模块综合检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{－1,1,2}，集合N＝{y|y＝x2，x∈M}，则M∩N＝( )A．{1,2,4}B．{1}C．{1,2}D．{4}【答案】B 【解析】因为M＝{－1,1,2}，x∈M，所以x＝－1或1或2.由y＝x2得y＝1或4，所以N＝{1,4}．所以M∩N＝{1}．2．已知集合M＝{x|y＝}，N＝，则M∪N＝( )A．(0,1]B．C．D．(0，＋∞)【答案】A 【解析】因为集合M＝{x|y＝}＝，N＝＝，所以M∪N＝{x|0＜x≤1}＝(0,1]．故选A．3．函数f(x)＝x3－x2－1的零点所在的区间可以是( )A．(0,1)B．(－1,0)C．(1,2)D．(2,3)【答案】C 【解析】函数f(x)＝x3－x2－1是连续函数．因为f(1)＝1－1－1＝－1<0，f(2)＝8－4－1＝3>0，所以f(1)·f(2)<0，所以函数f(x)的零点所在的区间可以是(1,2)．故选C．4．设x，y，z∈R，条件p：xz2＞yz2，条件q：x＞y，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】因为条件p：xz2＞yz2⇒条件q：x＞y；反之，则不成立，例如取z＝0，xz2＝yz2.则p是q的充分不必要条件．故选A．5．下列关系中，正确的是( )A．＞B．20.1＞20.2C．2－0.1＞2－0.2D．－＞－8
【答案】C 【解析】对于A，＞，所以＜，所以A错误；对于B,0.1＜0.2，所以20.1＜20.2，所以B错误；对于C，－0.1＞－0.2，所以2－0.1＞2－0.2，所以C正确；对于D，－＞－，所以－＜－，所以D错误．故选C．6．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(15)＝( )A．5B．C．2D．－2【答案】D 【解析】由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数．所以f(15)＝f(3×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－2.故选D．7．三个数a＝70.3，b＝0.37，c＝log70.3，则( )A．c＜b＜aB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．a＜c＜b【答案】A 【解析】因为a＝70.3＞70＝1,0＜b＝0.37＜0.30＝1，c＝log70.3＜log71＝0，所以c＜b＜a.故选A．8．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下列说法错误的是( )A．函数f(x)的最小正周期是πB．函数f(x)是偶函数C．函数f(x)的图象关于点中心对称D．函数f(x)在上单调递增【答案】D 【解析】因为f(x)＝sin＝－sin＝cos2x，所以函数f(x)是偶函数，且最小正周期T＝＝π，故A，B正确；由2x＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝，所以函数f(x)的图象关于点中心对称，故C正确；当x∈时，2x∈[0，π]，所以函数f(x)在上单调递减，故D不正确．故选D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列四个选项，正确的有( )A．点P(tanα，sinα)在第三象限，则α是第二象限角8
B．若三角形的两内角A，B，满足sinAcosB＜0，则此三角形必为钝角三角形C．sin145°cos(－210°)＞0D．sin3·cos4·tan5＞0【答案】BD 【解析】对于A，由题意知tanα＜0且sinα＜0，所以α是第四象限角，故A错误；对于B，因为A，B∈(0，π)，且sinAcosB＜0，所以sinA＞0，cosB＜0，三角形必为钝角三角形，故B正确；对于C，因为145°是第二象限角，所以sin145°＞0，因为－210°＝－360°＋150°，所以－210°是第二象限角，则cos(－210°)＜0，故sin145°cos(－210°)＜0，故C错误；对于D，因为<3＜π，π＜4＜，＜5＜2π，所以sin3＞0，cos4＜0，tan5＜0，sin3·cos4·tan5＞0.故D正确．故选BD．10．函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则( )A．f(x)为奇函数B．f(x)为周期函数C．f(x＋3)为奇函数D．f(x＋4)为偶函数【答案】ABC 【解析】因为f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)①，f(－x＋2)＝－f(x＋2)②.所以由①可得f[－(x＋1)＋1]＝－f(x＋1＋1)，即f(－x)＝－f(x＋2)③.所以由②③得f(－x)＝f(－x＋2)．所以f(x)的周期为2.所以f(x)＝f(x＋2)，则f(x)为奇函数．所以f(x＋1)＝f(x＋3)，则f(x＋3)为奇函数．故选ABC．11．已知实数x，y满足ax＞ay＞1(0＜a＜1)，则下列关系式正确的为( )A．x2＋1＞y2B．|1－x|＞|y－1|C．sinx＞sinyD．x3＞y3【答案】AB 【解析】因为实数x，y满足ax＞ay＞1(0＜a＜1)，所以x＜y＜0.所以x2＋1＞y2，故A正确；－x＞－y＞0，1－x＞1－y＞1，|1－x|＞|y－1|，故B正确；不一定有sinx＞siny，故C不一定正确；x3＜y3，故D不正确．故选AB．12.在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5h的生产情况画出了某种产品的累计总产量y(单位：kg)与时间x(单位：h)的函数图象，则以下关于该产品生产状况的正确判断是( )A．在前三小时内，每小时的产量逐步增加B．在前三小时内，每小时的产量逐步减少C．最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同D．最后两小时内，该车间没有生产该产品8
【答案】BD 【解析】由该车间5h来某种产品的总产量y(kg)与时间x(h)的函数图象，得：前3h的总产量逐步减少，故A错误，B正确；后2h均没有生产，故C错误，D正确．故选BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“∃x∈(0，＋∞)，lnx＝x－1”的否定是________．【答案】∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1 【解析】命题的否定要把存在量词改为全称量词，把结论否定．因此把存在量词“∃”改为全称量词“∀”，把“＝”变为“≠”，即∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1.14．已知函数f(x)＝2logx的定义域为[2,4]，则函数f(x)的值域是________．【答案】[－4，－2] 【解析】因为y＝logx在(0，＋∞)上是减函数，所以当2≤x≤4时，log4≤logx≤log2，即－2≤logx≤－1，所以－4≤2logx≤－2，所以函数f(x)的值域为[－4，－2]．15．(2020年天河区一模)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx＋cosx取得最大值，则tan＝________.【答案】2＋ 【解析】f(x)＝sinx＋cosx＝2sin，因为当x＝θ时，函数f(x)取得最大值，所以θ＋＝＋2kπ，k∈Z，所以θ＝＋2kπ，k∈Z.所以tan＝tan＝tan＝＝2＋.16．已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f(x)＋g(x)＝2·3x，则函数f(x)＝________.【答案】3x＋3－x四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．二次函数f(x)满足f(x＋2)＝f(－x)，f(1)＝2，f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)解关于x的不等式f(x)＜－ax2＋(3－2a)x＋1(a∈R)．解：(1)由二次函数f(x)满足f(x＋2)＝f(－x)，可知二次函数f(x)的对称轴为x＝1，又有f(1)＝2，设二次函数f(x)＝m(x－1)2＋2(m≠0)，8
因为f(0)＝1.所以f(0)＝m＋2＝1，所以m＝－1.f(x)的解析式为f(x)＝－(x－1)2＋2，即f(x)＝－x2＋2x＋1.(2)关于x的不等式f(x)＜－ax2＋(3－2a)x＋1⇔(a－1)x2＋(2a－1)x＜0.①当a＝1时，不等式⇔x＜0.②当a≠1时，方程(a－1)x2＋(2a－1)x＝0有两个实根0，.当a＝时，＝0，不等式⇔x2＞0，所以x≠0；当a＞1时，＜0，不等式⇔x＜0，所以＜x＜0；当<a＜1时，＞0，不等式⇔x＞0，所以x＜0或x＞；当a＜时，＜0，不等式⇔x＞0，所以x＜或x＞0.故当a＝1时，不等式的解集为{x|x＜0}；当a＝时，不等式的解集为{x|x≠0}；当a＞1时，不等式的解集为；当<a＜1时，不等式的解集为；当a＜时，不等式的解集为.18．乔经理到老陈的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：乔经理的采购价y(元/吨)与采购量x(吨)之间的函数关系的图象如图中的折线段ABC所示(不包含端点A，但包含端点C)．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)已知老陈种植该水果的成本是2800元/吨，那么乔经理的采购量为多少时，老陈在这次买卖中所获得的利润W最大？最大利润是多少？解：(1)当0<x≤20时，y＝8000；当20<x≤40时，设BC满足的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，则解得k＝－200，b＝12000，所以y＝－200x＋12000.综上，y＝(2)当0<x≤20时，老陈获得的利润为W＝(8000－2800)x＝5200x≤104000，8
此时老陈获得的最大利润为104000元．当20<x≤40时，老陈获得的利润为W＝(－200x＋12000－2800)x＝－200(x2－46x)＝－200(x－23)2＋105800，所以当x＝23时，利润W取得最大值，最大值为105800元．因为105800>104000，所以当乔经理的采购量为23吨时，老陈在这次买卖中所获得的利润最大，最大利润为105800元．19．已知函数f(x)是定义在(－1,1)上的偶函数，当x∈[0,1)时，f(x)＝x－log2(1－x)．(1)求函数f(x)在(－1,1)上的解析式；(2)求不等式f(loga)－＜0.解：(1)设x∈(－1,0)，则－x∈(0,1)，故f(－x)＝－x－log2(1＋x)，又函数f(x)是定义在(－1,1)上的偶函数，故f(－x)＝f(x)，则f(x)＝f(－x)＝－x－log2(1－x)，由上可知f(x)＝.(2)不等式f(loga)－＜0可化为f(loga)＜f，当x∈[0,1)时，f(x)＝x－log2(1－x)是增函数，又函数是偶函数，故x∈(－1,0)时f(x)单调递减．则不等式可化为－＜log＜，得－1＜logax＜1故当a＞1时，不等式解集为(a－1，a)；当0＜a＜1时，不等式解集为(a，a－1)．20．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求f(x)的解析式；(2)f＝，求cos.解：(1)因f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.又因f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2·＋φ＝kπ＋，k∈Z.又－≤φ＜，得k＝0，解得φ＝－＝－.因此所求解析式为f(x)＝sin.8
(2)由(1)得f＝sin＝，所以sin＝.由＜α＜，得0＜α－＜，所以cos＝＝.因此cos＝sinα＝sin＝sincos＋cossin＝×＋×＝.21．设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0.(1)求ω；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．解：(1)因为f(x)＝sin＋sin，所以f(x)＝sinωx－cosωx－cosωx＝sinωx－cosωx＝＝sin.由题设知f＝0，所以－＝kπ，k∈Z.故ω＝6k＋2，k∈Z.又0<ω<3，所以ω＝2.(2)由(1)得f(x)＝sin，所以g(x)＝sin＝sin.因为x∈，所以x－∈.当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.22．已知定义域为I＝(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数f(x)满足对任意x1，x2∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(x1x2)＝x1f(x2)＋x2f(x1)．(1)求证：f(x)是奇函数．(2)设g(x)＝，且x＞1时g(x)＜0.①求证：g(x)在(0，＋∞)上单调递减；②求不等式g(2x－1)＞g(3x)的解集．8
解：(1)取x1＝x2＝1，可得f(1)＝0，取x1＝x2＝－1，可得f(－1)＝0，取x1＝x，x2＝－1，可得f(－x)＝xf(－1)－f(x)＝－f(x)．所以f(x)是奇函数．(2)①因为f(x)是奇函数，所以g(x)＝是偶函数．由f(x1x2)＝x1f(x2)＋x2f(x1)，可得有g(x1x2)＝g(x2)＋g(x1)．设x1＞x2＞0，则＞1，x＞1时g(x)＜0，可得g＜0.所以g(x1)＝g＝g(x2)＋g＜g(x2)．所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减．②因为g(x)是偶函数且在(0，＋∞)上是单调递减，所以不等式g(2x－1)＞g(3x)．所以所以则x＜－1或x＞或＜x＜.所以不等式g(2x－1)＞g(3x)的解集为(－∞，－1)∪∪.8
