致远高中2021学年第一学期10月评估高二年级数学学科试卷2021.10（完卷时间：120分钟满分：150分）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.在长方体中，，，，则=2.已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为3.如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的，若，则边的实际长度为4.正方体各面所在的平面将空间分成部分5.若，线段所在直线和平面成30°角，且，则点到平面的距离=6.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一小块，八个顶点共截去八小块，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线与所成角的大小是7.已知空间两点与间的距离为5，集合，则表示的图形的长度为8.是从点引出的三条射线，每两条的夹角均为，则直线与所成角的余弦值为9.如图，已知，，，，，则二面角的大小为10.已知直线.如果直线同时满足条件：①与异面；②与成定角；③与的距离为定值.那么这样的直线有条.11.若两异面直线、所成的角为，过空间内一点
作与直线、所成角均是的直线，则所作直线的条数为_________.12.在矩形中，)，，且.若边上存在两个不同的点，使得则的取值范围是二、选择题（本大题共4题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.设是两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是（）A.若∥，则∥B.若∥，，则;C.若则∥;D.若，∥，则14.的直角边在平面上，顶点在平面外，则直角边、斜边在平面上的射影与直角边组成的图形是()A.线段或锐角三角形;B.线段或直角三角形;C.线段或钝角三角形;D.线段、锐角三角形、直角三角形或钝角三角形15.正方体的八个顶点中，平面经过其中的四个顶点，其余四个顶点到平面的距离都相等，则这样的平面的个数为（）A.6;B.8;C.12D.1616.在正方形中，分别是及的中点，是的中点.现在沿及把这个正方形折成一个空间四边形，使、、三点重合，重合后的点记为，那么，在空间四边形中必有（）A.B.C.D.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应写出必要的步骤．17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在长方体中，，，分别是的中点．（1）求证：共面；（2）求：异面直线与所成角的余弦值．
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）如图，空间四边形中，、分别是、的中点，、分别是、上的点，且.求证：直线与的交点在直线上.（2）如图，∥，点P是平面、外一点，从点引三条不共面的射线，与平面分别相交于点，与平面分别相交于，求证:19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，边长为4的正方形为圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上一点(1)求证:(2)求圆柱的表面积和体积.20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第,3小题满分7分）如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使，为的中点，如图2．（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；（3）若，求点到平面的距离．21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第,3小题满分8分）如图，已知是底面为正方形的长方体，，，点是上的动点(1)试判断不论点在上的任何位置，是否都有垂直于，并证明你的结论(2)当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值;(3)求与所成角的正切值的最大值致远高中2021学年第一学期第一次月考高二数学试卷答案1.2.43.54.275.16.7.8.9.10.无数11.312.13.D14.B15.C16.A17.（1）连结AC，M、N分别为AD、DC中点，MN//AC且AC//A1C1，，MN//A1C1.，M、N、A1、C1共面.
（2）连结A1B，由（1）知或其补角为所求角，A1B=A1C1=，BC1=，由余弦定理得.18.（1）∵，∴，∴四边形为梯形，∴梯形的两腰和相交于一点，设交点为，∵平面，故平面，同理平面，又因为为这两个面的交线，所以，所以三条直线、、交于一点.（2）19.
20.20.20.【详解】（1）证明：取中点，连接，．在中，，分别为，的中点，所以，且．由已知，，所以，且．所以四边形为平行四边形．所以．又因为平面，且平面，所以平面．（2）证明：在正方形中，，又，，平面，∴平面，平面，∴平面平面．（3）由（2）知平面平面，且平面平面，又因为，所以平面，所以平面平面，且平面平面，过点作的垂线交于点，则平面，所以点到平面的距离等于线段的长度，在中，，所以点到平面的距离等于．21.
