哈尔滨市第一中学校2021-2022学年度上学期期末考试高三数学试卷（文科）出题人：高三数学备课组审题人：王永文、高颖考试时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷选择题（60分）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合，则（）A．B．C．D．2．设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若，则（）A．B．C．D．4．我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题；“开仓受纳，有甲户米一千五百三十四石到廊．验得米内夹谷，乃于样内取米一捻，数计二百五十四粒内有谷二十八颗，凡粒米率每勺三百，今欲知米内杂谷多少”，其大意是，粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．153石B．154石C．169石D．170石5．已知向量．若与垂直，则实数（）A．B．C．1D．36.已知数列的前项积为，且，则（）A．-1B．1C．2D．-27．函数的部分图象大致为（）18
A．B．C．D．8．设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为（）A．12B．10C．8D．69．圆关于直线对称，则的最小值是（）A．B．C．D．10．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=60°且SA=AB=BC=2，E为SA的中点，则异面直线SC与DE所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．11．某几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为），则该几何体的体积为（）18
A．B．C．D．12．已知双曲线（，）的离心率为2，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点，，点P为线段MN上的动点，当取得最小值和最大值时，△PF1F2的面积分别为S1，S2，则（）A．B．4C．D．8第Ⅱ卷非选择题（90分）二、填空题（本题共4小题，每题5分，满分20分）13．曲线在处的切线的倾斜角为，则________．14．已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，并与抛物线交于，两点，且，则的值为________．15．已知两条不同的直线，，两个不重合的平面，，给出下面五个命题：①，；②，，；③，；④，；⑤，，．其中正确命题的序号是_________．（将所有正确命题的序号都填在横线上）16．函数的图像是由函数()的图像向左平移个单位所得，若函数在为单调函数，则的范围是___________.三、综合题（本题共6小题，17-21题每题12分，22题10分，满分70分）17．在锐角中，角的对边分别为a，b，c，.18
（1）求；（2）若，求的取值范围.18．已知公差不为零的等差数列{an}满足a1＝3，且a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若Sn表示数列{an}的前n项和，求数列的前n项和Tn．19．在四棱锥中，平面平面，，，，.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.20．已知椭圆的离心率，左右焦点分别为，点在椭圆S上，过的直线l交椭圆S于A，B两点.（1）求椭圆S标准方程；（2）求的面积的最大值.21．已知函数（其中，）．（1）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；（2）若，且关于的方程(为的导函数)在区间上恰有两个不等的实根，求实数的取值范围．18
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线经过点，且与极轴所成的角为.（1）求曲线的普通方程及直线的参数方程；（2）设直线与曲线交于两点，若，求直线的普通方程.高三文科数学期末考试解析一、单选题1．已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】C【详解】由已知，所以．故选：C．2．设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】求解二次不等式可得：，∵由可推出，由不能推出，∴是的必要不充分条件.故选：B.3．若，则（）A．B．C．D．【答案】B【详解】18
解：∵，所以，∴，故选：B．4．我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题；“开仓受纳，有甲户米一千五百三十四石到廊．验得米内夹谷，乃于样内取米一捻，数计二百五十四粒内有谷二十八颗，凡粒米率每勺三百，今欲知米内杂谷多少”，其大意是，粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．153石B．154石C．169石D．170石【答案】C【详解】这批米内夹谷约为石,根据题意可得解得故选：C5．已知向量．若与垂直，则实数（）A．B．C．1D．3【答案】B【详解】因为，所以，因为与垂直，所以，解得.故选：B.6.已知数列的前项积为，且，则（）A．-1B．1C．2D．-2【答案】A【详解】由题设，，，…，18
∴是周期为3的数列，又，且，∴.故选：A.7．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：根据题意，对于函数，有函数，即函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除A､B；当时，，则恒有，排除D；故选：C.8．设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为（）A．12B．10C．8D．6【答案】D18
【详解】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，在直线中，表示直线的纵截距，因此直线向下平移时，增大，由得，即．平行直线，当它过点时，取得最大值6．故选：D．9．圆关于直线对称，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】由圆可得标准方程为，因为圆关于直线对称，该直线经过圆心，即，，，当且仅当，即时取等号，18
故选：C.10．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=60°且SA=AB=BC=2，E为SA的中点，则异面直线SC与DE所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】D【详解】如图所示：分别为的中点，连接各线段.则，，故，得到平行四边形，故，，故异面直线SC与DE所成的角，SA⊥平面ABCD，故和均为直角三角形，，，，根据余弦定理：.故选：D.18
11．某几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为），则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】由三视图知，原几何体是棱长为的正方体中的三棱锥，且，由正方体的性质可知：，三棱锥的底面上的高为，该几何体的体积为.故选：C.12．已知双曲线（，）的离心率为2，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点，，点P为线段MN上的动点，当取得最小值和最大值时，△PF1F2的面积分别为S1，S2，则（）A．B．4C．D．8【答案】B【详解】由于双曲线的离心率为，故.18
所以直线的方程为，设，，焦点坐标为，则，则，由于，故当时取得最小值，此时；当时取得最大值，此时.则.故选：B.二、填空题13．曲线在处的切线的倾斜角为，则________．【答案】【详解】，当时，，即切线斜率为3，则，则，所以.故答案为：.14．已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，并与抛物线交于，两点，且，则的值为________．【答案】3【详解】抛物线的焦点，根据题意，直线的方程为，与抛物线方程联立得，整理得，18
所以，所以，所以，15．已知两条不同的直线，，两个不重合的平面，，给出下面五个命题：①，；②，，；③，；④，；⑤，，．其中正确命题的序号是_________．（将所有正确命题的序号都填在横线上）【答案】①④⑤【详解】，，①正确；，，或异面，②错误；，或，③错误；，，④正确；，，，⑤正确.故答案为：①④⑤.16．函数的图像是由函数()的图像向左平移个单位所得，若函数在为单调函数，则的范围是___________.【答案】【详解】是由（大于零）向左平移个单位所得，故，又在即上单调，∴，,，18
由或，或，综上，的范围为.故答案为：.三、解答题17．在锐角中，角的对边分别为a，b，c，.（1）求；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）（1）解：因为，所以，即，因为为锐角，所以，所以，又，所以；（2）解：在锐角中，，所以，所以，所以，因为，，所以所以，所以，又，所以，可得，所以，即的取值范围是．18
18．已知公差不为零的等差数列{an}满足a1＝3，且a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若Sn表示数列{an}的前n项和，求数列的前n项和Tn．【答案】（1）an＝2n+1（2）Tn＝（1）由题意得：，设公差为，所以（3+3d）2＝3（3+12d），解得d＝0（舍）或2，所以an＝3+2（n﹣1）＝2n+1．（2）由于（1）得an＝2n+1，则＝n2+2n，所以．所以Tn＝=＝．19．在四棱锥中，平面平面，，，，.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.（1）面面，面面，且，面，18
面，而面，.取的中点，连接，，.且，，∴四边形为矩形，则，又，，又，面，，面，面，.、面，，面.（2）设点到平面的距离为，，即，又，，在中，，，，，则，，综上，可得，即点到平面的距离为.20．已知椭圆的离心率，左右焦点分别为，点在椭圆S上，过的直线l交椭圆S于A，B两点.（1）求椭圆S标准方程；（2）求的面积的最大值.【答案】（1）（2）18
（1）解：设椭圆S的半焦距为，由题意解得∴椭圆S的标准方程为；（2）解：由（1）得，设，代入，得，设，则，∴，∴，当且仅当即时，等号成立，故的面积的最大值为.21．已知函数（其中，）．（1）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；（2）若，且关于的方程(为的导函数)在区间上恰有两个不等的实根，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）（1）函数的定义域是，，（）． 依题意在时恒成立，则在时恒成立，即（），当时，取最小值，所以的取值范围是.18
（2），由得，在上有两个不同的实根，设，，，时，，时，，，，，，得，则．22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线经过点，且与极轴所成的角为.（1）求曲线的普通方程及直线的参数方程；（2）设直线与曲线交于两点，若，求直线的普通方程.【答案】（1）.（为参数）.（2）或.【详解】（1）由参数方程得，所以曲线的普通方程为.设点的直角坐标为.则，.即，故直线的参数方程为（为参数）.（2）将代入，得..设是方程的两个根，则，.所以.18
所以整理得或，所以直线的方程为或.18
