大庆中学2021-2022学年度高二上学期开学考试数学试题分数：150分时间：120分钟一、单选题（每小题5分共60分）1.若复数，则（）A.0B.2C.4D.62.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点，则（）A.-10B.10C.-12D.123.下列结论错误的是（）A.三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C.若是两个不共线的向量，且(且)，则构成空间的一个基底D.若、、不能构成空间的一个基底，则四点共面4.已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到的距离为（）A.10B.3C.D.5.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，，则6.已知向量，若共面，则等于（）A.-1B.1C.1或D.1或0,7.进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下，若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（）116785812730134452125689024169334217109361908284044147318027A.B.C.D.8.设若，则（）A.B.C.D.9.下面两个图是2020年6月25日由国家卫健委发布的全国疫情累计趋势图，每图下面横向标注日期，纵向标注累计数量.现存确诊为存量数据，计算方法为：累计确诊数累计死亡数累计治愈数.则下列叙述错误的是（）A．自1月20日以来一个月内，全国累计确诊病例属于快速增长时期B．自4月份以来，全国累计确诊病例增速缓慢，疫情扩散势头基本控制C．自6月16日至24日以来，全国每日现存确诊病例平缓增加D．自6月16日至24日以来，全国每日现存确诊病例逐步减少,10.在正方体中，为棱的中点，是为棱上的点，，且，则异面直线与所成角的正弦值为（）A.B.C.D.11.如图，已知正方体的棱长为1，分别是棱的中点。若点为侧面内（含边界）的动点，且存在，使,则点的轨迹长度为（）A.B.C.D.,12.在中，角所对的边分别为，，，为的外接圆，，给出下列四个结论：正确的选项是（）①若，则；②若P在上，则；③若P在上，则的最大值为2；④若，则点P的轨迹所对应图形的面积为.A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④二、填空题（每小题5分共20分）13．已知，则以为邻边的平行四边形的面积是_________.14．已知向量，，，，若，则的最小值为_________.15.若满足，的有且只有一个，则边的取值范围是_________.16.在四棱锥中，平面平面，且为矩形，则四棱锥的外接球的体积为_________.三、解答题（17题10分，18~22每题12分）17．（10分）在中，分别为角的对边，且.（1）求；（2）若为锐角三角形，，求的取值范围.18.（12分）在平行六面体中，,点为与的交点，点在线段上，且（1）求的长；,（2）设,求的值,[18题图][20题图]19.（12分）已知的面积为，.（1）求的大小；（2）若，求三角形内切圆半径.20.（12分）如图所示，在四棱锥中，四边形是平行四边形，是的中点，在上取一点，过和作平面交于点.（1）求证：；（2）已知是边长为4的等边三角形，，且平面平面，，求四棱锥的体积.21.（12分）用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，再将40个男生成绩样本数据分为6组：，，，，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）估计男生成绩样本数据的第80百分位数；（Ⅱ）在区间和内的两组男生成绩样本数据中，随机抽取两个进行调查，求调查对象来自不同分组的概率；（Ⅲ）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差．,[21题图][22题图]22.（12分）如图，已知三棱柱，平面平面，，，分别是的中点．（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的余弦值.（3）求平面与平面夹角的正弦值,大庆铁人中学2021-2022学年度高二上学期开学考试数学答案一、单选题1-5BDCDC6-10CACDB11-12CB二、填空题13.14.15.16.三、解答题17．（1）由正弦定理得：，，，，整理可得：，，，，又，；（2）为锐角三角形，，，即，解得：；由正弦定理可得：，，，则，，即的取值范围为.18.（1）,,,（2）19.（1）由面积公式可知，即，由正弦定理可知.（2）面积，设三角形内切圆半径为，则，得.20.（1）证明：如图所示，连接交于点，连接∵四边形是平行四边形∴是的中点又是的中点∴又平面，平面，所以平面，又平面平面，所以.（2）由（1）知，且，，所以为的中点，为的中点，延长与交于，则在上，如图：,因为为的中点，所以，所以，,取的中点，则，又平面平面，所以平面，所以到平面的距离为，∴.21.（1）由频率分布直方图可知，在内的成绩占比为70%，在内的成绩占比为95%，因此第80百分位数一定位于内．因为，所以估计男生成绩样本数据的第80百分位数约是84．（2）在区间和内的男生成绩样本数据分别有4个和2个，则在这6个数据中随机抽取两个的样本空间包含的样本点个数为．记事件“调查对象来自不同分组”，则事件包含的样本点个数为，所以．（3）设男生成绩样本数据为，，…，，其平均数为，方差为；女生成绩样本数据为，，…，，其平均数为，方差为；总样本的平均数为，方差为．由按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，,得．因为，又，同理，所以．所以总样本的平均数和方差分别为72.5和148．22.（1）如图所示，连结，等边中，，则，平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，由面面垂直的性质定理可得：平面，故，由三棱柱的性质可知，而，故，且，由线面垂直的判定定理可得：平面，结合⊆平面，故.（2）在底面ABC内作EH⊥AC，以点E为坐标原点，EH,EC,方,向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系.设，则，,，据此可得：，由可得点的坐标为，利用中点坐标公式可得：，由于，故直线EF的方向向量为：设平面的法向量为，则：，据此可得平面的一个法向量为，此时，设直线EF与平面所成角为，则.（3）由（1）知，平面的一个法向量为，可得，可得，即二面角的正弦值为
