2022版高考数学3-2-1精品系列专题05平面向量（教师版）【考点定位】2022考纲解读和近几年考点分布2022考纲解读（4）平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义 ②了解平面向量的数量积与向量投影的关系.③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.（5）向量的应用①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.考纲解读：要掌握平面向量的概念与性质（共线、模、夹角、垂直等）；在选择填空中要重视平面向量的几何运算,也要重视坐标运算（有时要自己建系）；要注意三角形的重心、垂心的向量判断；在其它知识如解析几何中要注意平面向量的工具作用（如平行、垂直可转化向量的关系求解）。近几年考点分布平面向量在高考试题中，主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用．平面向量的考查要求：第一，主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，考查学生掌握平面向量的和、差、数乘和数量积的运算法则，理解其直观的几何意义，并能正确地进行运算；第二，考察向量的坐标表示，及坐标形势下的向量的线性运算；第三，经常和函数、曲线、数列等知识结合，考察综合运用知识能力．在近几年的高考中，每年都有两道题目．其中小题以填空题或选择题形式出现，考查了向量的性质和运算法则，数乘、数量积、共线问题与轨迹问题．大题则以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题【考点pk】名师考点透析考点一、向量的概念、向量的基本定理例1、如图，平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°,且||＝||＝1，||＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R）,则λ+μ的值为.解：过C作与的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角BOC=90°角AOC=30°，=得平行四边形的边长为2和4，2+4=649用心爱心专心\n【名师点睛】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向本题考查平面向量的基本定理，向量OC用向量OA与向量OB作为基底表示出来后，求相应的系数，也考查了平行四边形法则。考点二、向量的运算例2、已知平面向量，且∥，则=（ ）A．（-2，-4）B.（-3，-6）C.（-4，-8）D.（-5，-10）解：由∥，得m＝－4，所以，＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8），故选（C）。【名师点睛】掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。例3、已知平面向量=（1，－3），=（4，－2），与垂直，则是（）A.－1B.1C.－2D.2例4、已知向量和的夹角为，，则 ．解：=，7【名师点睛】向量的模、向量的数量积的运算是经常考查的内容，难度不大，只要细心，运算不要出现错误即可。49用心爱心专心\n考点三、向量与三角函数的综合问题例5、已知向量,函数(1)求的最小正周期;(2)当时,若求的值．【名师点睛】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点，但通常难度不大，一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换，以及解三角形等知识点.例6、在中，角的对边分别为．（1）求；（2）若，且，求．解：（1）又解得．，是锐角．．（2）由，，．又．．．． 【名师点睛】本题向量与解三角形的内容相结合，考查向量的数量积，余弦定理等内容。考点四、平面向量与函数问题的交汇例7已知向量＝(cosx，sinx)，＝()，且x∈[0，]．（1）求（2）设函数+，求函数的最值及相应的的值。解：（I）由已知条件：，得：49用心爱心专心\n【名师点睛】本题考查向量、三角函数、二次函数的知识，经过配方后，变成开口向下的二次函数图象，要注意sinx的取值范围，否则容易搞错。平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。考点五、平面向量在平面几何中的应用OxACBayACBaQP例8如图在RtABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以A为中点，问与的夹角取何值时，的值最大？并求出这个最大值。解：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系。设|AB|=c，|AC|=b，则A（0，0），B（c，0），C（0，b）.且|PQ|=2a，|BC|=a.设点P的坐标为（x，y），则Q（-x，-y），∴cx-by=a2cos.∴=-a2+a2cos.故当cos=1，即=0（方向相同）时，的值最大，其最大值为0.【名师点睛】本题主要考查向量的概念，运算法则及函数的有关知识，平面向量与几何问题的融合。考查学生运用向量知识解决综合问题的能力。向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示．在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”49用心爱心专心\n紧密地结合在一起．因此，许多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证．也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中，赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决【三年高考】10、11、12高考试题及其解析2022年高考试题及解析一、选择题1．（2022年高考（重庆文））设,向量且,则A．B．C．D．【解析】,【考点定位】本题主要考查向量的数量积运算及向量垂直的充要条件,本题属于基础题,只要计算正确即可得到全分.2．（2022年高考（重庆理））设R,向量,且,则（ ）A．B．C．D．103．（2022年高考浙江）设a,b是两个非零向量.（ ）A．若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥bB．若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|C．若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λaD．若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|【解析】利用排除法可得选项C是正确的,∵|a+b|=|a|-|b|,则a,b共线,即存在实数λ,使得a=λb.如选项A:|a+b|=|a|-|b|时,a,b可为异向的共线向量;选项B:若a⊥b,由正方形得|a+b|=|a|-|b|不成立;选项D:若存在实数λ,使得a=λb,a,b可为同向的共线向量,此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立.4．（2022年高考（天津文））在中,,,设点满足.若,则（ ）A．B．C．D．249用心爱心专心\n5．（2022年高考（天津理））已知△ABC为等边三角形,,设点P,Q满足,,,若,则（ ）A．B．C．D．【解析】∵=,=,又∵,且,,,∴,,所以,解得.6．（2022年高考（辽宁文））已知向量a=(1,—1),b=(2,x).若a·b=1,则x=（ ）A．—1B．—C．D．17．（2022年高考（辽宁理））已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|ab|,则下面结论正确的是（ ）A．a∥bB．a⊥bC．{0,1,3}D．a+b=ab【解析】法一：由|a+b|=|ab|,平方可得ab=0,所以a⊥b,故选B法二：根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|ab|分别为以向量a,b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,因为|a+b|=|ab|,所以该平行四边形为矩形,所以a⊥b,故选B【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系,属于容易题.解析一是利用向量的运算来解,解析二是利用了向量运算的几何意义来解.8．（2022年高考广东）(向量、创新)对任意两个非零的平面向量和,定义,若平面向量、满足,与的夹角,且和都在集合中,则49用心爱心专心\nA．B．1C．D．9．（2022年高考广东)若向量,,则（ ）A．B．C．D．【解析】10．（2022年高考（福建文））已知向量,则的充要条件是（ ）A．B．C．D．【解析】由向量垂直的充要条件得2(x-1)+2=0所以x=0.D正确11．（2022年高考（大纲文））中,边的高为,若,,,,,则（ ）A．B．C．D．【解析】由可得,故,用等面积法求得,所以,故,故选答案D12．（2022年高考（湖南理））在△ABC中,AB=2,AC=3,=1则.（ ）A．B．C．D．49用心爱心专心\n【解析】由下图知..又由余弦定理知,解得.【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力,考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意的夹角为的外角.13．（2022年高考（安徽理））在平面直角坐标系中,,将向量按逆时针旋转后,得向量则点的坐标是（ ）A．B．C．D．二、填空题1（2022年高考（浙江文））在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则=________.【解析】由余弦定理,,,两式子相加为,,.2．（2022年高考（上海文））在知形ABCD中,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边49用心爱心专心\nBC、CD上的点,且满足,则的取值范围是_________.ABDCyx21(O)MN[解析]如图建系,则A(0,0),B(2,0),D(0,1),C(2,1).设Î[0,1],则,,所以M(2,t),N(2-2t,1),故=4-4t+t=4-3t=因为tÎ[0,1],所以递减,所以()max==4,()min==1.3．（2022年高考（课标文））已知向量,夹角为,且||=1,||=,则||=_______.【解析】∵||=,平方得,即,解得||=或(舍)4．（2022年高考（江西文））设单位向量。若,则_______________。【解析】由已知可得,又因为m为单位向量所以,联立解得或代入所求即可.【答案】【考点定位】本题考查向量垂直的充要条件.5．（2022年高考（湖南文））如图4,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,且=_____.49用心爱心专心\n【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算,考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.6．（2022年高考（湖北文））已知向量,则(Ⅰ)与同向的单位向量的坐标表示为__;(Ⅱ)向量与向量夹角的余弦值为____________.【点评】本题考查单位向量的概念,平面向量的坐标运算,向量的数量积等.与某向量同向的单位向量一般只有1个,但与某向量共线的单位向量一般有2个,它包含同向与反向两种.不要把两个概念弄混淆了.来年需注意平面向量基本定理,基本概念以及创新性问题的考查.7．（2022年高考（北京文））已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为________.【解析】根据平面向量的点乘公式,可知,因此;,而就是向量在边上的射影,要想让最大,即让射影最大,此时点与点重合,射影为49用心爱心专心\n,所以长度为1【考点定位】本题是平面向量问题,考查学生对于平面向量点乘知识的理解,其中包含动点问题,考查学生最值的求法.8．（2022年高考（安徽文））设向量,若⊥,则.【解析】9、．（2022年高考（新课标理））已知向量夹角为,且;则10、．（2022年高考（浙江理））在ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则=______________.【解析】此题最适合的方法是特例法.假设ABC是以AB=AC的等腰三角形,如图,AM=3,BC=10,AB=AC=.cos∠BAC=.=xyABCDMN11、（2022年高考（上海理））在平行四边形ABCD中,∠A=,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足,则的取值范围是【解析】如图建系,则A(0,0),B(2,0),D(,),C(,).设Î[0,1],则,,所以M(2+,),N(-2t,),故=(2+)(-2t)+×=,因为tÎ[0,1],所以f(t)递减,()max=f(0)=5,()min=f(1)=2.[评注]当然从抢分的战略上,可冒用两个特殊点:M在B(N在C)和M在C(N在D),而本案恰是在这两点处取得最值,蒙对了,又省了时间!出题大虾太给蒙派一族面子了!12．（2022年高考（江苏））如图,在矩形中,点为49用心爱心专心\n的中点,点在边上,若,则的值是___.13．（2022年高考（北京理））已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为________;的最大值为________.【解析】【答案】;根据平面向量的点乘公式,可知,因此;,而就是向量在边上的射影,要想让最大,即让射影最大,此时点与点重合,射影为,所以长度为1【考点定位】本题是平面向量问题,考查学生对于平面向量点乘知识的理解,其中包含动点问题,考查学生最值的求法.14．（2022年高考（安徽理））若平面向量满足:;则的最小值是【解析】11年高考试题及解析1、（四川文7理4）.如图，正六边形ABCDEF中，=(A)0(B)(C)(D)答案：D49用心爱心专心\n解析：.2、（福建文13.）若向量=（1,1），（-1,2），则____________.【解析】因为向量=（1,1），（-1,2），所以3（江苏10）、已知是夹角为的两个单位向量，若，则k的值为。4（广东文3）．已知向量，若为实数，，则=（）A．B．C．D．【解析】，所以选B.5（广东理3）．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a+2b)=（）A．4B．3C．2D．06（全国文3）设向量满足||=||=1,,则（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】故选B7（课标文13）.已知向量为不共线的单位向量，，如果49用心爱心专心\n垂直，那么8（湖北文2）．若向量，则与的夹角等于A.B.C.D.解析：因为,设其夹角为r，故，即，所以选C.9（辽宁文3）已知向量a=（2,1），b=（-1，k），a·（2a-b）=0，则k=（）（A）-12（B）-6（C）6（D）12解析：由题意，得2a-b=（5，2-k），a·（2a-b）=2×5+2-k=0，所以k=12.答案：D10（湖南文130．设向量满足且的方向相反，则的坐标为．解析：由题，所以11（安徽文14、理13）已知向量a，b满足且，，则a与b的夹角为.12（江西文11）．已知两个单位向量，的夹角为，若向量，，则=___.【答案】-6【解析】要求*，只需将题目已知条件带入，得：*=（-2）*（3+4）=49用心爱心专心\n其中=1，==1*1*=，，带入，原式=3*1—2*—8*1=—6.13（江西理11）.已知,·=-2，则与的夹角为14（重庆文5）．已知向量共线，那么的值为A．1B．2C．3D．4【命题意图】本题考查向量共线的充要条件、向量数量积的计算，是简单题.【解析】=(3,)∵与∴解得=1∴==4故选D.15（北京文11、理10）已知向量。若与，共线，则=.【解析】：由与共线得16（重庆理12）已知单位向量的夹角为，则解析：17（湖南理14）.在边长为1的正三角形ABC中，设则.解析：设则且，所以=，故填18（福建理15）.设V是全体平面向量构成的集合，若映射满足：对任意向量49用心爱心专心\n以及任意∈R，均有则称映射具有性质P。现先给出如下映射：①②③其中，具有性质P的映射的序号为________。（写出所有具有性质P的映射的序号）③：，则故③正确19（浙江文15、理140若平面向量、 满足，且以向量、 为邻边的平行四边形的面积为，则、 的夹角θ取值范围是。【解析】：，又20（辽宁理10）若、、 均为单位向量，且=0，（）·（）≤0，则的最大值为（A）（B）1（C）（D）249用心爱心专心\n解析：由=0，（）·（）≤0，得-·-·≤-2=-1，2+2+2+2·-2·-2·=3+2（-·-·）≤3-2=1，故的最小值为1.21（课标卷理10）.已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题其中的真命题是（A）（B）（C）（D）22（山东文、理12）设，，，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若(λ∈R)，(μ∈R)，且,则称，调和分割，,已知点C(c，o),D(d，O)(c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是(A)C可能是线段AB的中点(B)D可能是线段AB的中点(C)C，D可能同时在线段AB上(D)C，D不可能同时在线段AB的延长线上【解析】由(λ∈R)，(μ∈R)知:四点，，，在同一条直线上,因为C,D调和分割点A,B,所以A,B,C,D四点在同一直线上,且,故选D.23（全国理12）设向量满足||=||=1,,，=，则的最大值等于(A)2(B)(c)(D)1【答案】A49用心爱心专心\n【解析】如图，构造,,,，所以四点共圆，可知当线段为直径时，最大，最大值为2.24（天津文、理14）.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则的最小值为.【答案】5【解析】画出图形,容易得结果为5.2022年高考试题及解析5一、选择题1（2022湖南文6）若非零向量a，b满足|，则a与b的夹角为A.300B.600C.1200D.1500【解析】由得于是又所以故选C2（2022全国卷2理8）中，点在上，平方．若，，，，则（A）（B）（C）（D）3（2022辽宁文数）（8）平面上三点不共线，设,则的面积等于（A）（B）（C）（D）49用心爱心专心\n解析：选C4（2022辽宁理8）平面上O,A,B三点不共线，设，则△OAB的面积等于(A)(B)(C)(D)5（2022全国卷2文数）（10）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若=a,=b,=1，=2,则=（A）a+b（B）a+b（C）a+b（D）a+b【解析】B：本题考查了平面向量的基础知识∵CD为角平分线，∴，∵，∴，∴6（2022安徽文3）设向量,,则下列结论中正确的是(A)(B)(C)(D)与垂直【解析】，，所以与垂直.【规律总结】根据向量是坐标运算，直接代入求解，判断即可得出结论.49用心爱心专心\n7（2022重庆文数）（3）若向量，，，则实数的值为（A）（B）（C）2（D）6解析：，所以=68（2022重庆理2）已知向量a，b满足，则A.0B.C.4D.89（2022山东文12）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，，令，下面说法错误的是(A)若a与b共线，则(B)(C)对任意的，有(D)答案：B10（2022四川理5文6）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则（A）8（B）4（C）2（D）1解析：由＝16，得|BC|＝4，＝4而故2答案：C11（2022天津文9）如图，在ΔABC中，，，，则=（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。49用心爱心专心\n【温馨提示】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。12（2022广东文数）若向量=（1,1），=（2,5），=(3,x)满足条件(8－)·=30，则=A．6B．5C．4D．313（2022福建文数）若向量，则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件14（2022全国卷1文11）已知圆的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为(A)(B)(C)(D)【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.PABO【解析1】如图所示：设PA=PB=,∠APO=,则∠APB=，PO=，，===，令，则，即，由是实数，所以，解得或.故.此时.49用心爱心专心\n【解析2】设，换元：，【解析3】建系：园的方程为，设，15（2022湖北文8、理5.）已知和点M满足.若存在实使得成立，则=A.2B.3C.4D.516（2022山东理12）定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的，，令，下面说法错误的是（）A.若与共线，则B.C.对任意的，有D.【解析】若与共线，则有，故A正确；因为，而，所以有，故选项B错误，故选B。49用心爱心专心\n【命题意图】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力。17（2022湖南理4）、在中，=90°AC=4，则等于A、-16B、-8C、8D、16二、填空题1（2022浙江理16）已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则的取值范围是___解析：利用题设条件及其几何意义表示在三角形中，即可迎刃而解，本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档题。【答案】2（2022陕西文12.）已知向量，若∥，则.3（2022江西理13）已知向量，满足，，与的夹角为60°，则【答案】【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知识，如图，由余弦定理得：4（2022浙江文17）在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P、Q、M、N分别是线段OA、OB、OC、OD的中点，在APMC中任取一点记为E，在B、Q、N、D中任取一点记为F，设G为满足向量的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外（不含边界）的概率为49用心爱心专心\n答案：5（2022浙江文13）已知平面向量则的值是答案：6（2022天津理15）如图，在中，,,,则.近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。7（2022广东理10）若向量=（1,1,x）,=(1,2,1),=(1,1,1),满足条件=-2,则=.10．C．，，解得．8（2022上海文13）在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线上的点，若（、），则、满足的一个等式是4ab=1。49用心爱心专心\n三、解答题：（2022年高考江苏卷试题15）（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。（1）（求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t满足()·=0，求t的值。[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14分。（1）（方法一）由题设知，则（2）由题设知：=(－2,－1)，。由()·=0，得：，从而所以。或者：，【两年模拟】2022年名校模拟题及其答案【浙江省宁波四中2022届高三上学期第三次月考】已知向量的模为1，且满足，则在方向上的投影等于___________【答案】49用心爱心专心\n【四川省南充高中2022届高三第一次月考】已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么A．B．C．D．4【答案】C【四川省成都市双流中学2022届高三9月月考】已知，若，则实数的值为A．B．C．D．【答案】C【四川省德阳市2022届高三第一次诊断】已知a，b均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（）A．B．4C．3D．7【答案】B【陕西省长安一中2022届高三开学第一次考试】若两个非零向量满足，则向量与的夹角（）A． B．C． D．【山东省临清三中2022届高三上学期学分认定】已知向量a=(3,-1),b=(-1,m),c=(-1,2)，若(a+b)c，则m=.【答案】2【陕西省宝鸡中学2022届高三上月考】已知，则的夹角为（）A．B．C．或D．【答案】D【陕西省宝鸡中学2022届高三上学期月考】已知为平面内一定点,设条件p:动点满足,R;条件q:点的轨迹通过△ABC的重心．则条件p是条件q的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B49用心爱心专心\n【陕西省宝鸡中学2022届高三上学期月考】已知且与垂直，则实数的值为【答案】【山东省冠县武训高中2022届高三二次质检】如右图，在平行四边形中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是()A.B.C.D.【答案】D【山东省冠县武训高中2022届高三二次质检】在中，，若O为内部的一点，且满足，则（）A.B.C.D.【答案】C【安徽省六校教育研究会2022届高三联考】连续投掷两次骰子得到的点数分别为，向量与向量的夹角记为，则的概率为（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【湖北省武昌区2022届高三年级元月调研】已知，则向量a与向量b的夹角为（）A．30°B．45°C．90°D．135°【答案】B【浙江省杭州第十四中学2022届高三12月月考】若△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且，则的值为(A)(B)(C)(D)【答案】A【甘肃省天水一中2022学年度第一学期高三第四阶段考】已知O为内一点，且,则与的面积比值是（）A.B.C.D.1【答案】A49用心爱心专心\n【黑龙江省绥棱一中2022届高三理科期末】若向量，，则等于A(-2,3)B(2,-3)C(2,3)D(-2,-3)【答案】A【北京市朝阳区2022届高三上学期期末考试】已知平面向量，，且⊥，则实数的值为（）A．B．C．D．【北京市西城区2022学年度第一学期期末】已知向量，.若实数与向量满足，则可以是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【安徽省六校教育研究会2022届高三联考】给出下列命题,其中正确的命题是 （写出所有正确命题的编号）．①非零向量满足，则与的夹角为；②已知非零向量，则“”是“的夹角为锐角”的充要条件；③命题“在三棱锥中，已知，若点在所在的平面内，则”的否命题为真命题；④若，则为等腰三角形．【黑龙江省绥棱一中2022届高三理科期末】设M是△内一点，且，，定义，其中分别是△，△，△的面积，若，则的最小值是【答案】18【西安市第一中学2022学年度第一学期期中】在正三角形中，是上的点，，则。【答案】【北京市东城区2022学年度高三数第一学期期末】若非零向量，满足，则与的夹角为．49用心爱心专心\n【浙江省名校新高考研究联盟2022届第一次联考】已知三点不共线，其中.若对的内心，存在实数，使得，则这样的三角形共有个.【答案】30【安徽省望江县2022届高三第三次月考】已知平面上三点A、B、C满足的值等于（）A．25B．24C.－25D．－24【答案】C【安徽省皖南八校2022届高三第二次联考】设向量满足：，则等于A、B、1C、D、2【答案】B【解析】【浙江省塘栖、瓶窑、余杭中学2022届高三上学期联考理】如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则·的值（）(A)－8(B)－1(C)1(D)8【答案】D【2022湖北省武汉市部分学校学年高三新起点调研测试】在平等四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F。若=（）A．B．C．D．【2022湖北省武汉市部分学校学年高三新起点调研测试】已知向量满足，则|b|=。【答案】49用心爱心专心\n【湖北省部分重点中学2022届高三起点考试】已知，∥，·=10，则.【答案】【江苏省南京师大附中2022届高三12月检试题】在中，，，则．【答案】【江苏省南通市2022届高三第一次调研测试】在△ABC中，，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且，则等于．【答案】【上海市南汇中学2022届高三第一次考试(月考)】已知是平面上两上不共线的向量，向量，若，则实数m=。【答案】【上海市南汇中学2022届高三月考)】若的面积则夹角的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】DB【湖北省武昌区2022届高三年级元月调研】已知，则向量a与向量b的夹角为（）A．30°B．45°C．90°D．135°【山东聊城市五校2022届高三上学期期末联考】在△ABC中，，则k的值是（）A．5B．－5C．D．【答案】A【哈尔滨市六中2022学年度上学期期末】已知点是重心,49用心爱心专心\n,若,则的最小值是()A.B.C.D.【答案】C【江西省2022届十所重点中学第二次联考】已知△ABC，D为AB边上一点，若（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【答案】A【慈溪中学2022学年高三数学期中测试】已知向量满足.若对每一确定的，的最大值和最小值分别为m,n,则对任意，m-n的最小值是（）A． B． C． D．1【答案】D【福建三明市普高2022学年第一学期联合测试】若平面向量a与向量b的夹角是,且|b|,则b的坐标是()A．(3,-6)B．(-6,3)C．(6,-3)D．(-3,6)【答案】A【辽宁省沈阳四校协作体2022届高三上学期12月月考】已知,向量与的夹角为,则的值为()A.B.C.D.3【答案】D【辽宁省沈阳四校协作体2022届高三上学期12月月考】的外接圆圆心为,半径为2，,且,向量方向上的投影为A.B.C.D.【答案】C【江西省2022届十所重点中学第二次联考理】已知向量，，则在方向上的投影等于【答案】【株洲市2022届高三质量统一检测】已知向量，满足||=8，||=6，·=-，则与的夹角为49用心爱心专心\n【答案】【广东省江门市2022年普通高中高三调研测试】已知，，若，，若，则实数和满足的一个关系式是，的最小值为．【银川一中2022届高三年级第二次月考】设向量，若，，则.【答案】【山东聊城市五校2022届高三上学期期末联考】设，，是单位向量，且，则向量，的夹角等于．【答案】【2022大庆铁人中学第一学期高三期末】设向量，且∥，则锐角为______.【四川省成都外国语学校2022届高三12月月考】已知平面向量，，，则||的最小值是（）A.2B.C.D.【答案】D【四川省成都外国语学校2022届高三12月月考】将函数的图象按向量平移后得到函数的图象，则=（）A.=(3,5)B.=(,5)C.=(,2)D.=(,)【答案】A【江西省上饶县中学2022届高三上月考】已知，D是BC边上的一点，49用心爱心专心\n，若记，则用表示所得的结果为（）A．B．C．D．【答案】C【江西省上饶县中学2022届高三上学期第三次半月考】设，若，则实数．－3【答案】【山东省冠县武训高中2022届高三二次质检】（本小题满分12分）在中，若向量且与共线（1）求角B；（2）若，求的值.解析：（1）依题意得=，由正弦定理得：，由余弦定理知：.（2）∵又，∴cosC=.【陕西省宝鸡中学2022届高三上学期月考】（本小题12分）已知向量．（1）若‖，求；（2）当时，求的最值。【江西省上饶县中学2022届高三上学期第三次半月考】（本题满分12分）已知向量，，其中为坐标原点。（1）若且求向量与的夹角；（2）若对任意实数49用心爱心专心\n都成立，求实数的取值范围。解析：:（1）当时，向量与的夹角；（2）对任意的恒成立，即对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以，解得，所求的实数的取值范围是.【安徽省皖南八校2022届高三第二次联考理】（本题满分13分）已知椭圆C：，直线与椭圆C相交于A、B两点，（其中O为坐标原点）。（Ⅰ）试探究：点O到直线AB的距离是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；（Ⅱ）求的最小值。解析：（Ⅰ）点到直线的距离是定值.设，①当直线的斜率不存在时，则由椭圆的对称性可知，，.∵，即，也就是，代入椭圆方程解得：.此时点到直线的距离.……2分②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆联立，消去得：，，，………3分因为，所以，所以，…4分代入得：，49用心爱心专心\n同理可求得，故……………9分令，则，令，所以，即11分当时，可求得故，故的最小值为，最大值为2.13分49用心爱心专心\n，即，（当且仅当时取等号）.……11分故的最小值为.………13分法三：（三角函数法）由（Ⅰ）可知，如图，在中，点到直线的距离.设，则，故，.……9分所以，，…11分显然，当，即时，取得最小值，最小值为.…………13分2022年模拟试题及答案1．（2022北京朝阳区期末）在中，是的中点，，点在上且满足，则等于(A)（A）（B）（C）(D)2．（2022北京丰台区期末）如果向量与共线且方向相反，那么的值为（A）A．-3B．2C．D．3.（2022西城期末）已知点，点，向量，若，则实数的值为(C)（A）5（B）6（C）7（D）84.（2022巢湖一检）在中，,,,则的面积是(A)A.B.C.D.15.(2022东莞期末)如图，已知点在上，，用和来表示向量，则等于.49用心爱心专心\n6．（2022佛山一检）已知向量，则向量的夹角的余弦值为(C)A．B．C．D．ABCDNM7．（2022广东广雅中学期末）如图，在正方形ABCD中，已知AB＝2，M为BC的中点，若N为正方形内（含边界）任意一点，则·的最大值为 6 8．（2022哈尔滨期末）已知，则与夹角的取值范围是（C）A．B．C．D．9．（2022杭州质检）已知a，b是平面内的两个单位向量，设向量c=b，且|c|1，a（b-c）=0，则实数的取值范围是（–1，1）．10．(2022湖北八校一联)如图，在，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（C）A．B．C．D．11．（2022·湖北重点中学二联）已知A、B、C是=。12、（2022·淮南一模）已知点是的重心，(,)，若，，则的最小值是（C）A．B．C．D．13．(2022·黄冈期末)49用心爱心专心\n在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记、分别为a、b，则=（B）A．a－bB．a+bC．－a+bD．－a－b14.(2022·惠州三调)已知△ABC中，点A、B、C的坐标依次是A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，则的坐标是：_(-1,2)______．15．（2022·金华十二校一联）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（D）A．向左平移1个单位长度B．向右平移1个单位长度C．向上平移1个单位长度D．向下平移1个单位长度16．（2022·金华十二校一联）已知为的外心，，则=（B）A．18B．10C．-18D．-1017．（2022·金华十二校一联）已知向量，如果，则．8．(2022·南昌期末)已知为坐标原点，点，若满足不等式组，则的最大值为______12____.19、(2022·日照一调)若是夹角为的单位向量，且=2，=,则a·b等于(C)(A)1(B)－4(C)(D)20、(2022·日照一调)已知O是所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么(A)49用心爱心专心\n(A)(B)(C)(D)第11题图PADCMB21、（2022·三明三校二月联考）如图，平行四边形的两条对角线相交于点，点是的中点.若，，且，则.22、(2022·汕头期末)已知方程，其中、、是非零向量，且、不共线，则该方程()A．至多有一个解B．至少有一个解C．至多有两个解D．可能有无数个解23.（2022·上海普陀区高三期末）设平面向量，，则-4.24.（2022·泰安高三期末）在△ABC中，AB=2，AC=1，=，则的值为(C)A.-B.C.-D.25.（2022·泰安高三期末）已知A(1,2)，B(3,4)，C(-2,2)，D(-3,5)，则向量在向量上的投影为.26．（2022中山期末）已知向量，向量，且，则x=（C）A．1B．5C．6D．927.（2022苏北四市二调）设是单位向量，且，则向量的夹角等于．28．（2022·温州八校联考）已知为内一点，若对任意，恒有则一定是（A）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定29．（2022·温州八校联考）如图，在正方形ABCD中，已知AB＝2，M为BC的中点，若N为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值为 6 49用心爱心专心\n30、（2022·温州十校高三期末）在△ABC中，，其面积，则夹角的取值范围是31.（2022烟台一调）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，(C)A.（2，4）B.（3，5）C.（—3，—5）D.（—2，—4）32.（2022烟台一调）在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，如果AB的长为2，则的值为___4_____33．（2022镇江高三期末）若,,若，则向量与的夹角为.34．（2022镇江高三期末）直角三角形中，斜边长为2，是平面内一点，点满足,则=1.35．（2022镇江高三期末）已知向量，,，，，为正实数.(1)若，求的值;(2)若，求的值;(3)当时，若,求的最小值.解（1），，.(2),,,.(3)当时,,.则=,.【说明】本题考查向量的平行、垂直、向量模，基本不等式，由课本题改编.36．（本题满分14分）已知向量a=，b=，设m=a+tb（t为实数）．（1）若，求当|m|取最小值时实数t的值；（2）若ab，问：是否存在实数t，使得向量a-b和向量m的夹角为，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由．49用心爱心专心\n【一年原创】原创试题及其解析一、选择题1．向量i=（1，0），j=（0，1），下列向量中与向量垂直的是（）A．B．C．D．2．已知向量a，若向量与垂直，则的值为（）A．B．7C．D．解：()()=答案：A3．设，，则满足条件，的动点P的变化范围（图中阴影部分含边界）是（）49用心爱心专心\nA．B．C．D．解：设P点坐标为，则.由，得，在平面直角坐标系中画出该不等式组表示的平面区域即可，选A．4．如图，非零向量（）A．B．C．D．解：即即可得答案A5．在四边形ABCD中，=a+2b，=－4a－b，=－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为（）A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形解∵==－8a－2b=2，∴.∴四边形ABCD为梯形.答案：C6．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)那么A，B，C三点共线的充要条件为()A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1解：A，B，C三点共线即存在实数使得=即λa＋b=（a＋μb）所以有λa=a，b=μb，即λ=，1=μ故选D7．已知向量，，其中.若，则当恒成立时实数的取值范围是（）A．或B．或C．D．49用心爱心专心\n8．点在平面上作匀速直线运动，速度向量（即点的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位）．设开始时点的坐标为（－１０，１０），则５秒后点的坐标为（ ）A （-2，4） B （-30，25） C （10，-5） D （5，-10）解：设5秒后点P运动到点A,则,∴=(10,-5).答案：C 9．已知，，，点在直线上的射影为点，则的最大值为（C）10.若=a，=b，则∠AOB平分线上的向量为（B）A.B.()，由确定C.D.二、填空题11．已知在平面直角坐标系中，，（其中为原点，实数满足），若N（1，0），则的最小值是________.12．已知直线交于不同的两点A、B，O是坐标原点，的取值范围是。13．设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则的值等于14已知是的中线，，那么；49用心爱心专心\n若，，则的最小值是．答案115三、解答题（解答应有证明过程或演算步骤）ABNMDC16．如图,ABCD是一个梯形,,M、N分别是的中点,已知a,b,试用a、b表示和解：∵||=2||∴∴a,b－a,=a－b17．设向量，向量垂直于向量，向量平行于，试求的坐标．解：设，∴，∴①又即：②联立①、②得∴．18．已知M＝(1+cos2x，1)，N＝(1，sin2x+a)(x，a∈R，a是常数)，且y=·(O是坐标原点)⑴求y关于x的函数关系式y=f(x)；⑵若x∈[0，]，f(x)的最大值为4，求a的值，并说明此时f(x)的图象可由y=2sin(x+)的图象经过怎样的变换而得到．解：⑴y=·＝1+cos2x+sin2x+a，得f(x)=1+cos2x+sin2x+a；⑵f(x)=1+cos2x+sin2x+a化简得f(x)=2sin(2x+)+a+1，x∈[0，]。当x＝时，f(x)取最大值a＋3＝4，解得a＝1，f(x)=2sin(2x+)+2。将y=2sin(x+)的图象的每一点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，再向上平移2个单位长度可得f(x)=2sin(2x+)+2的图象。49用心爱心专心\n19．已知A（－1，0），B（1，0）两点，C点在直线上，且，成等差数列，记θ为的夹角，求tanθ．20．已知：、、是同一平面内的三个向量，其中＝（1，2）⑴若||，且，求的坐标；⑵若||=且与垂直，求与的夹角θ.解：⑴设由∴ 或∴⑵……（※）代入（※）中,21．已知向量⑴;49用心爱心专心\n⑵（理科做）若（文科做）求函数的最小值。②当时取得最小值，由已知得；③当时，取得最小值，由已知得解得，这与相矛盾，综上所述，为所求.（2）（文科）∴当且仅当取得最小值。【考点预测】2022高考预测预计向量基本概念、向量基本运算等基础问题，通常为选择题或填空题出现；而用向量与三角函数、解三角形等综合的问题，通常为解答题，难度以中档题为主。复习建议1、平面向量部分的复习应该注重向量的工具作用，紧紧围绕数形结合思想，扬长避短，解决问题；2、平面向量与三角函数的交汇是近年来的考查热点，一般服出现在解答题的前三大题里，在复习中，应加强这种类型试题的训练。【母题特供】母题一：金题引路：49用心爱心专心\n在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（I）若求证：；（II）若求的值．母题二：金题引路：已知向量（Ⅰ）当时，求函数的值域；（Ⅱ）若的值.解：（Ⅰ）由母题三：金题引路：设函数，其中向量，(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；(2)当时，求函数的值域.解：(1)∵＝＝∴函数的最小正周期又由可得：49用心爱心专心\n的单调递增区间形如：(2)∵时，，∴的取值范围是∴函数的最大值是3，最小值是0从而函数的是母题四：金题引路：已知向量=(2cosx+1,cos2x-sinx+1)，=(cosx,-1)，定义f(x)=×（Ⅰ）求函数f(x)的单调递减区间；（Ⅱ）求函数f(x)的最大值及取得最大值时的x的取值集合.∴函数f(x)取得最大值时，x的取值集合为{x|x=2kp+，kÎZ}母题五、金题引路：如图4，已知点和单位圆上半部分上的动点．图4⑴若，求向量；⑵求的最大值．⑵--------9分，49用心爱心专心\n------11分------12分当时，取得最大值，---13分49用心爱心专心
