2019-2020学年上海市青浦区高二（上）期中数学试卷一.填空题（本大题共有12题，满分48分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）)1.计算：limn→∞3n+1-2n3n+2n+1=________．2.在三阶行列式3-2123-6-524中，元素-6的代数余子式为________．3.已知a→=(5,4)，b→=(3,2)，则2a→-3b→的单位向量为________．4.△ABC的三条边的中点分别为(2, 1)，(-3, 4)，(-1, -1)，则△ABC的重心坐标为________．5.直线直线2x+3y＝1的倾斜角是________．（用反三角函数表示）．6.关于x、y的二元线性方程组2x+my=5nx-3y=6 的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为103011，则m+n＝________．7.已知|a→|=1，|b→|=2，a→与b→的夹角为π3，则b→在a→上的投影为________．8.某程序框图，该程序执行后输出的W＝________．9.已知两条直线l1:ax-2y-3＝0，l2:4x+6y-1＝0．若l1的一个法向量恰为l2的一个方向向量，则a＝________．10.已知梯形ABCD，AB // CD，设AB→=e1→，向量e2→的起点和终点分别是A、B、C、D中的两个点，若对平面中任意的非零向量a→，都可以唯一表示为e1→、e2→的线性组合，那么e2→试卷第5页，总6页, 的个数为________．11.设f(x)=x(12)x+1x+1，O为坐标原点，An是函数图象上横坐标为n(n∈N*)的点，向量OAn→和i→=(1,0)的夹角为θn，则满足tanθ1+tanθ2+tanθ3+...+tanθn<53的最大正整数是________．12.已知正方形ABCD的边长为1，当每个λi(i＝1, 2, 3, 4, 5, 6)取遍±1时，|λ1AB→+λ2BC→+λ3CD→+λ4DA→+λ5AC→+λ6BD→|的最大值是________．二.选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）)13.已知AB→=a→,BC→=b→,CA→=c→，则a→+b→+c→=0是A，B，C三点构成三角形的（）A.充要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件14.数列{an}中，an=1n2,1≤n≤1000,n2n2-2n,n≥1001,则数列{an}的极限值( )A.等于0B.等于1C.等于0或1D.不存在15.已知无穷等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且limn→∞Sn=S，下列条件中使得3Sn<s(n∈n*)恒成立的是（）a.a1>0，0.8<q<0.9b.a1<0，-0.9<q<-0.8c.a1>0，0.7<q<0.8d.a1<0，-0.8<q<-0.716.已知△abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且cosa=78．m为△abc内部的一点，且ama→+bmb→+cmc→=0→，若am→=xab→+yac→，则x+y的最大值为（）a.45b.54c.56d.12三.解答题（本大题共5题，共76分）)17.用行列式解关于x、y的方程组：mx+y=m+1x+my=2m>0，∴k>0，故S=12|OA||OB|=12×1+2kk(1+2k)=12(4k+1k+4)≥12(4+4)＝4，当且仅当4k=1k，即k=12时取等号，故S的最小值为4，此时直线l的方程为x-2y+4＝020.∵an→=(xn,yn)=12(xn-1-yn-1,xn-1+yn-1)(n≥2)．∴|an→|=12(xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2=22xn-12+yn-12=22|an-1→|，又∵a1→=(1,1)=2，∴数列{|an→|}是以2为首项，22为公比的等比数列．∵an-1→⋅an→=(xn-1,yn-1)⋅12(xn-1-yn-1, xn-1+yn-1)=12(xn-12+yn-12)=12|an-1→|2，∴cosθn=an-1→⋅an→|an-1→|⋅|an→|=12|an-1→|2|an-1→|⋅22|an-1→|=22，∴θn=π4∴bn＝2nθn-1=nπ2-1，Sn＝b1+b2+……+bn=(π2-1)+(2π2-1)+⋯+(nπ2-1)=π4(n2+n)-n．假设存在最小项，不妨设为cn，∵|an→|=2⋅(22)n-1=22-n2，∴cn=|an→|log2|an→|=22-n2⋅2-n2，由cn≤cn+1得，22-n2⋅2-n2≤21-n2⋅1-n2即2(2-n)≤1-n，∴n≥22-12-1=3+2，∵n为正整数，∴n≥5，同理，由cn≤cn-1得，n≤4+2，∵n为正整数，∴n≤5，综上所述，n＝5．故存在最小项，最小项为c5=-32⋅2-32．试卷第5页，总6页, 21.由题意第k个矩形的高是1-(kn)2，∴ak=1n[1-(kn)2]=1n(1-k2n2)；(i)当n＝1时，13=16×1×2×3，命题成立，(ii)设n＝k时命题成立，即12+22+⋯+k2=16k(k+1)(2k+1)，则n＝k+1时，12+22+⋯+k2+(k+1)2=16k(k+1)(2k+1)+(k+1)2=16(k+1)(2k2+7k+6)=16(k+1)(k+2)(2k+3)=16(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]，∴n＝k+1时命题成立，综上，n∈N*时，命题为真，即12+22+⋯+n2=16n(n+1)(2n+1)，∴Sn=k=1n 1n(1-k2n2)=1-12+22+⋯n2n3=1-16n(n+1)(2n+1)n3=23-12n-16n2．limn→∞Sn=limn→∞(23-12n-16n2)=23．limn→∞Sn的几何意义表示函数y＝1-x2的图象与x轴，及直线x＝0和x＝1所围曲线梯形的面积．试卷第5页，总6页</q<0.8d.a1<0，-0.8<q<-0.716.已知△abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且cosa=78．m为△abc内部的一点，且ama→+bmb→+cmc→=0→，若am→=xab→+yac→，则x+y的最大值为（）a.45b.54c.56d.12三.解答题（本大题共5题，共76分）)17.用行列式解关于x、y的方程组：mx+y=m+1x+my=2m></q<0.9b.a1<0，-0.9<q<-0.8c.a1></s(n∈n*)恒成立的是（）a.a1>
