2022年福建省厦门外国语学校高考数学仿真预测试卷一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）设集合A＝{x||4x﹣1|≥9}，B，则A∩B等于（ ）A．（﹣3，﹣2]B．C．D．2．（5分）复数z的共轭复数的虚部为（ ）A．B．C．D．3．（5分）武汉疫情爆发后，某医院抽调3名医生，5名护士支援武汉的三家医院，规定每家医院医生一名，护士至少一名，则不同的安排方案有（ ）A．900种B．1200种C．1460种D．1820种4．（5分）体积为36π的金属球在机床上通过切割，加工成一个底面积为8π的圆柱，当圆柱的体积最大时，其侧面积为（ ）A．8B．8C．6D．95．（5分）粮食安天下安，粮食生产是保障国家安全的重器，只有立足自身才能确保粮食产品安全稳定，把中国人的口粮牢牢地抓在自己手里，以袁隆平、李振声、李登海为代表的农业科学家一次次的把我国的粮食生产提高到一个新的高度．某实验农场种植的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续6年的年平均产量如表（单位：500g）：品种第1年第2年第3年第4年第5年第6年甲900920900850910920乙900960950860860900根据上述实验结果，下列说法正确的是（ ）A．甲种水稻平均产量高并且产量稳定B．甲种水稻平均产量高但是乙种产量稳定C．乙种水稻平均产量高并且产量稳定D．乙种水稻平均产量高但是甲种产量稳定6．（5分）铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争中被日军飞机炸毁，现仅存三级，它的底座是近似圆形的，如图1．我国古代工匠已经知道，将长方体砖块以某个固定的角度相接就可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是用10块一样的长方体砖块砌成的近似圆形的墙面，每块长方体砖块底面较长的边长为1个单位，相,邻两块砖之间的夹角固定为36°，如图2，则此近似圆形墙面内部所能容纳最大圆的半径是（ ）A．B．C．D．7．（5分）在菱形ABCD中，点E是线段CD上的一点，且，若|，|，则（ ）A．26B．24C．12D．88．（5分）已知x＝20.4，，，则下列结论正确的是（ ）A．x＜y＜zB．y＜z＜xC．z＜y＜xD．z＜x＜y二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）已知两点M（﹣5，0），N（5，0），若直线上存在点P，使|PM|﹣|PN|＝6，则称该直线为“B型直线”．下列直线中为“B型直线”的是（ ）A．y＝x+1B．y＝2C．yx﹣1D．y＝2x10．（5分）已知直线x是函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的一条对称轴，则（ ）A．f（x）是奇函数B．x是f（x）的一个零点C．f（x）在[，]上单调递减D．y＝f（x）与g（x）＝sin（2x）的图象关于直线x对称11．（5分）设x＞0，y＞0，则下列结论正确的是（ ）A．不等式恒成立B．函数f（x）＝3x+3﹣x的最小值为2C．函数的最大值为D．若x+y＝2，则的最小值为12．（5分）下列说法正确的是（ ）A．设随机变量X等可能取1，2，3，…，n，如果P（X＜4）＝0.3，则n＝10B．设随机变量X服从二项分布，则,C．设离散型随机变量η服从两点分布，若P（η＝1）＝2P（η＝0），则D．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2）且P（X＜4）＝0.9，则P（0＜X＜2）＝0.3三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知直线l：y＝x+m被圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣1＝0截得的弦长等于该圆的半径，则实数m＝ ．14．（5分）数列1，x，1，x，x，1，x，x，x，1，x，x，x，x，1，x，…，其中在第n个1与第n+1个1之间插入n个x，若该数列的前2020项的和为7891，则x＝ ．15．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则二面角A﹣B1D1﹣C的正弦值为 ．16．（5分）已知函数f（x），若函数g（x）＝f2（x）+af（x）有5个零点，则a的取值范围是 ．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知a，b，c分别为锐角三角形ABC三个内角A，B，C的对边，且c＝2asinC．（1）求A；（2）若cosB，求sin（2B﹣A）的值；（3）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c．18．（12分）已知等差数列{an}的公差d≠0，a3＝7，且a1，a2，a6成等比数列，数列{bn}满足bn+bn+1＝an．（1）求{an}的通项公式；（2）求{bn}的前20项和S20．19．（12分）为贯彻落实党中央全面建设小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康，2019年6月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入，作出散点如下：,根据相关性分析，发现其家庭人均月纯收入y与时间代码x之间具有较强的线性相关关系（记2019年1月、2月……分别为x＝1，x＝2，…，依此类推），由此估计该家庭2020年能实现小康生活．但2020年1月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020年第一季度每月的人均月纯收入只有2019年12月的预估值的．（1）求y关于x的线性回归方程；（2）求该家庭2020年3月份的人均月纯收入；（3）如果以该家庭3月份人均月纯收入为基数，以后每月增长率为8%，问该家庭2020年底能否实现小康生活？参考数据：，68610，1.0810≈2.16参考公式：，．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，D是AC的中点．（1）证明：AB1∥平面BC1D．（2）若AA1＝2AB，求二面角B1﹣AC﹣C1的余弦值．21．（12分）已知椭圆1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率e，长轴长为4．（1）求椭圆的方程；（2）过点F的直线l与椭圆交于M，N两点（非长轴端点），MO的延长线与椭圆交于P点，求△PMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．,22．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣kx（k∈R），g（x）＝x（ex﹣2）．（1）若f（x）有唯一零点，求k的取值范围；（2）若g（x）﹣f（x）≥1恒成立，求k的取值范围．,2022年福建省厦门外国语学校高考数学仿真预测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．解：∵，∴A∩B＝（﹣3，﹣2]．故选：A．2．解：z，∴，∴复数z的共轭复数的虚部为，故选：D．3．解：根据题意，分2步进行分析：①将3名医生安排到三家医院，有6种安排方法，②将5名护士分为3组，安排到三家医院，有（）150种安排方法，则有6×150＝900种不同的安排方案，故选：A．4．解：由球的体积可设球的半径R，由题意πR3＝36π，可得R＝3，当圆柱的体积最大时，则圆柱的上下底面与球相切，因为底面积为8π，设底面半径为r，则πr2＝8π，所以r＝2，所以圆柱的高为：h＝222，所以圆柱的侧面积为2πr•h＝28π，故选：A．5．解：根据平均值的计算公式和方差计算公式，计算平均值与方差得（900+920+900+850+910+920）＝900，（900+960+950+860+860+900）＝905，（[（900﹣900）2+（920﹣900）2+（900﹣900）2+（850﹣900）2+（910﹣900）2+（920﹣,900）2]，（[（900﹣905）2+（960﹣905）2+（950﹣905）2+（860﹣905）2+（860﹣905）2+（900﹣905）2]＝1525，由于x甲＜x乙，因此乙种水稻平均产量高，但是，所以乙种水稻亩产量高但甲产量稳定，故甲种水稻的质量更好．故选：D．6．解：由题意分析可知当圆与长方形砖块较长的边相切时，且切点为中点时，圆的半径最大，此时有，解得，故选：B．7．解：连接AC，BD交于点O，以点O为坐标原点，AC为x轴，BD为y轴，建立如图所示的直角坐标系．设OC＝m（m＞0），OD＝n（n＞0），则A（﹣m，0），C（m，0），B（0，﹣n），D（0，n），所以，，所以，解得，所以，，所以．故选：A．8．解：∵20.4＞20＝1，，，∴y＜z＜x．故选：B．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．解：因为点P满足|PM|﹣|PN|＝6＜|MN|＝10,,所以点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支，其中焦点坐标为M（﹣5，0），N（5，0），则c＝5，又2a＝6，则a＝3，所以b2＝c2﹣a2＝16，则双曲线的方程(x＞0)，由题意点P既在双曲线的右支上，又在直线上，则直线与双曲线的右支有公共点，因为双曲线的渐近线方程为，所以yx﹣1与双曲线没有公共点，故选项C错误；又直线y＝2x经过点（0,0）且斜率为2,故直线y＝2x与双曲线也没有公共点，故选项D错误；而直线y＝x+1与y＝2与双曲线的右支均有公共点，所以直线y＝x+1与y＝2是“B型直线”，故选项A,B正确．故选：AB．10．解：∵直线x是函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的一条对称轴，∴2φ＝kπ，k∈Z，∴φ，函数f（x）＝sin（2x）．∴f（x）＝sin（2x）＝cos2x是偶函数，故A错误；令x，求得f（x）＝0，可得x是f（x）的一个零点，故B正确；当x∈[，]，2x∈[，]，函数f（x）单调递减，故C正确；显然，f（x）＝sin（2x）与g（x）＝sin（2x）的图象关于直线x对称，故D正确，故选：BCD．11．解：因为x＞0，y＞0，（x+y）（）＝24，当且仅当时取等号，A正确；因为3x＞1，则f（x）＝3x+3﹣x2，当且仅当3x＝3﹣x，即x＝0时取等号，但x＞0，故B错误；，当且仅当x，即x＝1时取等号，C正确；因为x+y＝2，所以2x+2y＝4，则（）（2x+1+2y+2）（3），当且仅当时取等号，D错误．故选：AC．12．解：由题意知，,对于，∴n＝10，故A正确；对于B，设随机变量X服从二项分布，则，B正确；对于C，因为P（η＝1）＝2P（η＝0）且P（η＝1）+P（η＝0）＝1，∴，故C正确；对于D，∵随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），∴正态曲线的对称轴是x＝2．∵P（X＜4）＝0.9，∴P（0＜X＜4）＝0.8，∴P（0＜X＜2）＝P（2＜X＜4）＝0.4，D错误；故选：ABC．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．解：由x2+y2﹣4x﹣2y﹣1＝0，得（x﹣2）2+（y﹣1）2＝6，则圆心C（2，1），半径为，C到直线y＝x+m的距离d，∴直线y＝x+m被圆C截得的写出为，整理得（m+1）2＝9，解得m＝2或﹣4．故答案为：2或﹣4．14．解：当n≥2时，前n个1之间共有n+[1+2+3+…+（n﹣1）]项，当n＝63时，有2016项，在第63个1的后面再跟的第4个x就是第2020项，所以前2020项中含63个1，其余的均为x，故该数列前2020项的和为63×1+（2020﹣63）x＝7891，解得x＝4．故答案为：4．15．解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则AD1＝AC＝D1C＝B1D12，取B1D1中点O，CD1中点E，连接AO，EO，AE，则AO⊥B1D1，EO⊥B1D1，∴∠AOE是二面角A﹣B1D1﹣C的平面角，∴AO＝AE，OEB1C，∴cos∠AOE，,∴sin∠AOE．∴二面角A﹣B1D1﹣C的正弦值为．故答案为：．16．解：由题意可知，f（x），函数g（x）＝f2（x）+af（x），当g（x）＝0时，即f（x）[f（x）+a]＝0，由函数f（x）的解析式可知，当f（x）＝0，即x﹣x2＝0，则有两个实数根0和1，要使函数g（x）＝f2（x）+af（x）有5个零点，则只需f（x）＝﹣a有三个不同的实数根，即函数f（x）与y＝﹣a的图象有三个不同的交点，作出函数图象如图所示，由图象可知，，解得，所以实数a的取值范围为．故答案为：．四．解答题（共6小题，满分70分）17．解：（1）因为c＝2asinC，则由正弦定理可得：sinC＝2sinAsinC，sinC≠0，所以sinA，又因为A，所以A；,（2）因为cosB，所以cos2B＝21，又2B∈（0，π），所以sin2B，所以sin（2B﹣A）＝sin2Bcoscos2Bsin；（3）由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，则b2+c2﹣bc＝4.......①又三角形ABC的面积S，所以bc＝4......②联立①②，解得b＝c＝2．18．解：（1）a1，a2，a6成等比数列，可得a22＝a1a6，则因为d≠0，解得所以an＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2；（2）由（1）得bn+bn+1＝an＝3n﹣2，则S20＝（3×1﹣2）+（3×3﹣2）+…+（3×19﹣2）＝1+7+…+55280．19．解：（1）依题意，得，，，，∴，．∴y关于x的线性回归方程为；（2）令x＝12，得2019年12月该家庭人均月纯收入预估值为40×12+270＝750元．故2020年3月份该家庭的人均月纯收入为元．（3）每月的增长率为8%，设从3月开始到12月的纯收入之和为S10，则．S12＝1000+S10＝8250＞8000．故到2020年底能如期实现小康．20．（1）证明：记B1C∩BC1＝E，连接DE．由直棱柱的性质可知四边形BCC1B1是矩形，则E为B1C的中点．（1分）因为D是AC的中点，所以DE∥AB1．（2分）因为AB1⊄平面BC1D，DE⊂平面BC1D，所以AB1∥平面BC1D（4分）,（2）解：因为底面ABC是等边三角形，D是AC的中点，所以BD⊥AC，由直棱柱的性质可知平面ABC⊥平面ACC1A1，则BD⊥平面ACC1A1．（5分）取A1C1的中点F，连接DF，则DB，DC，DF两两垂直，故以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz．设AB＝2，则，从而（6分）设平面AB1C的法向量为，则，令x＝4．得．（8分）平面ACC1的一个法向量为，（9分）则．（11分）设二面角B1﹣AC﹣C1为θ，由图可知θ为锐角，则．（12分）21．解：（1）因为椭圆的长轴长为4，所以2a＝4，解得a＝2，①因为椭圆的离心率e，所以e，②又因为a2＝b2+c2，③由①②③解得a2＝4，b2＝1，所以椭圆的方程为y2＝1．（2）设直线MN的方程为x＝my，联立，得（4+m2）y2﹣2my﹣1＝0，因为△＞0，y1+y2，y1y2，所以|MN|，所以原点到直线x＝my的距离d，所以点P到直线MN的距离2d，,所以S△MNP|MN|•2d，令t，t≥1，则S△MNP2，当且仅当t时，取等号，此时m，所以直线l的方程为xy0或xy0．22．解：（1）由f（x）＝lnx﹣kx有唯一的零点，故方程lnx﹣kx＝0有唯一的实数根，即有唯一的实数根，令h（x），则，令h'（x）＞0，解得0＜x＜e，令h'（x）＜0，解得x＞e，所以h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，所以当x＝e时，f（x）的最大值为h（e），又h（1）＝0，所以0＜x＜1时，h（x）＜0，又当x＞e时，，综上可得，k的取值范围为或k≤0；（2）因为g（x）﹣f（x）≥1恒成立，即x（ex﹣2）﹣（lnx﹣kx）≥1对x＞0恒成立，所以对x＞0恒成立，令m（x），则m'（x），令n（x）＝﹣lnx﹣x2ex，则n'（x）＜0，故n（x）在（0，+∞）上单调递减，又，n（1）＝﹣e＜0，由零点的存在性定理可知，存在唯一的零点，使得n（x0）＝0，即，两边取对数可得，ln（﹣lnx0）＝2lnx0+x0，即ln（﹣lnx0）+（﹣lnx0）＝x0+lnx0，由函数y＝x+lnx为单调函数，可得x0＝﹣lnx0，由以上分析可知，m（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以m（x）≤m（x0），故k≥m（x0）＝1，所以k的取值范围为k≥1．
