2021-2022学年重庆市育才中学高三（上）适应性数学试卷（二）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知集合A＝{1，25，5x}，B＝{1，x2}，若A∪B＝A，则实数x的值为（ ）A．0B．﹣5C．0或﹣5D．0或±52．已知复数z＝，则+|z|在复平面内对应的点在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．函数的零点为x0，则不等式x﹣x0＞2的最小整数解为（ ）A．3B．4C．5D．64．函数f（x）＝x3cos在[﹣2π，2π]上的图象大致为（ ）A．B．C．D．5．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了“星等”这个概念．星等的数值越小，星星就越亮，星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），其中星等为mk的星的亮度为Ek（k＝1，2）．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（ ）倍．（当|x|较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2）A．1.27B．1.26C．1.23D．1.226．已知a，b为正实数，直线y＝x﹣a与曲线y＝ln（x+b）相切，则的最小值是（ ）A．B．C．D．7．已知e是自然对数的底数，关于x的方程e|x﹣2|＝x有两个不同的解x1，x2（x1＜x2），则（ ）A．x1＜1，x2＞3B．x1＞1，x2＜3
C．D．8．已知偶函数f（x），当x≥0时，，若a＝f（﹣log23），b＝f（2log32），，则a，b，c的大小关系为（ ）A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下列命题为真命题的是（ ）A．∀x∈R，不等式B．若x＞0，且x≠1，则lgx+logx10≥2C．命题“若a＞b＞0，且c＜0，则的逆否命题”D．若命题“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题10．已知函数f（x）＝ex+e﹣x+|x|．则下面结论正确的是（ ）A．f（x）是奇函数B．f（x）在[0，+∞）上为增函数C．若x≠0，则D．若f（x﹣1）＜f（﹣1），则0＜x＜211．已知函数，则函数具有下列性质（ ）A．函数f（x）的图象关于点（﹣1，﹣1）对称B．函数f（x）在定义域内是减函数C．函数f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称D．函数f（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）12．若函数f（x）的定义域为R，且存在非零常数T，对任意的x∈R，都有f（x+T）＝f（x）+T，则称f（x）为类周期函数，T为f（x）的类周期．则（ ）A．函数f（x）＝﹣x为类周期函数B．函数f（x）＝2x为类周期函数C．若函数f（x）为类周期函数，则函数F（x）＝f（x）﹣x为周期函数D．若函数f（x）＝sinx+kx为类周期函数，则常数k＝1三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知幂函数f（x）＝（a2﹣3a﹣3）xa在（0，+∞）为增函数，则实数a的值为 ．14．请写出一个同时满足下列三个条件的函数f（x）： ．①f（x）是偶函数；②f（x）在（0，+∞）上单调递减；③f（x）的值域是（0，+∞）．15．已知f（x）＝ln（2﹣x），把f（x）的图象向左平移2个单位，再把图象上每一点的横坐标缩短一半（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，则g（x）＝ ．16．已知函数（a＜0）．若存在x0＞1，使得2f（x0）＜a，则实数a的取值范围是 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1≠0，（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）已知数列{bn}满足：log2bn＝an，求数列{bn}的前n项和．18．在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．已知，b＝3，∠A＝120°．（1）求△ABC的面积；（2）∠A的角平分线交边BC于点D，求AD的长．19．随着城市规模的扩大和人们生活水平的日益提高，某市近年机动车保有量逐年递增．根据机动车管理部门的统计数据，以5年为一个研究周期，得到机动车每5年纯增数据情况为：年度周期1995～20002000～20052005～20102010～20152015～2020时间变量xi12345纯增数量yi（单位：万辆）3691527其中i＝1，2，3，…，时间变量xi对应的机动车纯增数据为yi，且通过数据分析得到时间变量x与对应的机动车纯增数y（单位：万辆）具有线性相关关系．（Ⅰ）求机动车纯增数量y（单位：万辆）关于时间变量x的回归方程，并预测2025～2030年间该市机动车纯增数量的值；
附：回归直线方程＝x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝＝，＝﹣．（Ⅱ）该市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了200名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的2×2列联表：赞同限行不赞同限行合计没有私家车8515100有私家车7525100合计16040200据上面的列联表判断，能否有95%的把握认为“对限行的意见与是否拥有私家车”有关．附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点F在棱CC1上，点E在棱AA1上．（Ⅰ）若A1E＝CF（如图1），求证：B、F、D1、E四点共面；（Ⅱ）若E为AA1的中点，过B、E、F三点的平面记为α，平面α与棱DD1相交于G点（如图2），平面α将正方体分割所成的上下两个部分的体积分别为V1、V2，若＝，求平面α与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．
21．设椭圆（a＞b＞0）上的任意一点动点M，上顶点为A．（1）当上顶点A坐标为（0，1），离心率时，求|MA|的最大值；（2）过点M作圆的两条切线，切点分别为P和Q，直线PQ与x轴和y轴的交点分别为E和F，求△EOF面积的最小值．22．已知．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设a＞0，b＞0，a≠b，求证：．
参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知集合A＝{1，25，5x}，B＝{1，x2}，若A∪B＝A，则实数x的值为（ ）A．0B．﹣5C．0或﹣5D．0或±5解：∵A＝{1，25，5x}，B＝{1，x2}，且A∪B＝A，∴x2＝25或x2＝5x，解得x＝﹣5或5或0，当x＝﹣5时，A＝{1，25，﹣25}，B＝{1，25}，符合题意；当x＝5时，A＝{1，25，25}，违背集合中元素的互异性，舍去；当x＝0时，A＝{1，25，0}，B＝{1，0}，符合题意．故实数x的值为0或﹣5．故选：C．2．已知复数z＝，则+|z|在复平面内对应的点在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵z＝＝，∴，|z|＝1，则，∴+|z|在复平面内对应的点的坐标为（1，1），在第一象限．故选：A．3．函数的零点为x0，则不等式x﹣x0＞2的最小整数解为（ ）A．3B．4C．5D．6解：由＝x+lnx﹣5，可知f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（3）＝ln3﹣2＜0，f（4）＝ln4﹣1＞0，∴零点x0∈（3，4），则满足x＞x0+2的最小整数为6．故选：D．
4．函数f（x）＝x3cos在[﹣2π，2π]上的图象大致为（ ）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝＝＝﹣f（x）所以f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除BD；而，，所以，排除C，故选：A．5．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了“星等”这个概念．星等的数值越小，星星就越亮，星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），其中星等为mk的星的亮度为Ek（k＝1，2）．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（ ）倍．（当|x|较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2）A．1.27B．1.26C．1.23D．1.22解：由题意可得，1﹣1.25＝2.5（lgE2﹣lgE1），，故≈1+2.3×0.1+2.7×0.12＝1.257≈1.26．故选：B．6．已知a，b为正实数，直线y＝x﹣a与曲线y＝ln（x+b）相切，则的最小值是（ ）A．B．C．D．解：由y＝ln（x+b），得y'＝，
由切线的方程y＝x﹣a，得切线的斜率为1，设切点（x0，y0），则＝1，可得x0＝1﹣b，切点为（1﹣b，0），代入y＝x﹣a，得a+b＝1，因为a、b为正实数，所以+＝（+）（a+b）＝1+2++≥3+2＝3+2，当且仅当a＝b时取等号，故+的最小值为3+2．故选：D．7．已知e是自然对数的底数，关于x的方程e|x﹣2|＝x有两个不同的解x1，x2（x1＜x2），则（ ）A．x1＜1，x2＞3B．x1＞1，x2＜3C．D．解：令f（x）＝e|x﹣2|＝，则h（x）＝f（x）﹣x＝，所以关于x的方程e|x﹣2|＝x有两个不同的解，即h（x）＝0有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2），当x≥2时，h（x）＝ex﹣2﹣x，则h'（x）＝ex﹣2﹣1＝0，解得z＝2，当x≥2时，h'（x）≥0，则h（x）单调递增，又h（3）＝e﹣3＜0，，所以3＜x2＜；当x＜2时，h（x）＝e2﹣x﹣x，则h'（x）＝﹣e2﹣x﹣1＜0，所以h（x）在（﹣∞，2）上单调递减，
又h（1）＝e﹣1＞0，h（2）＝﹣1，所以1＜x1＜2，故选项A，B错误；又3＜x1x2＜7＜e2，故选项C错误，又4＜x1+x2＜，故选项D正确．故选：D．8．已知偶函数f（x），当x≥0时，，若a＝f（﹣log23），b＝f（2log32），，则a，b，c的大小关系为（ ）A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a解：当x≥0时，＝单调递减，因为log23﹣log34＝＞，则log23＞log34，又44＞35，所以，故，所以，则，又函数f（x）为偶函数，所以a＝f（﹣log23）＝f（log23），且b＝f（2log32）＝f（log34），故a＞b＞c．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列命题为真命题的是（ ）A．∀x∈R，不等式B．若x＞0，且x≠1，则lgx+logx10≥2C．命题“若a＞b＞0，且c＜0，则的逆否命题”D．若命题“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题解：对A：sinx+cosx＝sin（x+）≤，故A正确；对B：lgx+logx10＝lgx+，令t＝lgx（t∈R），则lgx+logx10＝t+≥2或t+≤﹣2，故B错误；对C：因为a＞b＞0，所以＜，又c＜0，则＞，故原命题为真命题，所以其逆否命题为真命题，故C正确；对D：因为命题“p∨q”为假命题，所以p，q均为假命题，故D正确；故选：ACD．10．已知函数f（x）＝ex+e﹣x+|x|．则下面结论正确的是（ ）A．f（x）是奇函数B．f（x）在[0，+∞）上为增函数C．若x≠0，则D．若f（x﹣1）＜f（﹣1），则0＜x＜2解：已知函数f（x）＝ex+e﹣x+|x|．则f（﹣x）＝e﹣x+ex+|﹣x|＝e﹣x+ex+|x|＝f（x），故函数f（x）为偶函数，故选项A错误；当x＞0时，f（x）＝ex+e﹣x+x．f′（x）＝ex﹣e﹣x+1＞0，所以函数f（x）为增函数，故选项B正确；当x＞0时，由基本不等式得x+≥2，当且仅当x＝1时等号成立，又由f（x）在（0，+∞）上为增函数，所以f（x+）≥f（2）＝e2+e﹣2+2＞e2+2，又由函数y＝x+为奇函数，当x＜0时，﹣x﹣≥2，
f（x+）＝f（﹣x﹣）＞e2+2，综上，当x≠0时，f（x+）＞e2+2，选项C正确；由与函数f（x）为偶函数，由f（x﹣1）＜f（﹣1），得f（|x﹣1|）＜f（|﹣1|），则|x﹣1|＜1，解得0＜x＜2，故选项D正确．故选：BCD．11．已知函数，则函数具有下列性质（ ）A．函数f（x）的图象关于点（﹣1，﹣1）对称B．函数f（x）在定义域内是减函数C．函数f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称D．函数f（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）解：＝﹣1+，故函数f（x）的图像关于点（﹣1，﹣1）对称，故A正确，C错误；函数在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递减，在定义域无单调性，故B错误；x→∞时，f（x）→﹣1，x→﹣1时，f（x）→∞，故函数f（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），故D正确；故选：AD．12．若函数f（x）的定义域为R，且存在非零常数T，对任意的x∈R，都有f（x+T）＝f（x）+T，则称f（x）为类周期函数，T为f（x）的类周期．则（ ）A．函数f（x）＝﹣x为类周期函数B．函数f（x）＝2x为类周期函数C．若函数f（x）为类周期函数，则函数F（x）＝f（x）﹣x为周期函数D．若函数f（x）＝sinx+kx为类周期函数，则常数k＝1解：因为函数f（x）＝﹣x，所以f（x+T）＝﹣x﹣T≠f（x）+T，所以f（x）不是类周期函数，故选项A错误；因为函数f（x）＝2x，所以f（x+T）＝2x+T＝2x•2T＝f（x）•2T≠f（x）+T，故选项B错误；因为F（x+T）＝f（x+T）﹣（x+T），f（x+T）＝f（x）+T，
所以F（x+T）＝f（x+T）﹣（x+T）＝f（x）+T﹣x﹣T＝f（x）﹣x＝F（x），所以函数F（x）＝f（x）﹣x为周期函数，故选项C正确；因为函数f（x）＝sinx+kx为类周期函数，即存在非零常数T，对于任意的x∈R，都有f（x+T）＝f（x）+T，即f（x+T）＝sin（x+T）+k（x+T）＝sinx+kx+T＝f（x）+T，所以sin（x+T）+k（x+T）＝sinx+kx+T，令x＝0，可得sinT+kT＝T①，令x＝π，可得sin（π+T）+k（π+T）＝sinπ+kπ+T，化简可得，﹣sinT+kT＝T②，由①+②可得，2kT＝2T，又T≠0，所以k＝1，故选项D正确．故选：CD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知幂函数f（x）＝（a2﹣3a﹣3）xa在（0，+∞）为增函数，则实数a的值为 4 ．解：因为f（x）＝（a2﹣3a﹣3）xa为幂函数，所以a2﹣3a﹣3＝1，解得a＝﹣1或a＝4，又f（x）在（0，+∞）为增函数，所以a＞0，所以a＝4．故答案为：4．14．请写出一个同时满足下列三个条件的函数f（x）： f（x）＝x﹣2 ．①f（x）是偶函数；②f（x）在（0，+∞）上单调递减；③f（x）的值域是（0，+∞）．解：从具有奇偶性，单调性的角度进行分析，从基本初等函数进行考虑，则时满足三个条件的函数f（x）可以为：f（x）＝x﹣2．故答案为：f（x）＝x﹣2．15．已知f（x）＝ln（2﹣x），把f（x）的图象向左平移2个单位，再把图象上每一点的横坐标缩短一半（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，则g（x）＝ ln（﹣2x） ．解：把f（x）＝ln（2﹣x）的图象向左平移2个单位，可得函数y＝ln[2﹣（x+2）]＝ln（﹣x），
再把图象上每一点的横坐标缩短一半（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，则g（x）＝ln（﹣2x）．故答案为：ln（﹣2x）．16．已知函数（a＜0）．若存在x0＞1，使得2f（x0）＜a，则实数a的取值范围是 ．【解答】解；由题意得f′（x）＝（ax+1）（eax﹣1），令f′（x）＝0，解得，x2＝0．∵存在x0＞1，使得2f（x0）＜a，可得a＞2f（x）min，x∈（1，+∞）．（1）当a≤﹣1，即x1≤1，可以得出当x＞1时，f′（x）≥0，∴f（x）在（1，+∞）单调递增，∴∴，解得ea＜a，∵ea＞0，a≤﹣1∴不等式显然不成立故a≤﹣1，不符合题意．（2）当﹣1＜a＜0时，即x1＞1，可以得出f′（x）在上小于0，在上大于0，故f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴，∴化简得解得，
综上所述a的取值范围为．故答案为：..四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1≠0，（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）已知数列{bn}满足：log2bn＝an，求数列{bn}的前n项和．解：（1）∵数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，则Sn＝，又（n∈N*），∴＝，不恒为0，∴n＝，又a1＝，且a1≠0，∴a1＝1，an＝2n﹣1．（2）由（1）知，数列{bn}是首项为2，公比为4的等比数列，前n项和Tn，所以．18．在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．已知，b＝3，∠A＝120°．（1）求△ABC的面积；（2）∠A的角平分线交边BC于点D，求AD的长．解：（1）因为，b＝3，∠A＝120°，所以由a2＝b2+c2﹣2bccos∠A，可得37＝9+c2+3c，所以c2+3c﹣28＝0，解得c＝4，所以S△ABC＝．（2）法1：由题意可得S△ABC＝S△ADC+S△ADB，所以，所以．法2：由三角形内角平分线定理，，可得，
在三角形ABD中，根据余弦定理，得，所以，解得或（舍去）．19．随着城市规模的扩大和人们生活水平的日益提高，某市近年机动车保有量逐年递增．根据机动车管理部门的统计数据，以5年为一个研究周期，得到机动车每5年纯增数据情况为：年度周期1995～20002000～20052005～20102010～20152015～2020时间变量xi12345纯增数量yi（单位：万辆）3691527其中i＝1，2，3，…，时间变量xi对应的机动车纯增数据为yi，且通过数据分析得到时间变量x与对应的机动车纯增数y（单位：万辆）具有线性相关关系．（Ⅰ）求机动车纯增数量y（单位：万辆）关于时间变量x的回归方程，并预测2025～2030年间该市机动车纯增数量的值；附：回归直线方程＝x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝
＝，＝﹣．（Ⅱ）该市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了200名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的2×2列联表：赞同限行不赞同限行合计没有私家车8515100有私家车7525100合计16040200据上面的列联表判断，能否有95%的把握认为“对限行的意见与是否拥有私家车”有关．附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（Ⅰ）由表中数据，计算＝×（1+2+3+4+5）＝3，＝×（3+6+9+15+27）＝12，xiyi＝1×3+2×6+3×9+4×15+5×27＝237，＝1+4+9+16+25＝55；所以＝＝＝5.7，＝﹣＝12﹣5.7×3＝﹣5.1；所以y关于x的线性回归方程为＝5.7x﹣5.1，
x＝7，可得＝5.7×7﹣5.1＝34.8，所以预测2025～2030年间该市机动车纯增数量的值约为34.8万辆；（Ⅱ）根据2×2列联表，计算可得K2＝＝＝3.125＜3.841，所以没有95%的把握认为“对限行的意见与是否拥有私家车”有关．20．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点F在棱CC1上，点E在棱AA1上．（Ⅰ）若A1E＝CF（如图1），求证：B、F、D1、E四点共面；（Ⅱ）若E为AA1的中点，过B、E、F三点的平面记为α，平面α与棱DD1相交于G点（如图2），平面α将正方体分割所成的上下两个部分的体积分别为V1、V2，若＝，求平面α与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．【解答】如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点F在棱CC1上，点E在棱AA1上．（Ⅰ）证明：在B1B上取点H，使BH＝CF，因为BH∥CF，所以BC＝HF，BC∥HF，因为BC∥A1D1，BC＝A1D1，所以D1F∥A1H，因为BH∥A1E，BH＝A1E，所以BE∥A1H，所以D1F∥BE，所以B、F、D1、E四点共面；（Ⅱ）解：取D1D中点K，连接EK、KC，因为E为AA1的中点，所以ABE﹣DCK为直三棱柱，BCF﹣EKG为斜三棱柱，V2＝VABE﹣DCK+VBCF﹣EKG＝＝2a+2，，因为＝，所以，解得a＝，
建立如图所示的空间直角坐标系，＝（2，0，），＝（0，2，1），设平面α的法向量为＝（x，y，z），，令z＝4，＝（﹣1，﹣2，4），平面ABCD的法向量为＝（0，0，1），所以平面α与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为＝＝．21．设椭圆（a＞b＞0）上的任意一点动点M，上顶点为A．（1）当上顶点A坐标为（0，1），离心率时，求|MA|的最大值；（2）过点M作圆的两条切线，切点分别为P和Q，直线PQ与x轴和y轴的交点分别为E和F，求△EOF面积的最小值．解：（1）因为上顶点A坐标为（0，1），离心率，则，解得，所以椭圆的方程为，设M（x，y），则，
故当时，|MA|的最大值为；（2）设M（x0，y0），P（x1，y1），Q（x2，y），由题意可知PQ斜率存在，且不为0，所以x0y0≠0，则直线MP和MQ的方程分别为，，因为点M在MP和MQ上，所以有，，则P，Q两点的坐标满足方程，所以直线PQ的方程为，可得和，所以，因为，，所以，故，当且仅当时取“＝”，故△EOF面积的最小值为．22．已知．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设a＞0，b＞0，a≠b，求证：．【解答】（1）解：函数的定义域为（0，+∞），因为恒成立，所以函数f（x）在（0，+∞）为减函数，故函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；（2）证明：不妨设a＞b＞0，
先证，只要证，即证，即证，令，x＞1，则需证，由（1）知，在（0，+∞）为减函数，当x＞1时，，又f（1）＝0，所以，即得证；下面再证，即证，令，t＞1，只要证，，令，（t＞1），则恒成立，故g（t）在（1，+∞）为减函数，所以g（t）＜g（1），则，所以成立．综上所述，．
