复数的几何意义[A级 基础巩固]1．若复数a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点在实轴的上方，则( )A．a＞0且b＞0 B．a∈R且b＞0C．a≥0且b＞0D．a∈R且b＜0解析：选B 复数a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点在实轴的上方，则复数的实部a∈R，虚部b＞0.故选B.2．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列选项中正确的是( )A．z1＞z2B．z1＜z2C．|z1|＞|z2|D．|z1|＜|z2|解析：选D |z1|＝|5＋3i|＝＝，|z2|＝|5＋4i|＝＝.∵＜，∴|z1|＜|z2|.3．在复平面内，O为坐标原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量对应的复数为( )A．－2－iB．－2＋iC．1＋2iD．－1＋2i解析：选B 因为复数－1＋2i对应的点为A(－1，2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2，1)，所以对应的复数为－2＋i.4．(多选)设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是( )A．|z|＝B．复数z在复平面内对应的点在第四象限C．z的共轭复数为－1＋2iD．复数z在复平面内对应的点在直线y＝－2x上解析：选AC |z|＝＝，A正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限，B不正确；z的共轭复数为－1＋2i，C正确；复数z在复平面内对应的点(－1，－2)不在直线y＝－2x上，D不正确．故选A、C.5．已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于( )A．－1＋iB．1＋iC．－1＋i或1＋iD．－2＋i解析：选A 由题意得解得a＝－1.故z＝－1＋i.故选A.4
6．若复数z1＝1－i，z2＝3－5i，则复平面上与z1，z2对应的点Z1与Z2的距离为________．解析：z1＝1－i对应的点为(1，－1)，z2＝3－5i对应的点为(3，－5)，由两点间距离公式得|z1z2|＝＝2.答案：27．i是虚数单位，设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则xy＝________，|x＋yi|＝________．解析：由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi，∴x＝y＝1，∴xy＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝.答案：1 8．若复数z在复平面内对应的点在第二象限，|z|＝5，在复平面内对应的点在函数y＝x的图象上，则z＝________．解析：由题意设＝3t＋4ti(t∈R)，则z＝3t－4ti.∵|z|＝5，∴9t2＋16t2＝25，∴t2＝1.又z在复平面内对应的点在第二象限，∴t＜0，∴t＝－1，∴z＝－3＋4i.答案：－3＋4i9．在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数．解：记O为复平面的原点，由题意得＝(2，3)，＝(3，2)，＝(－2，－3)．设＝(x，y)，则＝(x－2，y－3)，＝(－5，－5)．由题知，＝，所以即故点D对应的复数为－3－2i.10．已知复数z1＝cosθ＋isin2θ，z2＝sinθ＋icosθ，求当θ满足什么条件时，(1)z1，z2是共轭复数；(2)|z2|<.解：(1)在复平面内，z1与z2是共轭复数，对应的点关于实轴对称，则4
⇒(k∈Z)，所以θ＝2kπ＋(k∈Z)．(2)由|z2|<，得<，即3sin2θ＋cos2θ<2，所以sin2θ<，所以kπ－<θ<kπ＋(k∈Z)．[B级 综合运用]11．(多选)设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中不正确的是( )A．z在复平面内对应的点在第一象限B．z一定不是纯虚数C．z在复平面内对应的点在实轴上方D．z一定是实数解析：选ABD ∵2t2＋5t－3的值可正、可负、可为0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1≥1，∴A、B、D中结论皆错误，C中结论正确．故选A、B、D.12．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的集合是( )A．1个圆B．线段C．2个点D．2个圆解析：选A 由题意知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1.∵|z|≥0，∴|z|＝3，∴复数z对应点的集合是以坐标原点为圆心，3为半径的圆．13．若复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应点Z，则|z|＝时，a＝________，此时Z与点(1，2)的距离是________．解析：∵|z|＝＝，∴a＝±1.∴z＝1＋i或－1＋i.当z＝1＋i时，Z为(1，1)，两点间距离为＝1；当z＝－1＋i时，Z为(－1，1)，两点间的距离为＝.答案：±1 1或14．已知复数z1＝－i，z2＝－＋i.(1)求||，||的值并比较大小；4
(2)设z∈C，且z在复平面内对应的点为Z，则满足|z2|≤|z|≤|z1|的点Z组成的集合是什么图形？并作图表示．解：(1)||＝|＋i|＝＝2，||＝＝＝1.所以||＞||.(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2.不等式1≤|z|≤2等价于不等式组因为满足|z|≤2的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为2的圆及其内部(包括边界)，而满足|z|≥1的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为1的圆的外部(包括边界)，所以满足条件的点Z组成的集合是一个圆环(包括边界)，如图中阴影部分所示．[C级 拓展探究]15．已知x为实数，复数z＝x－2＋(x＋2)i.(1)当x为何值时，复数z的模最小？(2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数y＝－mx＋n的图象上，其中mn＞0，求＋的最小值及取得最小值时m，n的值．解：(1)|z|＝＝≥2，当且仅当x＝0时，复数z的模最小，为2.(2)当复数z的模最小时，Z(－2，2)．又点Z位于函数y＝－mx＋n的图象上，所以2m＋n＝2.又mn＞0，所以＋＝＝＋＋≥＋，当且仅当n2＝2m2时等号成立．又2m＋n＝2，所以m＝2－，n＝2－2.所以＋的最小值为＋，此时m＝2－，n＝2－2.4
