教学基本信息课题二次根式的综合应用学科数学学段：第三学段年级初二年级教材书名：义务教育教科书八年级下册 出版社：人民教育出版社出版日期：2013年9月教学目标及教学重点、难点教学目标：1.能够将二次根式与相关知识进行适度的整合与拓展.2.运用二次根式的运算，解决简单的实际问题.3.在问题解决的过程中，体会二次根式在解决实际问题中的重要作用，并提高分析问题、解决问题的能力.教学重点：二次根式与相关知识的整合与拓展教学难点：二次根式比较大小的方法与依据教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入引言：二次根式这个概念主要是从算术平方根的意义上去认识的，所以二次根式的概念更是算术平方根概念的一般化表示.到目前为止，我们已经学习了二次根式的概念、二次根式的性质、还有二次根式的运算。那从研究事物的思路来看，我们接下来应该研究二次根式的综合应用。引例：若一个正方形的边长为a，面积为S．你能说出a与S的数量关系？； 问：这两个式子有什么联系与区别呢？学生可以从表示形式、计算结果分别讨论分析。本章是初中阶段“数与式”内容的最后一章。体会整理“数与式”的内容、方法和基本思想的必要性。从表示形式和计算结果两个方面分析，体会开平方运算和平方运算是互逆关系，渗透函数的思想5
新课例 正方形的边长为acm,它的面积与长为96cm、宽为12cm的长方形的面积相等,求a的值.分析：从已知出发，看可知； 从未知出发，找需知.等量关系：正方形的面积等于长方形的面积.总结解题思路是：方程模型数学问题实际问题列方程： 总结：二次根式的化简，一般先将被开方数进行因数分解或因式分解，然后将能开的尽方的因数或因式开出来，得到最简二次根式.变式 正方形的面积为32cm2四个角上的小正方形的面积均为2cm2,求图中线段a的长度.分析：已知：大正方形的面积为32cm2，可知大正方形的边长为根号32，已知四个小正方形的面积均为2cm2，可知四个小正方形的边长为根号2，要求：图中线段a的长度，只需要用大正方形的边长－小正方形的边长的2倍，即可求出。例1是引例的变式，结合求一个数的算术平方根的运算，体会二次根式乘法的应用，简化运算.总结二次根式化简得步骤.例1的变式，结合求一个数的算术平方根，体会二次根式的加减运算.让学生初步感受到二次根式计算在实际问题中的应用.5
解：设大正方形的边长为xcm,小正方形的边长为ycm,总结列方程解决实际问题的解题步骤可以为：审题（分析已知，未知，找等量关系）设未知数（直接设，间接设）列方程（利用等量关系列方程）、解方程、检验（实际意义）、答题.例 已知一个底面积为24cm2,长、宽、高的比为4：2：1的长方体，你能求出关于长方体的哪些量？如：（1）这个长方体的长、宽、高分别是多少？（2）长方体的表面积是多少？（3）长方体的体积是多少？抽象小结：方程模型实际问题降次例 解方程：这是一个开放性的问题，学生见比设未知数，通过题目中的等量关系可列方程。分别求出长宽高。进而可以求出长方体的表面积和体积。进一步拓展方程类型若x2=a,则即x为a的平方根总结:方程解法及依据，让学生再次体会二次根式的运算在方程中的应用.5
解方程：解方程组：总结：1、系数含有二次根式的一元一次方程与我们原来接触到一元一次方程解题步骤是一致,只在最后一步增加一个化为最简形式.2、系数含有二次根式的二元一次方程组的解题过程的解题方法：代入法和消元法；核心思想：消元.例 比较大小：①___②___平方运算③___正方形面积比较大小二次根式比较大小转化思想比较二次根式大小的思路步骤总结为：先将两个二次根式分别平方，再比较两个幂的大小，最后说明原数的大小。比较依据：当两个数都为正数时，即a>0,b>0时，若a2>b2时，则a>b.；若a2〈b2时，则a〈b。通过二次根式与一元一次方程和二元一次方程组的整合，体会二次根式与整式的逻辑相容性.在前几个例题都是从实际问题中抽象出方程模型，而比较大小可以把数学问题赋予一个实际背景转化为实际问题。从而总结出平方法比较二次根式的大小练习若我想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长、宽比为3：2，不知道能否裁出来，你能帮我解决吗？这是一道实际应用问题，是一道综合题，既用到这节课拓展的方程，又用到了二次根式比较大小。5
通过回顾与反思将知识内化、方法迁移，以实现自身知识体系的再完善和再提升这道题具有诊断评价的作用.小结 我们一起回顾一下这节课的主要内容，今天这节课把二次根式与方程、方程组进行适度的拓展与整合，并会用平方运算把比较二次根式的大小转化解决简单的实际问题，同时借助实际问题的背景下梳理旧知，并发现一种新的方程形如：x2=a（a≥0）的形式，可以利用开平方,降次直接解得.学生通过回顾与反思将知识内化、方法迁移，从而完善自我的认知体系.作业1.如图，从一个大正方形中裁去面积为15cm2和24cm2的两个小正方形，求留下部分的面积．15cm224cm22.在下列各方程后面的括号内分别给出了一组数，从中找出方程的解：5
