汕尾市2021-2022学年度第一学期全市高中二年级教学质量监测数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．中心在原点的双曲线C的右焦点为，实轴长为2，则双曲线C的方程为（）A．B．C．D．3．圆与圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．相离4．设为等差数列的前n项和，，，则（）A．B．﹣4C．﹣2D．25．下列函数中，以为最小正周期，且在上单调递减的为（）A．B．C．D．6．函数，若实数是函数的零点，且，则（）A．B．C．D．无法确定7．在递增等比数列中，为其前n项和．已知，，且，则数列的公比为（）A．3B．4C．5D．68．已知F是双曲线的左焦点，A为顶点，P是双曲线C上的点，轴，若，则双曲线C的离心率为（）12
A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知直线，则下述正确的是（）A．直线l可能过点（2，1）B．直线l的斜率有可能不存在C．直线l的斜率可以等于0D．若直线l在x轴和y轴截距相等，则10．已知曲线C的方程为（，且，），则下列结论正确的是（）A．当时，曲线C为圆B．若曲线C为椭圆，且焦距为，则C．当或时，曲线C为双曲线D．当曲线C为双曲线时，焦距等于411．已知数列的前n项和为，与是方程的两根，则下列说法正确的是（）A．若是等差数列，则B．若是等比数列，则C．若是递减等差数列，则当取得最大值时，或8D．若是递增等差数列，对恒成立，则12．如图，棱长均为2的平行六面体中，平面ABCD，，E，F分别是线段BD和线段上的动点，且满足，，则（）A．当时，B．当时，直线EF与直线所成角的大小为12
C．当时，若，则D．当时，三棱锥体积的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数（其中i为虚数单位）的共轭复数______．14．在空间直角坐标系中，向量为平面ABC的一个法向量，其中，，则向量的坐标为______．15．瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，，则欧拉线的方程为______．16．已知抛物线的焦点为F，A为抛物线C上一点．以F为圆心，FA为半径的圆交抛物线C的准线于B，D两点，A，F，B三点共线，且，则______．四、解答题：本题共16小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）给出以下三个条件：①；②，，成等比数列；③．请从这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并完成作答．若选择多个条件分别作答，以第一个作答计分．已知公差不为0的等差数列的前n项和为，，______．（1）求数列的通项公式；（2）若，令，求数列的前n项和．18．（12分）某初中学校响应“双减政策”，积极探索减负增质举措，优化作业布置，减少家庭作业时间．现为调查学生的家庭作业时间，随机抽取了100名学生，记录他们每天完成家庭作业的时间（单位：分钟），将其分为，，，，，六组，其频率分布直方图如下图：（1）求a的值，并估计这100名学生完成家庭作业时间的中位数（中位数结果保留一位小数）；（2）现用分层抽样的方法从第三组和第五组中随机抽取6名学生进行“12
双减政策”情况访谈，再从访谈的学生中选取2名学生进行成绩跟踪，求被选作成绩跟踪的2名学生中，第三组和第五组各有1名的概率．19．（12分）已知圆C过两点，，且圆心C在直线上．（1）求圆C的方程；（2）过点作圆C的切线，求切线方程．20．（12分）如图，在棱长为2的正方体中，E为AD中点．（1）求二面角的大小；（2）探究线段上是否存在点F，使得平面？若存在，确定点F的位置；若不存在，说明理由．21．（12分）如图，五边形ABCDE为东京奥运会公路自行车比赛赛道平面设计图，根据比赛需要，在赛道设计时需预留出AC，AD两条服务通道（不考虑宽度），DC，CB，BA，AE，ED为赛道．现已知，，，千米，千米．（1）求服务通道AD的长．（2）在上述条件下，如何设计才能使折线赛道AED（即）的长度最大，并求最大值．12
22．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，的周长为8．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，，是椭圆C的短轴端点，P是椭圆C上异于点，的动点，点Q满足，，求证与的面积之比为定值．汕尾市2021—2022学年度第一学期全市高中二年级教学质量监测参考答案及评分标准数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。12345678CDBABABC二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9101112BDACBCABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．14．15．16．215题，直线方程形式要求为一般式或斜截式四、解答题：本题共6小题，共70分．17．（10分）解：（1）设数列的公差为d12
选择①，由，又，则，所以选择②，由，，成等比数列，得，即，解得，或（舍去）．所以．选择③，由，得，解得，所以．（2）由题意知，∴①②①－②得∴，即18．（12分）解：（1）根据频率分布直方图可得：，解得．设中位数为x，由题意得，解得所以这100名学生完成家庭作业时间的中位数约为31.1分钟．（2）有频率分布直方图知，第三组和第五组的人数之比为2:1所以分层抽样抽出的6人中，第三组和第五组的人数分别为4人和2人第三组的4名学生记为A，B，C，D，第五组的2名学生记为a，b从6名学生中抽取两名的样本空间，共15个样本点．记事件“2名中学生，第三组和第五组个1名”则，共有8个样本点∴这2名学生中，两组各有1名的概率．19．（12分）解：（1）因为圆C过两点，，12
设AB的中点为M，则，因为，所以AB的中垂线方程为，即又因为圆心在直线上，联立解得，圆心，半径故圆的方程为．（或标准形式）（2）当过点P的切线的斜率不存在时，此时直线与圆C相切当过点P的切线斜率k存在时切线方程为即（*）由圆心C到切线的距离，可得将代入（*），得切线方程为综上，所求切线方程为或20．（12分）解：如图，以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，．（1），设平面的法向量12
∴，即令，则，∴连接AC，∵，，∴平面∴为平面的一个法向量．∴∵二面角为锐二面角∴二面角的大小为．（2）假设在线段上存在点F，使得平面．设，∵平面∴，即∴，即解得∴在线段上存在点F，使得平面，此时点F为线段上靠近点C的三等分点．（备注：学生用其他方法建立空间直角坐标系解题，参照评分标准酌情给分）第一问解法二取中点G，连接EG，易知，，∴过E作，垂足为O，连接OG，又∵，12
∴平面∴又∵∴平面EOG∴∴为二面角的平面角在等腰直角中，在中，在中，又∵为锐角，∴所以二面角的大小为．21．（12分）解：（1）在中，由正弦定理得：在中，由余弦定理得即解得（负值舍去）所以服务通道AD的长为8千米．（2）方法一：在中，由余弦定理得：，即∴∵∴∴∴（当且仅当时取等号）12
∴时，折线赛道的长度最大，最大值为千米．方法二：在中，设，，∴，∴，∴∵∴∴当，即时，取得最大值1，此时∴时，折线赛道的长度最大，最大值为千米．22．（12分）解：（1）∵的周长为8∴，即∵离心率∴，，∴椭圆C的标准方程为．（2）方法一：设，则直线斜率∵12
∴直线斜率，∴直线的方程为：同理直线的方程为：联立上面两直线方程，消去y，得∵在椭圆上，∴，即∴∴所以与的面积之比为定值4．方法二：设直线，的斜率分别为k，，点，，则直线的方程为∵，∴直线的方程为将代入，得∵P是椭圆上异于点，的点∴，又∵，即∴，即由，得直线的方程为联立得，∴所以与的面积之比为定值4．高二19题（1）另解1：设圆的方程为，圆心坐标为12
∵该圆圆心在直线上∴①又∵，在圆上∴②③联立①②③可得，，，∴圆的方程为另解2：设圆的方程为，圆心坐标为∵该圆圆心在直线上∴①又∵，在圆上∴②③联立①②③可得，，，∴圆的方程为12
