2021届高中毕业班第二次考试文科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2-1≤0}，B＝{x|0＜x＜2}，则A∩B＝A．(0，1)B．(0，1]C．[-1，1]D．[-1，2)2．的共轭复数为A．B．C．D．3．已知向量，，，则m的值为A．1B．2C．3D．44．某校高三学生小李每天早晨7点下课后，从教室到学校餐厅吃早餐，步行4分钟，统计小李一段时间打饭所需时间Z（单位：分钟），整理得到如图所示的频率分布直方图，吃饭需要15分钟，而后步行4分钟返回教室．已知学校要求学生7:30开始在教室内上自习，则小李上自习不迟到的概率约为A．0.7B．0.5C．0.4D．0.35．在平面四边形ABCD中，CD＝1，AC⊥BD，∠CDB＝φ（φ为锐角），∠ACB＝45°，，则BC＝A．1B．C．D．6．过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，-7)的圆与圆x2+y2＝16的相交弦所在直线的方程为A．x-2y+2＝0B．x-y+2＝0C．x-2y＝0D．x+2y+2＝07．某日化用品厂家研发了一种新的牙膏产品，该产品的成本由生产成本和销售成本组成．每批产品的销售成本y（元）与生产该产品的数量x（千件）满足指数函数模型y＝3.47×10mx，已知每件产品的生产成本为10元，生产12千件该产品时，总成本为123470元．若销售成本增加1倍，则生产该产品的数量增加了（）千件．(lg2≈0.3)A．1.2B．1.1C．0.9D．0.38．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点P在C上且P在准线上的投影为Q，直线QF交C于点D，且|QD|＝2|DF|，则△PFQ的面积为A．4B．C．D．9．已知函数y＝2|cosx|+cos2x在[0，a]上单调递减，则实数a的最大值为
A．B．C．D．π10．已知双曲线的右焦点为F，点M在双曲线右支上，若△MOF为等边三角形（点O为坐标原点），则该双曲线的离心率为A．B．C．D．11．某几何体的三视图如图所示，图中两个M点为直观图中的同一个点M，两个N点也为直观图中的同一个点N，且分别为所在棱的中点，则在此几何体表面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A．B．C．D．12．已知函数f(x)＝|kx-2|-g(x)(k＞0)在(0，+∞)上有3个不同的零点，则k的取值范围是A．(0，4)B．(1，+∞)C．(0，1)∪(1，+∞)D．(0，1)∪(1，4)二、填空题13．已知x，y满足约束条件则z＝5x+2y的最大值为__________．14．高二足球队教练分六个项目对本队全体队员进行了测试，小华同学将自己的成绩与全体队员的平均分绘制成雷达图如图．若从中任选2个项目，则至少有1项小华的成绩高于该队平均分的概率为__________．
15．费马点是指到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120°时，费马点在三角形内，且费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点对三角形三边的张角相等，均为120°．已知△ABC的三个内角均小于120°，P为△ABC的费马点，且PA+PB+PC＝3，则△ABC面积的最大值为__________．16．把圆心角为90°的扇形铁片围成一个侧面积为16πm2的圆锥（接缝处忽略不计），该圆锥竖直倒置后放入一个球，该球恰好与圆锥的侧面上边缘相切，则球心到圆锥顶点的距离为__________m．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．已知数列{an}的前n项和Sn＝1+2an，在等差数列{bn}中，b1＝20，b3＝b5+b9．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列中项的最大值．18．某网站的调查显示，健身操类、跑步类、拉伸运动类等健身项目在大众健康项目中是比较火热的，但是大多数人的健身科学类知识相对缺乏，尤其是在健身指导方面．从某健身房随机抽取200名会员，对其平均每天健身时间进行调查，如下表，健身之前他们的体重情况如柱状图（1）所示，该健身房的教练为他们制订了健身计划，四个月后他们的体重情况如柱状图（2）所示．平均每天健身时间（分钟）[30，40)[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)人数203644504010
（Ⅰ）若这200名会员的平均体重减少不低于5kg，就认为该计划有效，根据上述柱状图，试问：该计划是否有效？（每组数据用该组区间的中点值作代表）（Ⅱ）请根据图中数据填写下面的2×2列联表，试问：是否有99%的把握认为平均每天健身时间与会员健身前的体重有关？平均每天健身时间低于60分钟平均每天健身时间不低于60分钟合计健身前体重低于100kg健身前体重不低于100kg80合计200参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82819．如图所示，在四棱锥S-ABCD中，平面SAB⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，∠ACD＝60°，AC＝AD，SA＝2，，BC＝1．设平面SCD与平面SAB的交线为l，E为SD的中点．（Ⅰ）求证：l∥平面ACE；（Ⅱ）若在棱AB上存在一点Q，使得DQ⊥平面SAC，当四棱锥S-ABCD的体积最大时，求SQ的值．20．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上一点，且∠F1MF2＝60°，△F1MF2的面积为，过F2且与长轴垂直的弦的长为．（Ⅰ）求椭圆C的方程．（Ⅱ）在x轴上是否存在点P(m，0)，使得过点P的直线交椭圆C于G，H两点，且满足|GP|2+|HP|2＝3(|GP|·|HP|)2恒成立？若存在，求m2的值；若不存在，说明理由．21．已知函数，且当a＝0时，f(x)的最大值为-1．（Ⅰ）当a＝0时，求f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；（Ⅱ）当a∈(1，e)时，证明：f(x)的极大值小于．
（二）选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C的对称中心为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求△PAB的面积．23．[选修4-5：不等式选讲]已知实数a，b，c满足a＞0，b＞0，c＞0．（Ⅰ）若abc＝1，求证：；（Ⅱ）若ab＝1，(1+a)(1+b)的最小值为m，求不等式|x+1|+|x-1|≤m的解集．“皖豫名校联盟体”2021届高中毕业班第二次考试文科数学·答案一、选择题1．答案B命题意图本题主要考查集合的运算．解析根据题意，集合A＝{x|-1≤x≤1}，故A∩B＝(0，1]．2．答案A命题意图本题主要考查复数的运算及共轭复数．解析因为，所以z的共轭复数为．3．答案B命题意图本题主要考查向量垂直的定义及向量的数量积．解析因为，，，故-2(2m-2)+4＝0⇒m＝2．4．答案C命题意图本题主要考查频率分布直方图中概率的计算．解析由题意，小李打饭时间小于7分钟才不会迟到，因为P(Z＜7)＝0.1+0.15+0.15＝0.4，故小李上自习不迟到的概率约为0.4．5．答案C命题意图本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用．解析，由φ为锐角解得φ＝30°，由直角三角形的性质得∠DBC＝45°，由正弦定理，得．6．答案A
命题意图本题主要考查圆的方程的求解及圆与圆的相交弦所在直线方程的求解．解析由题意得，，所以kABkCB＝-1，所以AB⊥CB，即△ABC为直角三角形，则其外接圆的圆心为AC的中点(1，-2)，半径为5，所以其外接圆方程为(x-1)2+(y+2)2＝25，与x2+y2＝16左右两边分别相减可得相交弦所在直线的方程为x-2y+2＝0．7．答案A命题意图本题主要考查函数模型的应用及指数、对数运算．解析设生产了x千件该产品，则生产总成本为g(x)＝3.47×10mx+x×10×1000．因为g(12)＝3.47×1012m+120000＝123470，所以3.47×1012m＝3470，所以1012m＝1000，所以m＝0.25．所以y＝3.47×100.25x．设现在的销售成本为y1，对应的生产数量为x1，原来的销售成本为y2，对应的生产数量为x2，由销售成本增加1倍，知y1＝2y2，所以，故x1-x2＝4lg2≈1.2（千件）．8．答案D命题意图本题主要考查抛物线的定义及三角形的面积求解．解析设E为准线与x轴的交点，根据三角形相似和抛物线定义，可知，可得∠QFE＝60°，所以∠PQF＝60°，又|PQ|＝|PF|，所以△PFQ为等边三角形，又，所以△PFQ的面积为．9．答案C命题意图本题主要考查三角函数的性质．解析y＝2|cosx|+cos2x＝2|cosx|+2cos2x-1，令t＝|cosx|，则y＝2t2+2t-1，当时，t＝|cosx|单调递减，t∈[0，1]，因为y＝2t2+2t-1在[0，1]上单调递增，所以函数y＝2|cosx|+cos2x在上单调递减．当时，t＝|cosx|在[0，a]上先减后增，函数y＝2|cosx|+cos2x在[0，a]上不单调．所以，a的最大值为．10．答案A命题意图本题主要考查直线与双曲线的位置关系及离心率的求解．解析设该双曲线的半焦距为c，离心率为e，根据题意，不妨设直线OM的方程为．由可得．由题可知，联合c2＝a2+b2，整理可得．11．答案B命题意图本题主要考查三视图及几何体表面最短路径问题．解析该三视图对应的几何体是正三棱柱，如图所示．仅考虑以下三种情况即可：
（1）经侧面到N，将三棱柱沿AA1，AB，AC，A1B1，A1C1剪开，并展开至同一平面上，则．（2）过顶点A经底面到N，此时．（3）经侧面、底面到N点，将底面ABC沿AB，BC剪开，并展开至和ACC1A1在同一平面上，则．因为，且，所以从M到N的路径中，最短路径的长度为．12．答案D命题意图本题主要考查数形结合求解函数零点问题．解析因为函数f(x)＝|kx-2|-g(x)在(0，+∞)上有3个不同的零点，所以关于x的方程|kx-2|＝g(x)在(0，+∞)上有3个不同的实数根．画出函数g(x)的图象，如图．y＝|kx-2|的图象恒过点(0，2)，且与x轴的交点为．当，即k≥4时，y＝|kx-2|与g(x)的图象在(0，+∞)上仅有2个不同的交点，如图．
当，即1＜k＜4时，y＝|kx-2|与g(x)的图象在上有1个交点，在上有2个交点，如图．当，即0＜k＜1时，y＝|kx-2|与g(x)的图象在上有3个交点，在上有0个交点，如图．当，即k＝1时，y＝|kx-2|与g(x)的图象在(0，+∞)上有2个交点，如图．
综上，可得k的取值范围为(0，1)∪(1，4)．二、填空题13．答案14命题意图本题主要考查线性规划．解析根据约束条件画出可行域，如图阴影部分所示．z＝5x+2y可化为．当直线在y轴上的截距最大时，z取得最大值，由图可知，过B点时，截距最大．由求得B(2，2)，代入到z＝5x+2y中，解得z＝14，即zmax＝14．14．答案命题意图本题主要考查古典概型．解析根据雷达图，可知小华的成绩高于该队平均分的项目有3个，设为A，B，C，小华的成绩不高于该队平均分的项目有3个，设为a，b，c，从中任取2个项目的所有结果为(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共15种，至少有1项小华的成绩高于该队平均分的结果为(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，共12种，所以概率为．15．答案命题意图本题主要考查数学文化、基本不等式及三角形面积的求解．解析∵9＝(PA+PB+PC)2＝PA2+PB2+PC2+2(PA·PB+PA·PC+PB·PC)≥3(PA·PB+PA·PC+PB·PC)，∴PA·PB+PA·PC+PB·PC≤3．∴，当且仅当PA＝PB＝PC时，等号成立．16．答案命题意图本题主要考查圆锥的侧面积、弧长公式及几何体中距离的求解．
解析设圆锥底面半径为rm，母线长为lm，根据题意以及弧长公式可知，，解得l＝4r，所以该圆锥的侧面积为S＝πrl＝4πr2＝16π，所以r＝2，l＝8，设母线与高的夹角为θ，则，，所以球心到圆锥顶点的距离为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．命题意图本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及数列中值最大的项的求解．解析（Ⅰ）因为Sn＝1+2an，所以an≠0．当n≥2时，Sn-1＝1+2an-1，两式相减，得an＝1+2an-1-2an-1＝2an-2an-1，即an＝2an-1(n≥2)，所以{an}是等比数列，公比q＝2，当n＝1时，S1＝1+2a1＝a1，即a1＝-1，所以an＝-2n-1．（Ⅱ）设{bn}的公差为d，则解之得d＝-2，所以bn＝22-2n．所以．设，则．因为当n＞13时，cn＜cn-1，当n＝13时，cn＝cn-1，当n＜13时，cn＞cn-1，所以当n＝12或13时cn最大，即最大，最大值为．18．命题意图本题主要考查独立性检验．解析（Ⅰ）柱状图（1）中的体重平均值为95×0.3+105×0.5+115×0.2＝104(kg)．柱状图（2）中的体重平均值为85×0.1+95×0.4+105×0.5＝99(kg)．因为104-99＝5，所以该计划有效．（Ⅱ）2×2列联表如下：平均每天健身时间低于60分钟平均每天健身时间不低于60分钟合计健身前体重低于100kg402060健身前体重不低于100kg6080140合计100100200K2的观测值为．所以有99%的把握认为平均每天健身时间与会员健身前的体重有关．19．命题意图本题主要考查线面平行的证明及与几何体体积有关的最值问题．解析（Ⅰ）在Rt△ABC中，因为BC＝1，，所以，AC＝2，所以∠BAC＝30°．在△ACD中，因为AC＝AD，∠ACD＝60°，所以△ACD为等边三角形，所以CD＝2，∠CAD＝60°，所以∠BAD＝90°，又∠ABC＝90°，所以BC∥AD．如图，延长AB和DC交于点F，连接SF，因为F∈AB，AB⊂平面SAB，所以F∈平面SAB．同理可得F∈平面SCD．所以SF所在直线即为直线l．因为
，所以C为DF的中点，所以在△SDF中，l∥CE．因为l不在平面ACE内，CE⊂平面ACE，所以l∥平面ACE．（Ⅱ）过S向AB作垂线，垂足为P，因为平面SAB⊥底面ABCD，所以SP⊥底面ABCD，因为梯形ABCD的面积和SA的长为定值，所以当点P与A重合，即SA⊥底面ABCD时，四棱锥S-ABCD的体积最大．因为DQ⊥平面SAC，AC⊂平面SAC，所以DQ⊥AC，所以DQ经过AC的中点，所以∠ADQ＝30°，所以，故．20．命题意图本题主要考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系．解析（Ⅰ）设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2，则r1+r2＝2a，①在△MF1F2中，，即，②由余弦定理得，即(r1+r2)2-3r1r2＝4c2，将①②代入得a2-c2＝1，所以b2＝1．又，解得．所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）由条件可得恒成立．当直线GH的斜率为零时，点G，H为椭圆长轴的端点，则，解得或m2＝4．当直线GH不与x轴重合时，设直线GH的方程为x＝ty+m，G(x1，
y1)，H(x2，y2)，联立消去x得(t2+2)y2+2mty+m2-2＝0，由Δ＞0，得m2-2＜t2，由根与系数的关系得，．所以．所以(3m2-2)(m2+m2t2-4t2-2)＝0，所以．综上可得存在满足条件的点P，且．21．命题意图本题主要考查导数的几何意义及导数在研究函数极值问题中的应用．解析（Ⅰ）f(x)的定义域为(0，+∞)．当a＝0时，f(x)＝blnx-x．①若b≤0，因为，所以不满足题意．②若b＞0，．当0＜x＜b时，f′(x)＞0，当x＞b时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，b)上单调递增，在(b，+∞)上单调递减，故x＝b是f(x)在(0，+∞)上的唯一最大值点．由于f(1)＝-1，所以b＝1．所以，f′(1)＝0，故所求切线方程为y+1＝0×(x-1)，即切线方程为y＝-1．（Ⅱ），令f′(x)＝0，得x1＝1，，当1＜a＜e时，，因为当时，f′(x)＞0，当时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，所以f(x)在上是增函数，在上是减函数，在(1，+∞)上是增函数．所以f(x)的极大值为．设，其中a∈(1，e)，则，所以g(a)在(1，e)上是增函数，所以，即f(x)的极大值小于．22．命题意图本题主要考查参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化．
解析（Ⅰ）曲线C的参数方程变形得平方后相加得普通方程为．，即ρcosθ-ρsinθ＝2，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入即可得到直线l的直角坐标方程为x-y＝2．（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立可得5x2-26x+33＝0，解得x1＝3，，所以．又因为对称中心P(1，1)到直线l的距离为，所以△PAB的面积为．23．命题意图本题主要考查基本不等式及绝对值不等式的求解．解析（Ⅰ）由基本不等式可知，，，相加得，当且仅当a＝b＝c时等号成立．（Ⅱ）因为，，相乘得，当且仅当a＝b＝1时等号成立．故m＝4．若x≥1，则|x+1|+|x-1|＝2x≤4，所以1≤x≤2；若-1＜x＜1，则|x+1|+|x-1|＝2＜4恒成立；若x≤-1，则|x+1|+|x-1|＝-2x≤4，解得x≥-2，所以-2≤x≤-1．综上，不等式的解集为{x|-2≤x≤2}．
