复数的三角表示式 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义[A级 基础巩固]1．若a<0，则a的三角形式为( )A．a(cos0＋isin0) B．a(cosπ＋isinπ)C．－a(cosπ＋isinπ)D．－a(cosπ－isinπ)解析：选C 因为a<0，所以辐角主值为π，故其三角形式为－a(cosπ＋isinπ)．故选C.2．复数(sin10°＋icos10°)(sin10°＋icos10°)的三角形式是( )A．sin30°＋icos30°B．cos160°＋isin160°C．cos30°＋isin30°D．sin160°＋icos160°解析：选B (sin10°＋icos10°)(sin10°＋icos10°)＝(cos80°＋isin80°)(cos80°＋isin80°)＝cos160°＋isin160°.故选B.3．(多选)设p：两个复数z1，z2的模与辐角分别相等，q：z1＝z2，则( )A．p⇒qB．p⇒/qC．q⇒pD．q⇒/p解析：选AD 当两个复数z1，z2的模与辐角分别相等时，z1＝z2成立；当z1＝z2时，两个复数的模相等，但辐角不一定相等，故p⇒q，q⇒/p．故选A、D.4．将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是( )A．＋iB．－＋iC．－－iD．－i解析：选A i＝cos＋isin，将绕原点按顺时针方向旋转得到＝cos＋isin＝＋i.5．2÷2(cos60°＋isin60°)＝( )A.＋iB.－iC.＋iD.－i解析：选B 2÷2(cos60°＋isin60°)5
＝2(cos0°＋isin0°)÷2(cos60°＋isin60°)＝cos(0°－60°)＋isin(0°－60°)＝cos(－60°)＋isin(－60°)＝－i.故选B.6．若|z|＝2，argz＝，则复数z＝________．解析：由题意知，z＝2＝1＋i.答案：1＋i7．复数cos＋isin的辐角主值是________．解析：原式＝cos＋isin＝cos＋isin，故其辐角主值为.答案：8．计算(cos40°＋isin40°)÷(cos10°＋isin10°)＝________．解析：(cos40°＋isin40°)÷(cos10°＋isin10°)＝cos(40°－10°)＋isin(40°－10°)＝cos30°＋isin30°＝＋i.答案：＋i9．下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．(1)－2；(2)sin＋icos.解：(1)不是．－2＝2＝2＝2.(2)不是．sin＋icos＝cos＋isin5
＝cos＋isin.10．计算：(1)2×；(2)2÷.解：(1)原式＝2×＝＝－＋i.(2)原式＝2÷＝2＝2＝－2i.[B级 综合运用]11．如果θ∈，那么复数(1＋i)(cosθ＋isinθ)的辐角的主值是( )A．θ＋B．θ＋C．θ－D．θ＋解析：选B (1＋i)(cosθ＋isinθ)＝·(cosθ＋isinθ)＝，∵θ∈，∴θ＋∈，∴该复数的辐角主值是θ＋.故选B.12．设z＝1＋i，则复数的代数形式为________，三角形式是________．解析：将z＝1＋i代入，得原式＝＝＝1－i5
＝.答案：1－i 13.如图所示，等边三角形ABC的两个顶点A，B所表示的复数分别是＋i和2，则点C所表示的复数为________．解析：∵A，B所表示的复数分别是＋i和2，所表示的复数为－i，把逆时针旋转60°得到，对应的复数为＝＋i，＝＋＝＋i＋＋i＝2＋i，即点C对应的复数是2＋i.答案：2＋i14．设z1＝＋i，z2＝1－i，z3＝sin＋icos，求的值．解：∵z1＝＋i＝2，z2＝1－i＝，∴＝＝＝4＝4＝－2－2i.[C级 拓展探究]15．设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，且z1·z在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，且argz2∈(0，π)，求z2的代数形式．解：因为z1＝＋i＝2(cos＋isin)，设z2＝2(cosα＋isinα)，α∈(0，π)，5
所以z1·z＝2×4(cos2α＋isin2α)＝8.由题设知2α＋＝2kπ＋(k∈Z)，所以α＝kπ＋(k∈Z)．又α∈(0，π)，所以α＝，所以z2＝2＝－1＋i.5
