2021—2022学年第一学期期中考试学校班级姓名学号装订线九年级数学试题一、选择题（每题3分，共18分）1.下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．2.在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线解析式为（ ）第3题图A．B．C．D．3.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A1B1C，连接AA1，若∠AA1B1＝15°，则∠B的度数是（）A．75°B．60°C．50°D．45°4.若△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2﹣9x+20=0的根，则△ABC的周长是（）A．9B．10C．9或10D．7或105.若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（）A．B．C．D．6.二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝2，下列结论：第6题图(1)4a+b＝0；(2)4a+c＞2b；(3)5a+3c＞0；(4)方程a(x﹣1)2+b(x﹣1)+c＝0的两根是．其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（每题3分，共18分）7.点（4，-1）关于原点对称的点的坐标是 ．8.已知m是方程的一个根，则代数式2m2-4m+2020的值为．9.若点A（﹣2，）、B（1，）和C（4，）是二次函数y＝x2﹣4x﹣3图象上的三点，则，，的大小关系为.第10题图第11题图第12题图10.如图，教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是______m．11.如图，在中，，，把绕点顺时针旋转得到，若点恰好落在边上处，则______°．12.如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．当α为度时，△AOD是等腰三角形？三、（每题6分，共30分）13.解方程（1）（x﹣5）2＝2x﹣10第13(2)题图（2）如图，P是正方形ABCD内一点，△ABP绕着点B旋转后能到达△CBE的位置．若BP=3cm，求线段PE的长．14.已知关于x的一元二次方程（m为常数）（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若满足，求实数k的值．九年级数学期中试题第15页（共16页）九年级数学期中试题第16页（共16页）
15.如图，已知在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝90°，将△ABC绕点B顺时针旋转150°，得到△DBE．请仅用无刻度的直尺，按要求画图（保留画图痕迹，在图中标出字母，并在图下方表示出所画图形）．（1）在图①中，画一个等边三角形；（2）在图②中，画一个等腰直角三角形．第15题图①第15题图①第15题图②16.某生产厂生产口罩1月份平均日产量为30000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到36300个.（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？第17题图17.如图，已知一次函数y1＝﹣x+m与二次函数y2＝ax2+bx﹣3的图象交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点．（1）求二次函数的表达式．（2）当y1＞y2时，直接写出自变量x的取值范围．四、（每题8分，共24分）第18题图18.如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE．（1）求证：△BDE≌△BCE；（2）试说明四边形ABED为菱形．19.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长。（1）如果x=-1是方程的解，试判断△ABC的形状，并说明理由（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根20.在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A（2，-4），B（4，-2）.C是第四象限内的一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形．（1）填空：C点的坐标是 ，△ABC的面积是 （2）将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C1，连接AB1、BA1，则四边形AB1A1B的形状是何特殊四边形？___________________．（3）请探究：在坐标轴上是否存在这样的点P，使四边形ABOP的面积等于△ABC面积的2倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第20题图九年级数学期中试题第15页（共16页）九年级数学期中试题第16页（共16页）
五、（每题9分，共18分）第21题图21.某矩形工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．（1）若丝绸花边的面积为768cm2，求丝绸花边的宽度．（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，根据销售经验，销售单价每降低2元，每天可多售出40件，设销售单价降低元/件（为偶数），每天的销售量为件.①直接写出与的函数关系式.②设每天的销售利润为W元，为了让利于顾客，请问应该把销售单价定为多少元，能使每天所获利润最大？最大利润是多少元？22.如图1，在RtΔABC中，，，点、分别在边、上，，连结，点、、分别为、、的中点．第22题图（1）观察猜想图1中，线段与的数量关系是_________，位置关系是_________；（2）探究证明:把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连结、、，判断的形状，并说明理由；（3）拓展延伸:把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．六、（共12分）23.如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．（1）求的值；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）将该抛物线在轴上方的部分沿轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象轴下方的部分组成一个““形状的新图象，若直线与该“”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值．第23题图九年级数学期中试题第15页（共16页）九年级数学期中试题第16页（共16页）
章贡区2021—2022学年度第一学期期中考试九年级数学参考答案和评分要求一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）1．B2．A3．B4．A5.D6．C二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.（-4，1）;8．2022；9．>>；10.10；11．10012．110°或125°或140°．（每对一个给1分）三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.（1）（x﹣5）2﹣2（x﹣5）＝0（x﹣5）（x﹣5﹣2）＝0……1分x﹣5＝0或x﹣7＝0……2分∴．……3分（2）解∵△ABP绕着点B旋转后能到达△CBE的位置，∴BP=BE=3cm，∠ABC为旋转角，……1分∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，即旋转的角度是90度；……2分∠PBE=∠ABC=90°，∴PE3cm．……3分14．解（1）证明：△=(m+2)2−4×1⋅m=m2+4，∵无论m为何值时m2≥0，∴m2+4≥4＞0，即△＞0，所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根.……………………2分（2）∵关于x的方程有两个实数根∴=m+2，=m．∴（m+2）2﹣2m=16+m，……………………4分即m2+m﹣12=0，解得：m=﹣4或m=3∴实数m的值为﹣4或3．……………………6分15.解：（1）如图①中，延长EB交AC的延长线于F．△ABF即为所求．………………3分（2）如图②中，连接AD交EB于H，△EDH即为所求．………………3分16.（1）解：设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得30000（1＋x）2＝36300，……………………2分解得答：口罩日产量的月平均增长率为10%……………………4分（2）解：36300（1＋10%）＝39930（个）.答：预计4月份平均日产量为39930个……………………6分17.解（1）将点A（﹣1，0）、B（2，﹣3）代入y2=ax2+bx﹣3，……………………2分∴a=1，b=﹣2，∴y2=x2﹣2x﹣3；……………………4分（2）由图象可得，y1＞y2时，﹣1＜x＜2．……………………6分四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.解：（1）证明：∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，∴DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，九年级数学期中试题第15页（共16页）九年级数学期中试题第16页（共16页）
∵AB⊥EC，∴∠ABC=90°，∴∠DBE=∠CBE=30°，…………2分在△BDE和△BCE中，∵在△BDE和△BCE中，∵，∴△BDE≌△BCE；…………4分（2）由（1）得△BDE≌△BCE，∵△BAD是由△BEC旋转而得，∴△BAD≌△BEC，∴BA=BE，AD=EC=ED，…………6分又∵BE=CE，∴BA=BE=ED=AD∴四边形ABED为菱形．…………8分19.解：(1)把x=-1代入方程得a+c-2b+a-c=0，可得a=b，∴△ABC是等腰三角形.……………………2分(2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=(2b)2-4(a+c)×(a-c)=0，即4b2-4（a2-c2）=0……………………3分可得b2+c2=a2，……………………4分∴△ABC是直角三角形.……………………5分(3)∵△ABC是等边三角形，∴a=b=c.……………………6分∴原方程变为：2ax2+2ax=0.……………………7分∵a≠0，∴x2+x=0.∴x1=0，x2=-1.……………………8分20.解：（1）（1，-1）；4；………………2分（2）矩形，………………3分（3）存在.………………4分由（1）知S△ABC=4，则S四边形ABOP=8．同（1）中的方法得S△ABO=16-4-4-2=6．…………5分当P在x轴负半轴时，S△APO=2，高为4，那么底边长为1，所以P（-1，0）；…………6分当P在y轴负半轴时，S△APO=2，高为2，所以底边长为2，此时P（0，-2）．…………7分而当P在x轴正半轴及y轴正半轴时均不能形成四边形ABOP故点P的坐标为（-1，0），（0，-2）．………………8分五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.解（1）设丝绸花边的宽度为xcm，由题意得：………………………1分即，解得或（舍去），………………………2分答：丝绸花边的宽度为6cm；………………………3分（2）解：①y=200+20x；…………4分②依题意得每天的销售利润为W=（200+20x）（100-40-x）=-20（x-25）2+24500……5分故当x=25时，最大销售利润为W=24500，∵为偶数，九年级数学期中试题第15页（共16页）九年级数学期中试题第16页（共16页）
∴当x=24或x=26时，有最大利润……6分为了让利于顾客，∴x=26，符合题意，此时w=24480……7分故销售单价定为100-26=74，……8分答：每件商品的销售单价定为74元时，每天获得的利润最大，最大利润是24480元．……9分22.解：（1），………………2分（2）结论：是等腰直角三角形．………………3分证明：由旋转知，∵，∴∴，∵由三角形中位线的性质可知，，∴∴是等腰三角形………………4分∵同（1）的方法得，、同（1）的方法得，、∴∴………………5分∵∴∴∴是等腰直角三角形；………………6分（3）．………………9分解析：∵由（2）得，是等腰直角三角形，∴最大时，的面积最大∴且在顶点上面时，，连接AM，AN，如图：∵在中，，∴∵在中，，∴∴∴．六、解答题（本大题共12分）23.解：（1）直线，令，则，令，则，故点、的坐标分别为、，………………1分将点、的坐标分别代入抛物线表达式得：，解得：，…2分；………………3分（2）存在………………4分九年级数学期中试题第15页（共16页）九年级数学期中试题第16页（共16页）
由（1）可得抛物线的表达式为：，则点坐标为，顶点的坐标为要使C、P、Q为顶点的三角形为等腰三角形，分三种情况讨论：①当时，点纵坐标为中点的纵坐标相同为，故此时点坐标为；………………5分②当时，∵C，P∴CP=可得：点的坐标为或；………………6分③当时，过CP中点且与垂直的直线方程为：，当时，，即点的坐标为；………………7分故：点的坐标为或或或；………………8分（3）图象翻折后的点对应点的坐标为，………………9分①在如图所示的位置时，直线与该“”形状的图象部分恰好有三个公共点，此时、、三点共线，；………………10分②当直线与翻折后的图象只有一个交点时，此时，直线与该“”形状的图象部分恰好有三个公共点；而向下翻折（在1≤x≤3）的那部分抛物线在翻折后的解析式为：即：，△，解得：．………………11分即：或．………………12分九年级数学期中试题第15页（共16页）九年级数学期中试题第16页（共16页）
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