对数函数的图象和性质的应用(习题课)[A级 基础巩固]1．已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是( )A．0<k<1 B．0≤k<1C．k≤0或k≥1D．k＝0或k≥1解析：选C 令t＝x2－2kx＋k，由y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，得函数t＝x2－2kx＋k的图象一定恒与x轴有交点，所以Δ＝4k2－4k≥0，即k≤0或k≥1.2．(多选)设集合A＝{x|y＝lgx}，B＝{y|y＝lgx}，则下列关系中不正确的有( )A．A∪B＝BB．A∩B＝∅C．A＝BD．A⊆B解析：选BC 由题意知集合A＝{x|x>0}，B＝{y|y∈R}，所以A⊆B.3．已知函数f(x)＝lg(x2＋1)，则( )A．f(x)是偶函数B．f(x)是奇函数C．f(x)是R上的增函数D．f(x)是R上的减函数解析：选A 因为f(－x)＝lg[(－x)2＋1]＝lg(x2＋1)＝f(x)，且定义域为R，关于原点对称，所以f(x)是偶函数．故选A.4．(2021·浙江杭州西湖区高一月考)若定义运算f(a⊗b)＝则函数f(log2(1＋x)⊗log2(1－x))的值域是( )A．(－1，1)B．[0，1)C．[0，＋∞)D．[0，1]解析：选B ∵f(a⊗b)＝∴y＝f(log2(1＋x)⊗log2(1－x))＝当0≤x<1时，函数y＝log2(1＋x)，因为y＝log2(1＋x)在[0，1)上为增函数，所以y∈[0，1)．当－1<x<0时，函数y＝log2(1－x)，因为y＝log2(1－x)在(－1，0)上为减函数，所以y∈(0，1)．综上可得y∈[0，1)，所以函数f(log2(1＋x)⊗log2(1－x))的值域为[0，1)，故选B.6
5．函数f(x)＝|logx|的单调递增区间是( )A.B．(0，1]C．(0，＋∞)D．[1，＋∞)解析：选D f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．6．如果函数f(x)＝(3－a)x与g(x)＝logax的增减性相同，则实数a的取值范围是________．解析：若f(x)，g(x)均为增函数，则即1<a<2；若f(x)，g(x)均为减函数，则无解，故1<a<2.答案：(1，2)7．函数y＝log0.3(3－2x)在其定义域内是________函数(填“增”或“减”)．解析：由3－2x>0，解得x<.设t＝3－2x，x∈.因为函数y＝log0.3t是减函数，且函数t＝3－2x是减函数，所以函数y＝log0.3(3－2x)在上是增函数．答案：增8．已知函数f(x)＝|lgx|＋2，若实数a，b满足b>a>0，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是________．解析：由f(x)的图象可知，0<a<1<b，又f(a)＝f(b)，因此|lga|＝|lgb|，于是lga＝－lgb，则b＝，所以a＋2b＝a＋，设g(a)＝a＋(0<a<1)．6
因为g(a)在(0，1)上为减函数，所以g(a)>g(1)＝3，即a＋>3，所以a＋2b的取值范围是(3，＋∞)．答案：(3，＋∞)9．设函数f(x)＝lg(a∈R)，且f(1)＝0.(1)求a的值；(2)判断f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义证明．解：(1)函数f(x)＝lg(a∈R)，且f(1)＝0，则f(1)＝lg＝0.则＝1，解得a＝2.(2)f(x)＝lg在区间(0，＋∞)上单调递减．证明：设0<x1<x2，f(x1)－f(x2)＝lg－lg＝lg＝lg(x2＋1)－lg(x1＋1)，因为0<x1<x2，所以lg(x2＋1)>lg(x1＋1)，即f(x1)>f(x2)，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．10．已知函数f(x)＝log2x.(1)若f(a)>f(2)，求a的取值范围；(2)求y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最值．解：函数f(x)＝log2x的图象如图所示．(1)∵f(x)＝log2x为增函数，f(a)>f(2)，∴log2a>log22.∴a>2，即a的取值范围是(2，＋∞)．(2)∵2≤x≤14，∴3≤2x－1≤27.∴log23≤log2(2x－1)≤log227.∴函数f(x)＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最小值为log23，最大值为log227.[B级 综合运用]11．若函数f(x)＝对任意x1≠x2，都有6
<0，则实数a的取值范围是( )A．(0，1)B.C.D.解析：选D 由条件知，分段函数f(x)在R上单调递减，则所以所以≤a<，故选D.12．(多选)已知函数f(x)＝(log2x)2－log2x2－3，则下列说法正确的是( )A．f(4)＝－3B．函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点C．函数y＝f(x)的最小值为－4D．函数y＝f(x)的最大值为4解析：选ABC A正确，f(4)＝(log24)2－log242－3＝－3；B正确，令f(x)＝0，得(log2x＋1)(log2x－3)＝0，解得x＝或x＝8，即f(x)的图象与x轴有两个交点；C正确，因为f(x)＝(log2x－1)2－4(x>0)，所以当log2x＝1，即x＝2时，f(x)取最小值－4；D错误，f(x)没有最大值．13．已知函数y＝loga(2－ax)在[0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．解析：令u＝2－ax，则y＝logau，因为a＞0，所以u＝2－ax递减，由题意知y＝logau在[0，1]内递增，所以a＞1.又u＝2－ax在x∈[0，1]上恒大于0，所以2－a＞0，即a＜2，综上，1＜a＜2.答案：(1，2)14．已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1.(1)求a的值；(2)解不等式log(x－1)>log(a－x)；(3)求函数g(x)＝|logax－1|的单调区间．6
解：(1)∵loga3>loga2，∴a>1，∴y＝logax在[a，2a]上为增函数，∴loga(2a)－logaa＝loga2＝1，∴a＝2.(2)依题意可知解得1<x<，∴不等式的解集为.(3)g(x)＝|log2x－1|，∴当x＝2时，g(x)＝0，则g(x)＝∴函数g(x)在(0，2]上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，∴g(x)的单调递减区间为(0，2]，单调递增区间为(2，＋∞)．[C级 拓展探究]15．某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以函数f(x)＝lg为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下：①同学甲发现：函数f(x)的定义域为(－1，1)；②同学乙发现：函数f(x)是偶函数；③同学丙发现：对于任意的x∈(－1，1)都有f＝2f(x)；④同学丁发现：对于任意的a，b∈(－1，1)，都有f(a)＋f(b)＝f；⑤同学戊发现：对于函数f(x)定义域中任意的两个不同实数x1，x2，总满足＞0.其中所有正确研究成果的序号是__________．解析：在①中，因为f(x)＝lg，所以＞0，解得函数的定义域为(－1，1)，所以①是正确的；在②中，f(x)＝lg＝－lg＝－f(－x)，所以函数f(x)为奇函数，所以②是错误的；在③中，对于任意x∈(－1，1)，有f＝lg＝lg＝lg，又2f(x)＝2lg＝lg，所以③是正确的；在④中，6
对于任意的a，b∈(－1，1)，有f(a)＋f(b)＝lg＋lg＝lg＝lg，又f＝lg＝lg，所以④是正确的；在⑤中，对于函数f(x)的定义域中任意的两个不同实数x1，x2，总满足＞0，即说明f(x)是单调递增函数，但f(x)＝lg＝lg是减函数，所以⑤是错误的．综上可知，正确研究成果的序号为①③④.答案：①③④6
