大庆实验中学实验一部2020级高（二）上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．数列的一个通项公式为A．B．C．D．2．等差数列的前项和，已知，，则的值是A．B．C．D．3．已知数列的通项公式为，按项的变化趋势，该数列是A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．常数列4．已知数列满足，且，那么A．B．C．D．5．如图给出的是一道典型的数学无字证明问题：各矩形块中填写的数字构成一个无穷数列，所有数字之和等于1.按照图示规律，有同学提出了以下结论，其中正确的是A．由大到小的第八个矩形块中应填写的数字为B．前七个矩形块中所填写的数字之和等于C．矩形块中所填数字构成的是以1为首项，为公比的等比数列D．按照这个规律继续下去，第n-1个矩形块中所填数字是6．“”是“直线与圆相切”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．设等差数列，的前n项和分别是，，若，则
A．B．C．D．8．早在古希腊时期，亚历山大的科学家赫伦就发现:光从一点直接传播到另一点选择最短路径，即这两点间的线段.若光从一点不是直接传播到另一点，而是经由一面镜子(即便镜面是曲面)反射到另一点，仍然选择最短路径.已知曲线，且将假设为能起完全反射作用的曲面镜，若光从点射出，经由上一点反射到点，则A．B．C．D．9．数列中前项和满足，若是递增数列，则的取值范围为（）A．B．C．D．10．设椭圆（）的左焦点为F，O为坐标原点．过点F且斜率为的直线与C的一个交点为Q（点Q在x轴上方），且，则C的离心率为A．B．C．D．11．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是对软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为，若序列的所有项都是1，且，.记数列的前项和、前项积分别为，，若，则的最小值为A．2B．3C．4D．512．已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于，两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．4与16的等比中项是________.14．动直线，恒过的定点是________.15．已知是双曲线的左焦点，圆与双曲线在第一象限的交点，若的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是___________.16．已知数列的前项和为，且满足，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为____________.三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(本小题满分10分)已知是等差数列，，.（1）求的通项公式；（2）设的前项和，求的值.18．(本小题满分12分)已知数列的前n项和，．（1）求数列的通项公式；（2）设，，求数列的前项和．19．(本小题满分12分)若分别是椭圆的左、右焦点，是该椭圆上的一个动点，且
．（1）求椭圆的方程．（2）是否存在过定点的直线与椭圆交于不同的两点，使（其中为坐标原点）？若存在，求出直线的斜率；若不存在，说明理由．20．(本小题满分12分)已知抛物线（）的焦点为，且为圆的圆心.过点的直线交抛物线与圆分别为，，，（从上到下）.（1）求抛物线方程并证明是定值；（2）若，的面积比是，求直线的方程.21．(本小题满分12分)在如图三角形数阵中第行有个数，表示第行第个数，例如，表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以为公比的等比数列(其中).已知.
（1）求及；（2）记，求.22．(本小题满分12分)已知圆：，，为圆上的动点，若线段的垂直平分线交于点.（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知为上一点，过作斜率互为相反数且不为0的两条直线，分别交曲线于，，求的取值范围.大庆实验中学2021-2022学年度上学期期末考试高二数学试题参考答案123456789101112ACBDBABBBDCC±817、解：（1）设等差数列的公差为，则，解得，，数列的通项为；
（2）数列的前项和，由，化简得，即，.18、解：（1）当时,由得；当时,由得是首项为3,公比为3的等比数列，当,满足此式所以，.（2）由（1）可知,，19、解：（1）依题意，得椭圆的方程为．（2）存在．理由如下：显然当直线的斜率不存在，即时，不满足条件．故由题意可设的方程为．由是直线与椭圆的两个不同的交点，设，由消去y，并整理，得，则，解得，由根与系数的关系得，，即
存在斜率的直线与椭圆交于不同的两点，使．20、解：（1）圆的圆心为，半径为.所以故，所以抛物线方程为.设直线的方程为，，，，∴，，∴为定值.（2）（），由（1）知，可求得，，故，，，由图可知，故，所以的方程为即.21、解：（1）由已知得，，，，，即，又，，，；（2）由（1）得，当时，，又，，满足，，
，两式相减得，.22、解：（1）由题知，故.即即在以为焦点且长轴为4的椭圆上，则动点的轨迹的方程为：；（2），故，即.设：，联立（*），，∴，，又则：即，若，则过，不符合题意故，∴
，故
