专题2平面向量基本定理及平面向量的应用【知识网格】【知识讲练】知识点一平面向量基本定理定理条件e1，e2是同一平面内的两个__不共线__向量结论对于这一平面内的__任意__向量a，__有且只有__一对实数λ1，λ2，使a＝__λ1e1＋λ2e2__基底把__不共线__的向量e1，e2叫做表这一平面内所有向量的一组__基底__【规律方法】(1)由平面向量基本定理可知，在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝λ1e1＋λ2e2，且λ1＝λ2＝0．(2)对于固定的e1，e2(向量e1与e2不共线)而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．(3)这个定理可推广为：平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一．知识点二平面向量的坐标运算设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的__和__a＋b＝__(x1＋x2，y1＋y2)__减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的__差__a－b＝__(x1－x2，y1－y2)__数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的__相应坐标__λa＝__(λx1，λy1)__向量坐标公式一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝__(x2－x1，y2－y1)__设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当__x1y2＝x2y1__时，a∥b．
平面向量共线的坐标表示数量积两个向量的数量积等于__它们对应坐标的乘积的和__，即a·b＝__x1x2＋y1y2__两个向量垂直a⊥b⇔__x1x2＋y1y2＝0__模|a|2＝__x＋y__或|a|＝ 模设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝ 夹角cosθ＝＝ (a，b为非零向量)【方法技巧】1.向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，要注意三角形法则及平行四边形法则的应用．2.若是给出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．3.两个向量共线条件的三种表示方法已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)当b≠0时，a＝λb．这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．(2)x1y2－x2y1＝0．这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点和，程序化的特征．(3)当x2y2≠0时，＝．即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．4.用坐标求两个向量夹角的四个步骤：(1)求a·b的值；(2)求|a||b|的值；(3)根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦；(4)由向量夹角的范围及两向量夹角的余弦值求出夹角．知识点三平面向量的应用----平面几何、物理1．向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要有以下方面：(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义．(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件： a∥b⇔a＝λb(或x1y2－x2y1＝0) ．(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件： a⊥b⇔a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0) ．(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式 cosθ＝ ．
(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．2．向量在物理中的应用数学中对物理背景问题主要研究下面两类：(1)力向量力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，__可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力__．(2)速度向量速度向量是具有大小和方向的向量，因而__可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度__．【方法技巧】1.借助平面直角坐标系将平面几何问题转化为向量问题解决，是解决平面几何问题的一种重要方法．2.建立平面直角坐标系的原则，应尽量多的使图形顶点及边落在原点或坐标轴上．知识点四平面向量的应用----正弦定理1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即__＝＝__．2．由正弦定理导出的结论(1)a∶b∶c＝__sinA∶sinB∶sinC__．(2)由等比性质和圆的性质可知，＝＝＝____＝2R.其中，R为△ABC外接圆的半径．(3)A<B⇔a<b⇔sinA<sinB．【总结提升】1.用正弦定理可以解决怎样的解三角形问题？①__已知任意两角与一边，求其他两边和一角__．②__已知任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角__(从而进一步求出其他的边和角)．(3)两角和一边分别对应相等的两个三角形全等吗？两边和其中一边的对角分别对应相等的两个三角形全等吗？下图中，AC＝AD；△ABC与△ABD的边角有何关系？你发现了什么？(4)已知两边及其中一边对角，怎样判断三角形解的个数？①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数．②在△ABC中，已知a、b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB
的公共点的个数即为三角形的个数，解的个数见下表：A为钝角A为直角A为锐角a>b__一解____一解____一解__a＝b__无解____无解____一解__a<b__无解____无解__a>bsinA__两解__a＝bsinA__一解__a<bsinA__无解__2.已知a、b、A，△ABC解的情况如下图示．(ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下：(ⅱ)A为锐角时，解的情况如下：知识点五平面向量的应用----余弦定理余弦定理文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和__减去__这两边与它们的夹角的余弦的积的__两__倍符号语言在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝__a2＋b2－2abcosC__推论在△ABC中，cosA＝，cosB＝cosC＝____【总结提升】利用余弦定理及其推论解三角形的类型(1)已知三角形的__三条边__求三个角；(2)已知三角形的__两边及其夹角__求第三边及两角．3．余弦定理和勾股定理的关系
在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，则cosC＝0，于是c2＝a2＋b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．设c是△ABC中最大的边(或C是△ABC中最大的角)，则a2＋b2<c2⇔△ABC是__钝角__三角形，且角C为__钝角__；a2＋b2＝c2⇔△ABC是__直角__三角形，且角C为__直角__；a2＋b2>c2⇔△ABC是__锐角__三角形，且角C为__锐角__.
