综合测评(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若集合M={0,1,2,3},N={x∈N|0≤x≤2},则M∩N中元素的个数为( )A.0B.4C.2D.32.命题p:∃x∈R,x2+2x+2≤0,则¬p为( )A.∀x∈R,x2+2x+2>0B.∀x∈R,x2+2x+2≥0C.∃x∈R,x2+2x+2>0D.∃x∈R,x2+2x+2≥03.设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是( )A.f(π)>f(-3)>f(-2)B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)<f(-3)<f(-2)D.f(π)<f(-2)<f(-3)4.设函数y=f(x)有5个零点x1,x2,x3,x4,x5,且对一切实数x均满足f(x+4)+f(-x)=0,则x1+x2+x3+x4+x5=( )A.8B.10C.16D.205.已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递增,则对实数a,b,a>b是f(a)>f(b)的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.若函数g(x)=xf(x)的定义域为R,图像关于原点对称,在(-∞,0)上是减函数,且g(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,2)7.已知x>0,y>0,且4x+y=xy,则x+y的最小值为( )12
A.8B.9C.12D.168.用符号[x]表示不超过x的最大整数,如[1.8]=1,[-1.3]=-2,设{x}=x-[x],若方程{x}+kx-1=0有且只有3个实数根,则正实数k的取值范围为( )A.13,12B.13,12C.14,13D.14,13二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)9.若全集U={0,1,2,3,4},集合M={0,1,4},N={0,1,3},则( )A.M∩N={0,1}B.∁UN={4}C.集合M的真子集个数为8D.M∩(∁UN)={4}10.下列函数中值域为R的有( )A.f(x)=3x-1B.f(x)=1xC.f(x)=x2,x≤2-(x-2)2,x>2D.f(x)=|x|-211.已知f(x)=x+1x-1(x≠±1),则下列各式成立的是( )A.f(x)+f(-x)=0B.f(x)-1f(-x)=0C.f(x)·f(-x)=1D.f(x)-f(-x)=012.下列函数在其定义域上既是减函数又是奇函数的有( )A.f(x)=1xB.f(x)=-x3C.f(x)=x|x|D.f(x)=-x三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.已知全集U=R,集合A={x|x(x+2)<0},B={x||x|≤1},则如图所示的阴影部分表示的区间是 . 12
14.已知函数f(x)=3x+1,x<2,x2+ax,x≥2,若ff23=-6,则实数a的值为 . 15.对于函数f(x)=1x(x>0)的定义域中任意x1,x2(x1≠x2)有如下结论:①f(x1+x2)=f(x1)+f(x2);②f(x1x2)=f(x1)f(x2);③f(x1)-f(x2)x1-x2>0;④fx1+x22<f(x1)+f(x2)2.其中正确结论的序号是 . 16.若关于x的不等式|ax-1|≤2在[-1,1]上恒成立,则实数a的取值范围为 . 四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)设集合A={y|y=x2,2≤x≤2},B=xy=x+13-x,C={x|t+1<x<2t,t∈R}.(1)求A∩B;(2)若A∩C=C,求实数t的取值范围.18.(12分)在①∃x∈R,x2+2ax+2-a=0,②存在区间A=(2,4),B=(a,3a),使得A∩B=⌀这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.问题:求解实数a,使得命题p:∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题q: 都是真命题. (若选择两个条件分别解答,则只按第一个解答计分)19.(12分)某小区要建一座八边形的休闲公园,如图所示,它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形地域,计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为4200元/m2,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪,造价为210元/m2,再在四个角上铺草坪,造价为80元/m2.受地域影响,AD的长最多能达到23m,其余的边长没有限制.12
(1)设总造价为S元,AD的长为xm,试求S关于x的函数关系式;(2)当x取何值时,S最小,并求出这个最小值.20.(12分)设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x+1.(1)求f(x)的解析式;(2)当x<0时,方程f(x)=x2+tx+2t仅有一实根(若有重根按一个计算),求实数t的取值范围.12
21.(12分)已知函数f(x)=x2+12x,a,b均为正数.(1)若a+b=2,求证:f(a)+f(b)≥3;(2)若f(-a)=f(b),求a+b的最小值.22.(12分)已知函数y=x+tx有如下性质:如果常数t>0,那么该函数在(0,t]上是减函数,在[t,+∞)上是增函数.(1)已知f(x)=4x2-12x-32x+1,x∈[0,1],利用上述性质,求函数f(x)的单调区间和值域;12
(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)=-x-2a,若对任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1)成立,求实数a的值.答案全解全析全书综合测评1.D2.A3.A4.B5.D6.C7.B8.B9.AD10.AC11.BC12.BD一、单项选择题1.D ∵N={x∈N|0≤x≤2}={0,1,2},∴M∩N={0,1,2},∴M∩N中元素的个数为3.故选D.2.A 因为命题p为存在量词命题,所以¬p为“∀x∈R,x2+2x+2>0”.故选A.3.A ∵偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,∴在区间(-∞,0]上f(x)是减函数,f(-π)=f(π),∴f(π)>f(-3)>f(-2).故选A.4.B 对于任意x∈R,函数f(x)满足f(x+4)+f(-x)=0,∴函数的图像关于点(2,0)对称,∴函数f(x)的零点关于直线x=2对称,∴函数f(x)的5个零点中有2对关于直线x=2对称,中间的零点是2,∴x1+x2+x3+x4+x5=2×4+2=10.故选B.5.D 因为f(x)为偶函数,且在[0,+∞)单调递增,所以函数f(x)在(-∞,0]单调递减,且函数f(x)的图像关于y轴对称.若a>0>-a>b,根据函数单调性可得f(-a)<f(b),即f(a)<f(b),所以由a>b不能推出f(a)>f(b);若f(a)>f(b),根据函数的单调性可得|a|>|b|,也不能推出a>b.综上,a>b是f(a)>f(b)的既不充分也不必要条件.故选D.6.C 函数g(x)=xf(x)的定义域为R,图像关于原点对称,所以g(x)是奇函数,所以g(-2)=-g(2)=0,g(0)=0.因为函数g(x)在(-∞,0)上是减函数,所以g(x)在(0,+∞)上也是减函数.作出函数g(x)=xf(x)的大致图像如图所示.12
由图可知,使得f(x)<0的x的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).7.B 由4x+y=xy得4y+1x=1,则x+y=(x+y)4y+1x=4xy+yx+1+4≥24+5=9,当且仅当4xy=yx,即x=3,y=6时取等号.故选B.8.B 方程{x}+kx-1=0有且只有3个实数根等价于y={x}的图像与y=-kx+1的图像有且只有3个交点,当0≤x<1时,{x}=x,当1≤x<2时,{x}=x-1,当2≤x<3时,{x}=x-2,当3≤x<4时,{x}=x-3,以此类推,如图所示,则正实数k的取值范围为13,12.故选B.二、多项选择题9.AD 由题意,M∩N={0,1},A正确;∁UN={2,4},B不正确;集合M的真子集个数为23-1=7,C不正确;M∩(∁UN)={0,1,4}∩{2,4}={4},D正确.故选AD.10.AC 对于A,函数f(x)=3x-1的值域为R,故A正确;对于B,函数f(x)=1x的值域为{x|x≠0},故B错误;对于C,当x≤2时,函数f(x)=x2∈[0,+∞),当x>2时,f(x)=-(x-2)2∈(-∞,0),所以函数f(x)=x2,x≤2,-(x-2)2,x>2的值域为R,故C正确;对于D,函数f(x)=|x|-2的值域为[-2,+∞),故D错误.11.BC ∵f(x)+f(-x)=x+1x-1+-x+1-x-1=2x2+2x2-1≠0,∴A不符合题意;∵f(x)-1f(-x)=x+1x-1--x-1-x+1=0,∴B符合题意;∵f(x)·f(-x)=x+1x-1×-x+1-x-1=1,∴C符合题意;12
∵f(x)-f(-x)=x+1x-1-x-1x+1=4xx2-1,不恒等于0,∴D不符合题意.故选BC.12.BD 对于A,f(x)=1x在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上是奇函数,但在定义域上不是减函数,故不满足题意;对于B,f(x)=-x3在定义域R上是奇函数,且是减函数,故满足题意;对于C,f(x)=x|x|=x2,x≥0,-x2,x<0在定义域R上是奇函数,且是增函数,故不满足题意;对于D,f(x)=-x在定义域R上是奇函数,且是减函数,故满足题意.故选BD.三、填空题13.答案 (-2,-1)∪[0,1]解析 因为集合A={x|x(x+2)<0},B={x||x|≤1},所以A={x|-2<x<0},B={x|-1≤x≤1},所以A∪B=(-2,1],A∩B=[-1,0),所以题图中阴影部分表示的区间为∁A∪B(A∩B)=(-2,-1)∪[0,1].14.答案 -5解析 ∵f23=3×23+1=3,∴ff23=f(3)=9+3a=-6,解得a=-5.15.答案 ②④解析 ①令x1=1,x2=2,则f(x1+x2)=13≠f(x1)+f(x2)=32,故①错误;②对于任意x1,x2(x1≠x2),有f(x1x2)=1x1x2=f(x1)f(x2),故②正确;③f(x1)-f(x2)x1-x2=-1x1x2<0,故③错误;④fx1+x22-f(x1)+f(x2)2=2x1+x2-1x1+1x22=-(x1-x2)22x1x2(x1+x2)<0,故④正确.则正确结论的序号是②④.16.答案 [-1,1]解析 ∵不等式|ax-1|≤2,∴-2≤ax-1≤2,∴-1≤ax≤3,x∈[-1,1].若a>0,则-a≤ax≤a,∴a≤3,-a≥-1,a>0,解得0<a≤1;12
若a=0,则-1≤0≤3,满足条件;若a<0,则a≤ax≤-a,∴-a≤3,a≥-1,a<0,解得-1≤a<0.综上,实数a的取值范围是[-1,1].四、解答题17.解析 (1)∵A={y|y=x2,2≤x≤2},∴A={y|2≤y≤4}.(2分)∵B=xy=x+13-x,∴B={x|0≤x<3},(4分)∴A∩B={x|2≤x<3}.(5分)(2)∵A∩C=C,∴C⊆A,(6分)①若C是空集,则2t≤t+1,解得t≤1,符合题意;②若C为非空集合,则t+1≥2,2t≤4,t+1<2t,解得1<t≤2.(9分)综上所述,实数t的取值范围为t≤2.(10分)18.解析 选条件①.由命题p为真,可得不等式x2-a≥0在x∈[1,2]上恒成立.(1分)因为x∈[1,2],所以1≤x2≤4,所以a≤1.(3分)由命题q为真,可得方程x2+2ax+2-a=0有解,(5分)所以判别式Δ=4a2-4(2-a)≥0,所以a≥1或a≤-2.(8分)又因为p,q都为真命题,所以a≤-2或a=1.(10分)所以实数a的取值范围是{a|a≤-2或a=1}.(12分)选条件②.由命题p为真,可得不等式x2-a≥0在x∈[1,2]上恒成立.(1分)12
因为x∈[1,2],所以1≤x2≤4,所以a≤1.(3分)因为集合B=(a,3a),所以a>0,(5分)由A∩B=⌀得a≥4或3a≤2,即0<a≤23或a≥4.(8分)又因为p,q都为真命题,所以0<a≤23.(10分)所以实数a的取值范围是a|0<a≤23.(12分)19.解析 (1)设AM=zm,则4zx+x2=200,(2分)∴z=200-x24x,(4分)∴S=4200x2+210×(200-x2)+80×2×200-x24x×200-x24x=4000x2+100x2+38000(0<x≤23).(8分)(2)∵x2+100x2≥20当且仅当x2=100x2,即x=10时,等号成立,(10分)∴当x=10时,S最小,最小值为4000×20+38000=118000.(12分)20.解析 (1)由题意得,当x=0时,f(x)=0;(2分)当x<0时,-x>0,则f(-x)=2(-x)+1=-2x+1,即f(x)=-f(-x)=-(-2x+1)=2x-1. (4分)综上,f(x)=2x+1,x>0,0,x=0,2x-1,x<0.(6分)(2)当x<0时,方程f(x)=x2+tx+2t仅有一实根,即2x-1=x2+tx+2t的负根仅有一个,(7分)即x2+(t-2)x+2t+1=0的负根仅有一个,设g(x)=x2+(t-2)x+2t+1,g(x)=0的两实根分别为x1,x2,当x1<0<x2时,g(0)<0,即2t+1<0,解得t<-12,符合题意;当x1<0=x2时,g(0)=0,即t=-12,此时x2-52x=0,解得x=0或x=52,不符合题意,舍去;当x1=x2<0时,Δ=(t-2)2-4(2t+1)=0,-t-22<0,解得t=12,符合题意.(10分)综上,实数t的取值范围是t=12或t<-12.(12分)12
21.解析 (1)证明:∵a+b=2,且a,b均为正数,∴ab≤a+b22=1,当且仅当a=b=1时,取等号,(2分)令t=ab,则0<t≤1,∴f(a)+f(b)=a2+b2+12a+12b=4-2ab+1ab=4-2t+1t,令h(t)=4-2t+1t,易知h(t)在(0,1]上为减函数,(4分)∴h(t)≥h(1)=4-2+1=3,即f(a)+f(b)≥3.(6分)(2)∵f(-a)=f(b),∴a2-12a=b2+12b,∴a2-b2=a+b2ab,∵a,b均为正数,∴a+b≠0,∴a-b=12ab>0,∴2ab=1a-b,(8分)∴(a+b)2=(a-b)2+4ab=(a-b)2+2a-b,令x=a-b,则x>0,可设g(x)=x2+2x,x>0,(9分)任取x1,x2∈[1,+∞),且x1>x2≥1,则g(x1)-g(x2)=x12+2x1-x22-2x2=(x1-x2)·x1+x2-2x1x2,易知x1-x2>0,x1+x2>2,2x1x2<2,∴g(x1)-g(x2)>0,∴g(x1)>g(x2),同理,任取x1,x2∈(0,1],且x1>x2,则g(x1)<g(x2),∴g(x)=x2+2x在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,(11分)∴g(x)min=g(1)=3,即(a+b)min2=3,∴(a+b)min=3,∴a+b的最小值为3.(12分)22.解析 (1)y=f(x)=4x2-12x-32x+1=(2x+1)2-8(2x+1)+42x+1=2x+1+42x+1-8,(2分)设u=2x+1,因为x∈[0,1],所以1≤u≤3,则y=u+4u-8,u∈[1,3].(3分)由题中所给出的性质得,当1≤u≤2,即0≤x≤12时,f(x)单调递减,所以函数f(x)的单调递减区间为0,12;当2≤u≤3,即12≤x≤1时,f(x)单调递增,所以函数f(x)的单调递增区间为12,1.(5分)12
因为f(0)=-3,f12=-4,f(1)=-113,所以f(x)的值域为[-4,-3].(6分)(2)g(x)=-x-2a为减函数,故当x∈[0,1]时,g(x)∈[-1-2a,-2a].(8分)由题意得f(x)的值域是g(x)的值域的子集,(9分)所以-1-2a≤-4,-2a≥-3,(11分)解得a=32.(12分)12
