2019-2020学年广东省深圳市宝安区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知全集＝‸㔱㔱㔱，集合＝㔱，集合＝‸㔱，则＝（）A.B.C.㔱D.㔱㔱2.已知复数满足‸耀＝耀，其中耀是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.如图是一个边长为的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷‸耀ǚ个点，其中落入白色部分的有耀个点，据此可估计黑色部分的面积为（）A.B.C.D.4.已知双曲线‸㔱，直线与的两条渐近线的交点分别为，，为坐标原点．若为直角三角形，则的离心率为A.B.C.D.‸5.已知数列中，＝，＝‸．若数列为等差数列，则ǚ＝（）‸A.B.C.D.‸6.已知sin，且㔱，则cos‸A.B.C.‸D.7.《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀个小灯，另一种是大灯下缀个小灯，大灯共个，小灯共‸个．若在这座楼阁的灯球中，随机选取一个灯球，则这个灯球是大灯下缀个小灯的概率为（）‸‸A.B.C.D.8.某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出名学生参加文史知识竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是耀，乙班学生成绩的中位数是耀，试卷第1页，总9页
则′的值为()A.ǚB.C.耀D.9.已知点是的重心，′㔱R，若‸，，则的最小值是()A.B.C.D.10.对于任意实数，，把代数运算′′的值叫做与的“加乘和谐数”，记作符号“′”，其中，，是常数，若已知‸′＝，′＝，若′䁪＝恒成立，则当且仅当非零实数䁪的值为（）A.B.C.D.耀‸11.设函数′的值域为，若㔱′，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.12.在所有棱长都相等的三棱锥中，，，分别是，，的中点，下列四个命题：（1）平面；（（2））平面；（3）平面平面；（4）平面平面．其中正确命题的序号为（）A.B.‸C.D.‸二、填空题：本大题共4小题每小题5分，共20分．)13.曲线＝cos在点㔱处的切线方程为________．㔱14.在平面直角坐标系中，若动圆上的点都在不等式组′㔱表示的平′′面区域内，则面积最大的圆的标准方程为________．15.将函数sin′cos㔱R㔱的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数图象，则________．16.已知数列的前项和为，‸‸，且‸（为常数）．若数列满足′ǚ，且，则满足条件的的取值集合为________．′‸试卷第2页，总9页
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17.若数列的前项和满足㔱′．（1）证明数列为等比数列，并求；㔱（2）若＝，′，求数列的前项和．㔱18.如图，四棱柱‸‸‸‸的底面是菱形，＝，‸底面，＝‸＝．㤵证明：平面‸平面‸‸；Ⅱ若＝，求二面角的余弦值．‸‸19.是圆′＝上的动点，点在轴上的射影是，点满足．（1）求动点的轨迹的方程，并说明轨迹是什么图形；（2）过点㔱的直线与动点的轨迹交于不同的两点，，求以，为邻边的平行四边形的顶点的轨迹方程．20.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：万元）对年销售量（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响．对近六年的年宣传费耀和年销售量耀耀＝‸㔱㔱㔱㔱㔱的数据作了初步统计，得到如下数据：年‸‸‸‸‸‸耀份年耀耀耀耀耀耀耀宣传费（万元）试卷第3页，总9页
年‸㘱耀‸耀㘱耀㘱㘱㘱㘱销售量（吨）经电脑模拟，发现年宣传费（万元）与年销售量（吨）之间近似满足关系式＝㔱．对上述数据作了初步处理，得到相关的值如表：ln耀ln耀ln耀ln耀耀‸耀‸耀‸耀‸ln耀㘱㘱‸耀㘱‸‸㘱（1）根据所给数据，求关于的回归方程；（2）已知这种产品的年利润与，的关系为若想在‸ǚ年达到‸年利润最大，请预测‸ǚ年的宣传费用是多少万元？附：对于一组数据㔱‸，㔱，…，㔱，其回归直线＝′中的斜率耀‸耀耀和截距的最小二乘估计分别为，耀‸耀‸21.设‸．（1）求证：当‸时，恒成立；‸（2）讨论关于的′香方程根的个数．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.)22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，′香曲线的极坐标方程为cos′sin＝‸，直线的参数方程为香（香为参数）．直线与曲线分别交于，两点．（1）若点的极坐标为㔱，求的值；（2）求曲线的内接矩形周长的最大值．23.设函数＝′‸′，＝．Ⅰ当＝‸时，求不等式的解集；Ⅱ已知恒成立，求的取值范围．试卷第4页，总9页
参考答案与试题解析2019-2020学年广东省深圳市宝安区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B2.A3.B4.A5.D6.C7.D8.C9.C10.B11.C12.由图形及题设条件易知，进而可证明出平面，命题成立；由图形知，与相交，故平面不可能成立由图形及题设条件P在底面ABC上的投影不在中位线DF上，故平面PDF⊥平面ABC不成立，是假命题（1）由题设条件可证得BC⊥平面PAE，再由DF∥BC证得DF⊥平面PAE，即可得到平面PDF⊥平面PAE，命题成立二、填空题：本大题共4小题每小题5分，共20分．13.14.‸′＝15.16.㔱三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.∵＝，当＝‸时，得‸＝，当时，‸＝‸，∴‸＝‸，即＝‸，∴＝‸，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴数列＝‸为等比数列．∵＝，∴＝‸＝′‸，′‸㔱∴′′‸㔱∴＝′′′′′′㘱㘱㘱′′′‸＝′′′㘱㘱㘱′′′′′㘱㘱㘱′′‸′′‸′‸′‸′′，试卷第5页，总9页
′‸∴′′．18.证明：（1）∵‸面，且，面，∴‸，又∵在菱形中，，∵‸＝，∴面‸，∵平面‸‸，∴平面‸平面‸‸（2）建立以为坐标原点，，，‸分别为，，轴的空间直角坐标系如图：∵＝＝，＝，‸∴＝‸，，∵‸＝，∴‸＝‸．则㔱㔱，㔱‸㔱，‸㔱㔱‸，㔱㔱，‸‸㔱‸㔱，㔱‸㔱，㔱㔱，‸㔱㔱‸，则‸‸′‸‸㔱‸㔱‸，设平面‸的一个法向量为䁪㔱㔱，䁪则，䁪‸′′令，则＝，＝，即䁪㔱㔱，设平面‸的一个法向量为㔱㔱，‸′′则，令＝‸，则＝‸，＝，则㔱‸㔱‸，䁪cos䁪，，䁪′ǚ∵二面角‸是钝二面角，∴二面角‸的余弦值是．试卷第6页，总9页
19.设㔱，则㔱‸由，知㔱，∵点在圆′＝上，∴′＝，故点的轨迹的方程为′‸，且轨迹是以㔱，㔱为焦点，长轴长为的椭圆．设㔱，由题意知的斜率存在，设＝，代入′‸，得‸′′＝，＝‸′，‸得，设‸㔱‸，㔱，则‸′‸′，∴‸′‸′‸′‸′‸′．∵四边形为平行四边形，∴′‸′㔱‸′㔱‸′㔱‸′，又㔱，∴‸′，‸′消去得，′＝，‸耀∵，∴，耀顶点的轨迹方程为′．20.对＝，㔱，两边取对数得ln＝ln′ln，令耀＝ln耀，耀＝ln耀，得＝ln′，㘱‸耀㘱由题目中的数据，计算㘱‸，㘱，且耀‸耀耀耀‸ln耀ln耀＝㘱，‸‸㘱；耀‸耀耀‸耀试卷第7页，总9页
耀‸耀耀㘱㘱‸㘱㘱‸则‸‸㘱㘱‸㘱，耀‸耀‸lnln㘱㘱‸＝‸，得出，所以关于的回归方程是；由题意知这种产品的年利润的预测值为＝‸′，‸‸‸‸所以当，即＝ǚ耀时，取得最大值，即当‸ǚ年的年宣传费用是ǚ耀万元时，年利润有最大值．21.当香时，即香′时，方程无实根；当香时，即香′时，方程有一个实根；（1）当香时，即香′时，方程有两个实根．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22.曲线的极坐标方程为cos′sin＝‸，转换为直角坐标方程为：′‸．‸点的极坐标为㔱，转换为直角坐标为㔱．′香把直线的参数方程为（香为参数）．香代入椭圆的方程为：香香（香‸和香为、对应的参数）所以：香‸香＝．故：＝香‸香＝由椭圆的直角坐标方程转换为cos㔱sin，试卷第8页，总9页
所以：以为顶点的内接矩形的周长为cos′sin＝‸sin′所以：当时，周长的最大值为‸．‸‸‸23.（1）当＝‸时，或或‸′‸‸，′‸′‸解得‸或，所以原不等式的解集为‸或‸′‸‸′㔱（2）‸′‸′㔱‸，′‸′‸㔱当‸时，＝＝′‸，＝‸；min‸‸当‸时，max＝＝′，‸，综上：‸㔱′试卷第9页，总9页
