2021年黑龙江省普通高中学业水平考试数学试题一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.与直线垂直的直线的倾斜角为A．B．C．D．2.抛物线的焦点坐标为A．B．C．D．3.若椭圆的离心率为，短轴长为，则椭圆的焦距为A．B．C．D．4.已知双曲线的一个焦点为，则其渐近线方程为A．B．C．D．5.已知数列的通项公式为，则的值是A．B．C．D．6.已知分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，且，则A．B．C．D．与的取值有关7.双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，如图②，其方程为，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，，则该双曲线的离心
率为A．B．C．D．1.已知椭圆的焦距为，左焦点为，右顶点为，若抛物线与椭圆交于，两点，且四边形是菱形，则椭圆的离心率是A．B．C．D．2.已知圆的方程为，若动抛物线过点，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程为A．B．C．D．3.在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为A．B．C．D．4.已知平面内两点到直线的距离分别是，则满足条件的直线的条数为A．B．C．D．5.已知点分别为抛物线的顶点和焦点，直线与抛物线交于两点，连接并延长，分别交抛物线的准线于点，则A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1.已知数列中，为前项和，且，，则.2.著名的天文学家、数学家开普勒发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳中心处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆，在地球绕太阳运动的过程中，若地球轨道与太阳中心的最远距离与最近距离之比为，则的离心率为.3.设集合，，记，则点集所表示的轨迹长度为.4.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为.三．解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.5.（本小题满分10分）已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）求的最小值．6.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．（1）在中，求边上的高线所在的直线方程；（2）求的面积．
1.（本小题满分12分）已知圆的圆心在直线，且过圆上一点的切线方程为．（1）求圆的标准方程；（2）设过点的直线与圆交于另一点，求的最大值及此时的直线的方程．2.（本小题满分12分）设椭圆的焦距为，原点到经过两点的直线的距离为.（1）求椭圆的离心率；（2）如图所示，是圆的一条直径，若椭圆经过两点，求椭圆的标准方程．3.（本小题满分12分）已知抛物线上一点到其焦点的距离为．（1）求抛物线的标准方程；（2）过点作圆的两条切线，，分别交抛物线于，两点，求证：直线与圆相切．
1.（本小题满分12分）已知椭圆，离心率，焦点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆相切于点，过点作关于原点的对称点，过点作，垂足为，求面积的最大值．期中考试高二数学试题参考答案123456789101112解（1）当时，；
当时，．经检验，时，，也适合上式．．（2）由，且.当或8时，取得最小值．解（1）∵，，所以直线的斜率，∴边上的高线的斜率为，∵边上的高线过点，∴边上的高线所在的直线方程为即.（2）∵，，所以，直线的方程为：即，点到直线：距离，∴的面积为.解（1）由题意，过点的直径所在直线方程为，即．联立，解得，∴圆心坐标为，半径，∴圆的方程为；
（2），要使最大，则点满足所在直线与所在直线垂直，此时的最大值为；∵，∴所在直线方程为，即，联立，得或，即的坐标为或，当时，的方程为，即；当时，的方程为，即．综上所述，所在直线方程为或．解（Ⅰ）过点的直线方程为，∴原点到直线的距离，由，得，解得离心率.（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为.依题意，圆心是线段的中点，且.易知，不与轴垂直，设其直线方程为，联立，得.设，则，.由，得，解得.从而.
于是.由，得，解得.故椭圆的方程为.21、解（1）抛物线的标准方程为．（2）设直线的方程为，，联立消去，整理得，则，即，所以，则，即设方程为，同理可得，∵，均与圆相切，∴到直线的距离，∴，分别为此方程的两根，则，则∴直线的方程为
∴到直线距离为∴直线与圆相切．22、解（1）∵离心率，焦点.-∴，∴∴椭圆C的方程（2）设，，过O作ON垂直直线L，由对称性可知显然直线的斜率存在且不为0设直线，联立，由得，得，则联立直线方程∴∴∴∴面积的最大值为1，当且仅当时成立.
