长春市2022届高三质量监测（一）理科数学本试卷共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A.B.C.D.2.在复平面内，复数对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列关于函数的说法中，正确的是A.函数是奇函数B.其图象关于直线对称C.其图象关于点对称D.函数在区间上单调递增4.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A.B.C.D.5.展开式中，的系数是A.B.C.D.6.已知，，，则A.B.C.D.7.若函数在区间内有零点，则实数的取值范围是A.B.C.D.8.给出下列命题：①若△的三条边所在直线分别交平面于三点，则三点共线；②若直线是异面直线，直线是异面直线，则直线是异面直线；③若三条直线两两平行且分别交直线于三点，则这四条直线共面；④对于三条直线，若，，则.其中所有真命题的序号是
A.①②B.①③C.③④D.②④1.已知，则A.B.C.D.2.已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，若以为始边，为终边的角，则等于A.B.C.D.43.医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层.内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）.国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率.若生产状态正常，有如下命题：甲：；乙：的取值在内的概率与在内的概率相等；丙：；丁：记表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则.（参考数据：若，则，，；）其中假命题是A.甲B.乙C.丙D.丁4.设函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则下列说法一定正确的有①；②；③；④A.4个B.3个C.2个D.1个（长春一模）二、填空题：本题共4小题，每小题5分.5.已知向量与的夹角为，，，则__________.6.若无穷等比数列的各项均大于1，且满足，，则公比________.7.某公园供游人休息的石凳如图所示，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的棱长为，则石凳所对应几何体的表面积为_______.8.在气象台正西方向处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约________小时后气象台所在地开始受到影响（参考数据：，）.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.1.（本小题满分12分）设数列的前项和为，，.（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和.2.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，△是正三角形，侧面底面，是的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值.3.（本小题满分12分）水立方、国家体育馆、五棵松体育馆、首都体育馆、国家速滑馆是2022冬奥会的比赛场馆.现有8名大学生报名参加冬奥会志愿者比赛场馆服务培训，其中1人在水立方培训，3人在国家体育馆培训，4人在五棵松体育馆培训.（Ⅰ）若从中一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆培训，求所抽调的2人来自不同场馆的概率；（Ⅱ）若从中一次抽调3名大学生志愿者到首都体育馆培训，要求这3人中来自水立方的人数和来自国家体育馆的人数都不超过来自五棵松体育馆的人数.设从五棵松抽出的人数为，求随机变量的概率分布列及数学期望.4.（本小题满分12分）设函数.（Ⅰ）若是的极值点，求的单调区间；（Ⅱ）若，求的取值范围.5.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上，且满足，.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知过点且不与轴重合的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在定点，使得.若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.6.（本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极
点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，点，求的值.1.（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（长春一模）（Ⅱ）若，，求实数的取值范围.
长春市普通高中2022届高三质量监测（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.A2.C3.C4.A5.B6.B7.A8.B9.D10.D11.B12.B1.集合，故选A.2.，对应点在第三象限，故选C.3.由知，，C正确，故选C.4.由知，故双曲线的渐近线方程为，故选A.5.展开式的通项为，令，故，故选B.6.，，，故，故选B.7.由函数在其定义域内单调递增，有，解得，故选A.8.由公理3，①正确；易知②错误；③正确；若是过长方体一顶点的三条棱，则④错误，故选B.9.由，，故选D.10.过作垂直准线，为垂足，连接，设，由抛物线定义，△为等边三角形，，有，解得，所以，故选D.11.由知，，，故甲为真命题；，两个区间长度均为1个，但，由正态分布性质知，落在内的概率大于落在内的概率，故乙是假命题；由知，丙正确；对于丁，1只口罩的的过滤率大于的概率，，所以，，故丁是真命题.故选B.12.由是奇函数可知，的图象关于点对称，所以，所以②正确；令，则，因为是偶函数，所以的图象关于对称，所以的图象关于对称，则有，令，则，所以③正确.在中，将用替换，则，
在中，将用替换，则，所以，再将用替换，则，所以，所以①正确；对于④，无法推出其一定相等.故选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.14.15.16.1..2.，解得或，由无穷等比数列的各项均大于1可知，所以，则.3.由题意知，表面积为.4.设气象台所在地为，台风中心为，约小时后气象台所在地将受到影响，小时后中心移动至处，，在△中，，由余弦定理，，整理得，解得，依题意，保留，故约2小时后影响气象台所在地.三、解答题17.(本题满分12分)（Ⅰ），则，所以，有，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故①①，②①②得，，所以.（12分）18.(本题满分12分)（Ⅰ）因为平面平面，底面为正方形，，所以平面，所以，又因为△是正三角形，是的中点，所以，所以平面.（6分）（Ⅱ）过在平面内做垂线，知与，两两垂直，以为坐标原点，，，分别为轴，建立空间直角坐标系，设，有，设平面的法向量为，有，有，令，则；
设平面的法向量为，有，有，令，则；设二面角的平面角为，，所以.所以二面角的正弦值为.（12分）17.(本小题满分12分)（Ⅰ）设“从中一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆，所抽调2人来自不同场馆”，则.（4分）（Ⅱ）由题意的所有可能取值为.当时，水立方、国家体育馆、五棵松体育馆各抽1人，共种.当时，水立方、国家体育馆各1人，五棵松体育馆2人，共种.当时，3人都来自于五棵松体育馆，共种.累计种情况.从而，分布列为.（12分）18.(本小题满分12分)（Ⅰ），，经检验符合条件，，令，有或，令，有，所以的单调递增区间是，单调递减区间是.（6分）（Ⅱ）当时，令，有，令，有，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，不成立，综上，.（12分）19.(本小题满分12分)（Ⅰ）由知，在△中，，，解得，所以椭圆；（6分）（Ⅱ）假设存在点满足条件，设直线方程为，，消去有，，.
因为，所以，即，解得.所以存在使得.（12分）17.(本小题满分10分)（Ⅰ）；（5分）（Ⅱ）为参数，将其代入椭圆方程得，对应的参数分别为，有，所以.（10分）18.(本小题满分10分)（Ⅰ），等价于或，解得或，所以不等式解集为或；（5分）（Ⅱ），等价于，等价于，，即，或，从而或.（10分）
