汕尾市2021—2022学年度第二学期全市高中二年级教学质量监测数学本试题共5页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，复数满足，则（）A.3B.C.5D.【答案】D2.记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（）A.1B.2C.4D.8【答案】C3.为庆祝中国共青团成立100周年，某校计划举行庆祝活动，共有4个节目，要求A节目不排在第一个，则节目安排的方法数为（）A.9B.18C.24D.27【答案】B4.如图，平行六面体中，为的中点.若，则（）\nA.B.C.D.【答案】A5.函数（且）的图象可以是（）A.B.C.D.【答案】C6.有甲、乙、丙三个工厂生产同一型号的产品，甲厂生产的次品率为，乙厂生产的次品率为，丙厂生产的次品率为，生产出来的产品混放在一起．已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品数分别占总数的、、，任取一件产品，则取得产品为次品的概率是（）A.B.C.D.【答案】D7.点为轴上的点，，，以，，为顶点的三角形的面积为8，则点\n的坐标为（）A.或B.或C.或D.或【答案】A8.已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（）A.6B.7C.8D.9【答案】D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法中，正确的命题是（）A.对于任意两个事件与，如果，则事件与独立B.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则C.，D.随机变量服从正态分布，若，则【答案】AB10.直线：与圆：相交于，两点，则（）A.直线过定点B.时，直线平分圆C.时，为等腰直角三角形D.时，弦最短【答案】AD11.如图所示，棱长为2的正方体中，为的中点，则下列结论正确的有（）\nA.与所成角的余弦值为B.与面的交点是的重心C.三棱锥的外接球的体积为D.与面所成角的正弦值为【答案】BCD12.已知抛物线：，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为，，下列说法正确的是（）A.B.当时，C.当时，直线的斜率为2D.面积的最小值为4【答案】ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中的系数为_________.【答案】6014.已知单位向量，的夹角为，则_________.【答案】115.设，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，，\n，则椭圆的离心率_________.【答案】或16.函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是_________.【答案】四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.中，角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角；（2）若的面积为，，求的周长.【答案】（1）（2）18.记为等比数列的前项和.已知，.（1）求的通项公式；（2）求，判断，，是否成等差数列并说明理由.【答案】（1）（2），成等差数列，理由见解析；【小问1详解】解：（1）设数列的首项为，公比为，因为，，所以，解得，所以．【小问2详解】\n解：因为，所以，所以，，成等差数列，理由如下：因为，，所以，即，所以，，成等差数列；19.北京时间2022年4月16日09时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功，全体中华儿女深感无比荣光.半年“出差”，神舟十三号航天员顺利完成全部既定任务，创造了实施径向交会对接、实施快速返回流程、利用空间站机械臂操作大型在轨飞行器进行转位试验等多项“首次”.为了回顾“感觉良好”三人组太空“出差亮点”，进一步宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动.活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答.假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成.（1）求小明至少正确完成其中3道题的概率；（2）设随机变量表示小宇正确完成题目的个数，求的分布列及数学期望；（3）现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛（活动规则不变）会更好，并说明理由.【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为3；（3）小宇；理由见解析.【解析】【分析】(1)求出小明完成3道题和4道题的概率之和；(2)列出分布列，根据分布列计算概率；(3)比较小明和小宇分别至少完成3道题的概率，根据概率大小决定谁去参加比赛.\n【小问1详解】记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A，则.【小问2详解】的可能取值为2，3，4.，，，的分布列为：234数学期望【小问3详解】由（1）知，小明进入决赛的概率为；记“小宇至少正确完成其中3道题”为事件B，则；因为，故小宇进决赛的可能性更大，所以应选择小宇去参加比赛.20.如图（1）所示的四边形中，，，，，沿将进行翻折，使得，得到如图（2）所示的四棱锥.四棱锥的体积为，点为线段上的动点（与端点，不重合）.\n（1）求证：平面；（2）探求是否存在大小为的二面角.如果存在，求出此时线段的长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【解析】【分析】（1）通过和即可证明；（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量关系即可求出.【小问1详解】在图（1）中，，所以，即，则在图（2）中，因为，即，因为，所以平面；【小问2详解】因为平面，所以是四棱锥的高，所以，则，因为，则可以为原点建立如图空间直角坐标系，假设存在大小为的二面角，设，又，所以，\n则，设平面的法向量为，平面的法向量为，则，即，令，则，则，又，即，令，则，则，则，解得或（舍去），因此存在大小为的二面角，此时线段的长度.21.已知点，分别为双曲线C：的左、右焦点，点A为双曲线C的右顶点，已知，且点到一条渐近线的距离为2.（1）求双曲线C的方程；（2）若直线：与双曲线C交于两点，，直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标.\n【答案】（1）（2）或22.设函数.（1）判断的单调性；（2）若方程有两个相异实根，，求实数的取值范围，并证明：.【答案】（1）在上单调递增；在上单调递减（2）实数的取值范围是；证明见解析【解析】【小问1详解】，令有，故在上单调递增；令有，故在上单调递减【小问2详解】由得，令，则，设，则，因为，所以恒成立，函数在单调递减，而，故在上，，单调递增，在上，，单调递减，所以.且当趋近于0与正无穷大时，趋近于负无穷，故方程恰有两个相异的实根只需：，所以实数的取值范围是；\n下证：，不妨设，则，，所以，因为，所以，令，则，所以在上单调递增，所以当时，，即，所以，所以.
