，∴∠BAM＝30°，∴AB＝x，∵四边形CDBE是矩形，∴BE＝CD＝2，CE＝BD＝x+6，∴AE＝AB﹣BE＝x﹣2，在RtACE中，∵tan30°＝，∴＝，解得：x＝3+，∴AB＝x＝（3+3）（m）．25
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义以及矩形的性质，本题属于中等题型．25．某学校初二年级党支部组织“品读经典，锤炼党性”活动，需要购买不同类型的书籍给党员老师阅读．已知购买1本类书和2本类书共需82元；购买2本类书和1本类书共需74元．（1）求，两类书的单价；（2）学校准备购买，两类书共34本，且类书的数量不高于类书的数量．购买书籍的花费不得高于900元，则该学校有哪几种购买方案？【答案】（1）类书的单价为22元，类书的单价为30元（2）学校共有3种购买方案：方案1：购买类书15本，类书19本；方案2：购买类书16本，类书18本；方案3：购买类书17本，类书17本．【分析】(1)设A类书的单价为x元，B类书的单价为y元，根据“购买1本A类书和2本B类书共需82元；购买2本A类书和1本B类书共需74元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出A，B两类书的单价；(2)设购买A类书m本，则购买B类书(34-m)本，根据“购买A类书的数量不高于B类书的数量，购买书籍的花费不得高于900元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案．（1）解：设类书的单价为元，类书的单价为元，依题意得：，解得：．答：类书的单价为22元，类书的单价为30元．（2）解：设购买类书本，则购买类书本，25
依题意得：，解得：．又∵为正整数，∴可以为15，16，17，∴该学校共有3种购买方案，分别如下所示：方案1：购买类书15本，类书19本；方案2：购买类书16本，类书18本；方案3：购买类书17本，类书17本．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．26．如图，已知是圆的直径，是圆的弦，交于，过点作圆的切线交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点．（1）求证：是圆的切线；（2）若，，求线段的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）连接，根据平行线的性质得到，由圆周角定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，求得，根据切线的性质得到，求得，于是得到结论；（2）解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）证明：连接，∵，∴，25
∵是圆的直径，∴，∴，由垂径定理得垂直平分，∴，∴，又∵，∴，即，∵为圆的切线，是半径，∴，∴，即，∵是圆的半径，∴是圆的切线；（2）解：在中，，∴，又，∴是等边三角形，∴，在中，，∴．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．27．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(﹣1，0)，且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．（1）求抛物线的解析式；25
（2）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．【答案】（1）y＝x2﹣3x﹣4；（2）(2，﹣6)，2【分析】（1）先求出点A、C的坐标，则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-4）=a（x2-3x-4），把点B代入即可求解；（2）先求出直线CA的解析式，过点P作y轴的平行线交AC于点H，设点P（x，x2﹣3x﹣4），则点H（x，x﹣4），利用解直角三角形，则PD=HPsin∠PFD=（x-4-x2+3x+4），即可求解．【详解】解：（1）OA＝OC＝4OB＝4，故点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），把（0，﹣4）代入，得﹣4a＝﹣4，解得：a＝1，故抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4；（2）直线CA过点C，设其函数表达式为：y＝kx﹣4，将点A坐标代入上式并解得：k＝1，故直线CA的表达式为：y＝x﹣4，过点P作y轴的平行线交AC于点H，25
∵OA＝OC＝4，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∵PH∥y轴，∴∠PHD＝∠OCA＝45°，设点P（x，x2﹣3x﹣4），则点H（x，x﹣4），PD＝HPsin∠PHD＝（x﹣4﹣x2+3x+4）＝﹣x2+2x，∵＜0，∴PD有最大值，当x＝2时，其最大值为2，此时点P（2，﹣6）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等，其中（2），用函数关系表示PD，是本题解题的关键．28．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与边、分别交于点、，连结、．（1）试判断四边形的形状，并说明理由；（2）若，，求的长；（3）连结，若，求的值．【答案】（1）四边形是菱形．理由见解析25
（2）（3）【分析】（1）由矩形的性质及线段垂直平分线的性质，可证得，从而得AE=CF，即可证得四边形AFCE是平行四边形，进而可得四边形AFCE是菱形；（2）设，，由四边形AECF是菱形及勾股定理可求得m，从而可得BC的长，由勾股定理可求得AC的长，从而可得OC的长，再由勾股定理求得OF的长，最后求得EF的长；（3）设，，由矩形的性质及BE⊥CE，易得，由相似三角形的性质可得关于a、b的方程，即可求得的值，从而求得结果．（1）四边形是菱形．理由如下：∵四边形是矩形，∴，，∴，∵是的垂直平分线，∴，，在和中，∴，∴，∴四边形是平行四边形，又∵，∴四边形是菱形；25
（2）∵，∴设，，∵四边形是菱形，∴，EF=2OE=2OF，，AC⊥EF，在中，∵，∴，∴，∴，，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，在Rt△OCF中，由勾股定理得：∴，∴．（3）设，，则，，．∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，25
∴，∴，∴，∴，∴或（舍去），∴．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解方程等知识，熟练运用这些知识是解决问题的关键．根据问题的特点设元是本题的特点．25
